1、通项公式求解方法大全:我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。一、观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。例 1.已知数列 试写出其一个通项公式：_（答：,321967,85413）12nna例 2、;,326,84)( ;,51,7253)(;,610,4 ;,5413)( (1)观察数列的结构特征，每一项都是一个分式，分母是数列 2，4，8，16，32，可用项数表示为 分子是数列 1，3，7，15，31， 每一项比对应的分母少 1，可用,2n项数表示为 所以，所求的数列的通项公式是,1n ;21na(
2、2)这个数列即： 其结构特征是：分,5,4123,12,6母与项数相同；分子是 2 加上或减去 l，即 各项的符号为负、正相间，即;)(n为 所以，所求的通项公式是.)1(n 12.ann(3)观察数列的项，这个数列可以按分母、分子由小到大重新排列为：分母、分子各自成等差数列，显然，其通项公式为,7,465,83 ;23na(4)每一项都是项数的平方加上 1，其通项公式为 ;12na(5)通项公式是;)(na(6)仔细观察各项，不难发现其项与项之间有如下规律：342312;aa.54145 nn nn a()()()( 342321 321)二、递推公式法类型 1 )(nfan解法：把原递推公
3、式转化为 ，利用累加法(逐差相加法) 求解。1nfa例 1. 已知 满足 ，而且 ，求通项 。n12n1na解 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，a n例 2. 已知 中， ，求通项 。121,24nana解 由已知可得 ，212na令 ，代入后 个等式迭加，即1,3, n2132121n nnaaa5532n 。4212n例 3.在数列 中， =1， (n=2、3、4) ，求 的通项公式。na1na na解： 1时 ，这 n-1 个等式累加得： =2341.na时 , 12.na（ n-1） ()2故 且 也满足该式 ( ).2()naa1a2nanN类型 2 nnaf)(1解法：形如
4、(n=2、3、4)，且 可求，则用累乘1nf (1)2.(1)ffn法求 。a例 1、 已知 满足 ，而 ，求通项 。n12nna12ana解 是常数，1n是以 2 为首项，公比为 的等比数列。a212nn例 2、在数列 中， =1， ，求 。na11nana解：由已知得 ，分别取 n=1、2、3(n-1), 代入该式得 n-1 个等式累乘，即n=123(n-1)=(n-1)!所以时， 故32411na 1()!na(1)!na且 =1 也适用该式 ( ).0!(1)!nanN例 3、 在数列 中， ，求通项公式 。na112,n na解法一： 1nn23211213naanna解法二：由 1
5、12na12231nna 123nn类型 3 （其中 p，q 均为常数， ） 。pann1 )01(pq解法（待定系数法）：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利1tatnn pqt1用换元法转化为等比数列求解。例 1、 数列 中， ，对于 有 ，求通项 。na1N132nna解法 1 由已知递推式得 1132,nnaa两式相减得 1因此数列 是公比为 3 的等比数列，其首项为1n 2134a1 11432,4n nnnnnaa 解法 2 上法得 是公比为 3 的等比数列，于是有n 211324 14,43nnaaaa把 个等式相加得122 11 3n nn 。3na解法 3 设递推式 化为11
6、nnatt整理比较得 ，即2t于是得 1nn所以 是公比为 3 的等比数列，其首项为a 12a，即 。12nn12nna解法 4 322333121322nnnnnna 评注 解法 1、2、3 称为构造法，但法 1 与法 3 构造出的等比数列不同，各有千秋；解法 4 称为迭代法，对很多递推式求通项公式都适用，应认真理解掌握。类型 4 （其中 p，q 均为常数， ） 。 （或nnpa1 )01)(qp,其中 p，q, r 均为常数） 。1narq解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得：1nqqapnn11引入辅助数列 （其中 ） ，得： 再待定系数法解决。nbnqaqbpnn1例 1、
7、已知 中， ，求通项na1115,632nnnna解 在 两边同乘以 得132nn1n，令121nna2nba则 13b12,322nnnnna类型 5 递推公式为 （其中 p，q 均为常数） 。np12解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为 )(112nnsatsa其中 s，t 满足 qt解法二(特征根法)：对于由递推公式 ， 给出的数列 ，nnqapa12 21,na方程 ，叫做数列 的特征方程。若 是特征方程的两个根，当02px2,x时，数列 的通项为 ，其中 A，B 由 决定21na121nnAx 21,a（即把 和 ，代入 ，得到关于 A、B 的方程组） ；当21,x,xa时，数
8、列 的通项为 ，其中 A，B 由 决定（即21xn 1)(nnB21,把 和 ，代入 ，得到关于 A、B 的方程组） 。1,a, 1xA方法： 变形为 ，即 ，21nnnpaq 2nnaa2nnnaa若 有解，解得 ，于是数列 是公比 为的等比数列，即转化为q,1前面的类型，从而达到求解的目的。例 1、 已知数列 中， ，求na1221,3nnnaana解：由 ，3故 化为213nnnaa2113nnaa所以数列 是公比为 的等比数列，首项是1n21所以 ，113nna所以 1122321nnnaaa234223171443nn类型 6递推式为 。()nSf例 1、 在数列 中， 表示其前 项
