1、第1章 1.3三角函数的图象和性质,1.3.1三角函数的周期性,1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数ysin x，ycos x，ytan x都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期.,问题导学,题型探究,达标检测,学习目标,知识点一周期函数的定义,答案,问题导学 新知探究 点点落实,思考单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由.,答由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象.每当角增加(或减少)2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正
2、弦、余弦函数值也分别相同.即有sin(2x)sin x，cos(2x)cos x.故正弦函数和余弦函数也具有周期性.,1.周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个 T，使得定义域内的每一个x值 ，都满足 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.2.最小正周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个 ，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.,答案,非零的常数,f(xT)f(x),最小的正数,知识点二正弦函数、余弦函数的周期,答案,思考6是正弦函数ysin x(xR)的一个周期吗？,答是的.由sin(6x)sin x恒成立，根据周期函数的定
3、义，可知6是正弦函数ysin x(xR)的一个周期.,返回,类型一求三角函数的周期,题型探究 重点难点 个个击破,例1求下列函数的周期：,解析答案,解析答案,(3)y|sin x|.,解由ysin x的周期为2，可猜想y|sin x|的周期应为.验证：|sin(x)|sin x|sin x|，由周期函数的定义知y|sin x|的周期是.,反思与感悟,反思与感悟,解析答案,4,2.,2,类型二函数周期性的判断,例2证明：定义在R上的奇函数f(x)的图象有一条对称轴xa(a0)，则f(x)是周期函数.,证明f(x)为奇函数，f(x)f(x).f(x)的图象有一条对称轴xa(a0)，f(ax)f(a
4、x).f(x)f(2ax).由可知：f(2ax)f(x)，即f(2ax)f(x).f(4ax)f2a(2ax)f(2ax)f(x)，f(x)为周期函数，4a为它的一个周期.,解析答案,跟踪训练2已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且yf(x)的图象关于直线x2对称.证明f(x)是周期函数.,证明由已知f(x)f(x)，f(2x)f(2x)对任意xR恒成立，f(x4)f(x2)2f2(x2)f(x)f(x).故f(x)是以4为周期的周期函数.,解析答案,类型三函数周期性的综合应用,例3设函数f(x)(xR)是以2为周期的函数，且x0,2时，f(x)(x1)2.(1)求f(3)；,解函数f(x)
5、(xR)是以2为周期的函数，且x0,2时，f(x)(x1)2，f(3)f(32)f(1)(11)20.,解析答案,(2)当x2,4时，求f(x)的解析式.,反思与感悟,解f(x)的周期为2，当x2,4时有f(x)f(x2)，又x20,2，f(x2)(x21)2(x3)2，f(x)(x3)2.即x2,4时，f(x)(x3)2.,解析答案,反思与感悟,(1)解答此类题目的关键是利用化归思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可.(2)如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义
6、域内的有关性质.,返回,解析答案,1,2,3,1.下列说法中，正确的是 .因为sin(x)sin x，所以是函数ysin x的一个周期；因为tan(2x)tan x，所以2是函数ytan x的最小正周期；,达标检测,4,解析答案,解析根据周期函数的定义容易知道均是错误的，同时是正确的；对于，我们只能得出2是函数ytan x的一个周期，但不是最小正周期.,8,1,2,3,4,解析答案,3.定义在R上的函数f(x)满足f(x4)f(x)，且当2x6时，f(x)3x，则f(1) .,1,2,3,4,解析答案,解析f(x4)f(x)，f(1)f(14)f(5)，又当2x6时，f(x)3x，f(5)352，f(1)2.,2,1,2,3,4,解析答案,解方法一(定义法),1,2,3,4,即f(x)f(x)，,方法二(公式法),1,2,3,4,解析答案,1.函数周期性的理解：(1)对于“f(xT)f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内任意一个x，xT仍在定义域内且等式成立.(2)周期函数的周期不是惟一的，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(kZ，k0)也一定是函数的周期.(3)并不是所有周期函数都有最小正周期.如常数函数f(x)C没有最小正周期.,规律与方法,返回,本课结束,