9、的和，且 ，求通项 。an2nSna解 当 时， 。11当 时， ，又 ，2n221()1nnS1故 na类型 7 递推公式为 与 的关系式。( 或 )na(nSfa解法：这种类型一般利用 与211n消去 或与 消去)()11nnnn affSaS)( )(1nnSf2(进行求解。例 1、 在数列 中， 表示其前 项的和，且 ，求通项 。nanS23nnSan解 由 两式相减得231123na1()(nnnSa即 144na所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，2a34q故得 。1324nna类型 8 bp1 )0(、ap解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式
10、比较，解出 ,从而转化为)()(1 yxnynxa yx是公比为 的等比数列。p例 1 数列 ： ，求 .n )2(,13,411 nan na解：设 ，将 代入递推式，得BAbB、Aab则 1,)(bn )13()23(ABAb132B（）则 ,又 ，故abn取 13n6代入（）得nn6 2a说明：（1）若 为 的二次式，则可设)(f;(2)本题也可由CA2, （ ）两式相减得131an 1)(231nan 3转化为2)(n求之.qbpb2类型 9 rnn1)0,(na解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 ，再利用待定系数法求解。qpan1例 1、 在数列 中， ，求通项公式 。na2
11、113,nan解 由题意知数列 中的各项均为正数，即 ，对等式 取以 3 为底的对数，0a21na得 ，则有 ，进而可知数列 是以 为首23133logllognnn31logn3lognlog1项，以 2 为公比的等比数列，则 ，故 。13l2nna12na类型 10 )()(1hangf解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 。qpann1例 1、 在数列 中，当 时，求通项 。na112,nna解 由 ，11 12 2nnnnna 所以 是以 为首项，以 为公差的等差数列。1na112所以 ，即 。()nnna评注：在递推关系 ，若 ，对其取倒数后得到等差数1(,nAaBC均 为
12、 常 数 ） AC列；若 ，取其倒数后得到一个新的递推式 ，其解法于后。AC 1nnma例 2、 已知数列 na中，其中 ,1，且当 n2 时， 12na，求通项公式 na。解 将 12na两边取倒数得： 1na，这说明 n是一个等差数列，首项是 1，公差为 2，所以 2)(n ，即 12a.类型 11 hraqpnn1解法：如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有 （其n 1aNnhraqpnn1中 p、 q、 r、 h 均为常数，且 ） ，那么，可作特征方程 ,rhrqph1,0x当特征方程有且仅有一根 时,则 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 、0x0nax 1时，则 是等比
13、数列。2x12na类型 12 nnABCD不动点法对于数列2nna，*1,(,mnNABCD是常数且 0,ABC）其特征方程为AxBCD，变形为2()xx若有二异根 ,，则可令1nnac（其中 c是待定常数） ，代入 12,a的值可求得 c值这样数列na是首项为1a，公比为 c的等比数列，于是这样可求得 na若有二重根 ，则可令 1nn（其中 c是待定常数） ，代入12,a的值可求得 c值这样数列1na是首项为 na，公差为 c的等差数列，于是这样可求得 na例 1已知数列 na满足 1122,()na，求数列 na的通项 n解：其特征方程为 x，化简得 20x，解得 12,x，令1nnac由
14、 12,得 45a，可得 13c，数列 n是以 1为首项，以 为公比的等比数列，13nna， 3(1)na例 2已知数列 n满足 *112,()46nnaN，求数列 na的通项 n解：其特征方程为 246x，即 20x，解得 12x，令12nnca由 ,得 2314a，求得 1c，数列 12na是以 125a为首项，以 1为公差的等差数列，3()5nn，1306a类型 13 或qpnn1 nnpqa1解法：这种类型一般可转化为 与 是等差或等比数列求解。2n2类型 14 双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。类型 15 周期型 解法：由递推式计算出前
15、几项，寻找周期。三、换元法例 1 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1(42)6nnnaa， na解：令 ，则24nnb2()nb故 ，代入 得11()nna1412)6nnnaa2214()46nnnbb即 221(3)n因为 ，故40nnba11240nnba则 ，即 ，123n13nn可化为 ，1()2nnb所以 是以 为首项，以 为公比的等比数3n11432413a21列，因此 ，则 ，即 ，得2()nnb()nb4()3na。21()343nna评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化124nanb形式，从而可知数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公12nnb3b3nb式，最后再求出数列 的通项公式。na
