1、1 第 1 章 集合 1、列举下列集合的元素 (1) 小于 20 的素数的集合 (2) 小于 5 的非负整数的集合 (3) 2 | , 10 24 0 5 15 ii Ii i i 且 答：(1) 1,3,5,7,11,13,17,19 (2) 0,1, 2,3, 4 (3) 5, 6, 7,8,9,10,11 2、用描述法表示下列集合 (1) 12345 , aaaaa 答： | ,1 5 i ai I i (2) 2, 4,8, 答：2 | i iN (3) 0, 2, 4, 100 答：2 | , 0 50 ii Z i 3、下面哪些式子是错误的？ (1) aa 答：正确 (2) aa
2、答：错误 (3) , a aa 答：正确 (4) , a aa 答：正确 4 、 已给 2, , 3, 4 Sa = 和 ,3,4,1 Ra = ，指出下面哪些论断是正确的？哪些是 错误的？ (1) aS 错误 2 (2) aR 正确 (3) , 4, 3 aS 正确 (4) ,1,3,4 aR 正确 (5) RS = 错误 (6) aS 正确 (7) aR 错误 (8) R 正确 (9) aR 正确 (10) S 错误 (11) R 错误 (12) 3,4 正确 5、 列举出集合 , ABC 的例子，使其满足 AB ， BC 且 AC 答： Aa = ， Ba = ，显然 AB ， Ca =
3、 ，显然 BC ，但是 AC 。 6、 给出下列集合的幂集 (1) , ab 答：幂集 , , , , a b ab (2) , , aa 答：幂集 , , , , , , , , , , , , a a a a aa aa 7、设 Aa = ，给出 A 和 2 A 的幂集 答： 2 , A a = 2 2 , , , , A aa = 8 、 设 12 8 , , , A aa a = 由 17 B 和 31 B 所表示的 A 的子集各是什么？应如何表示子 集 2, 6 7 , aa a 和 13 , aa 答： 17 00010001 4 8 , B B aa = = 3 31 00011
4、111 4 5 6 7 8 , , , , B B aaaaa = = 2, 6 7 01000110 70 , aa a B B = = ， 1 3 10100000 160 , aa B B = = 9、 设 1, 2,3, 4,5 U = ， 1, 4 A = ， 1, 2, 5 B = ， 2, 4 C = ，确定集合： (1) AB (2) () AB C (3) () A BC (4) ( )( ) AB AC (5) () AB (6) AB (7) () BC (8) BC (9) 22 AC (10) 22 AC 答：(1) 3, 4 B = ， 4 AB = (2) 1 A
5、B = ， 1 ,3 ,5 C = ， ( ) 1 ,3 ,5 AB C = (3) 2 BC = ， ( ) 1 ,2 ,4 A BC = (4) 1, 2, 4,5 AB = ， 1 ,2 ,4 AC = ， ( ) ( ) 1 ,2 ,4 AB AC = (5) ( ) 2,3, 4,5 AB = (6) 2,3 ,5 A = ， 2,3, 4,5 AB = (7) 1, 2, 4,5 BC = ， ( ) 3 BC = (8) 3, 4 B = ， 1 ,3 ,5 C = ， 3 BC = (9) 2 , 1 ,4, 1,4 A = ， 2 ,2,4 2 4 C = ， ， ， 2 2
6、 1 , 1,4 AC = (10) 2 2 ,4 AC = 10、 给定自然数集 N 的下列子集： 1, 2, 7 , 8 A = ， 2 | 50 B ii = ， | 3 30 C ii i = 可 被 整数 ，0 | 2 , , 0 6 k D ii k Z k = = 求下列集合： (1) ( ( ) A B CD 答： 1, 2,3, 4,5, 6, 7 B = ， 0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30 C = ， 1, 2, 4,8,16,32, 64 D = ( ( ) 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,12,15,16,18, 21, 24,
7、 27,30,32,64 A B CD = (2) ( ( ) A B CD = 4 (3) () B AC 解： 0,1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30 AC = ， ( ) 4, 5 B AC = (4) () AB D 解： 3, 4, 5, 6 A BBA = ， ( ) 1, 2,3, 4,5, 6,8,16,32, 64 AB D = 11 、 给定自然数集 N 的下列子集 | 12 A nn = 是偶 数且 或 是奇数 且 (6) | 6 nn 是 的倍数 答： 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11 A = ， 1, 2,3,
8、4,5, 6, 7,8 B = 2, 4, 6,8, C = ， 3, 6,9,12, D = ， 1 ,3 ,5 ,7, E = 2, 4, 6,8 BC = 3, 6, 9 = AD 1 0 = ( ) ) AB D E (4) | 369 nn n n = = = 或 或 3 6 9,10,11,12, 3, 6,9,10,11,12, ( ) AD B = = (5) 2, 4, 6,8,10,11,13,15, ( ) ( ) ( ) ) AE EB A D B = (6) | 6 6,12,18, 24,30 nn = = 是 的倍数 CD 12、 判断以下哪些论断是正确的，哪些论
9、断是错误的，并说明理由。 (1) 若 aA ，则 aAB 5 答：正确，根据集合并的定义 (2) 若 aA ，则 aAB 答：显然不正确，因为根据集合交运算的定义，必须 a 同时属于 A 和 B (3) 若 aAB ，则 aB 答：正确 (4) 若 AB ，则 ABB = 答：错误 (5) 若 AB ，则 ABA = 答：正确 (6) 若 aA ，则 aAB 答：错误 (7) 若 aA ，则 aAB 答：正确 13、 设 , ABC 是任意的集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理 由 (1) 若 ABAC = ，则 BC = 答： 不正确， 反例， 设 A = ， 则不论 , BC
10、是什么集合， 都有 ABAC = ， 但显然 , BC 不一定相等。 (2) 当且仅 当 ABB = ，有 AB ； 答： 正确， 证明如下： 若 ABB =，则 对 aA ，有 aABB =，则 有 aB ， 因此有 AB 。反之，若 AB ，则 ABB = 显然成立。 (3) 当且仅 当 ABA = ，有 AB 答：正确，证明如下：若 ABA = ，则对 aA ，因此 aAB ，则 aB ， 则有 AB 。若 AB ，则 aA ，有 aB ， 因此由 aA ， 可以得出 aAB ， 因此 A AB ，又 AB A ，有 ABA = 。 6 (4) 当且仅 当 AC ，有 () A BC =
11、 答：不正确，因为 () A BC A B C = ，因此不一定需要满足 AC ，而若 AB = 也可以满足。 例如： , A abc = ， , B de = ， , C ab = ， () A BC = 成立，而 AC 不成立。 (5) 当且仅 当 BC ，有 () AB C A = 答：不正确，因为若 BC ，有 () AB C A = 成立，但是反之不成立，反例如 下: 1, 2,3, 4,5 A = ， 1, 6 B = ， 1, 2 C = ，而 2,3, 4,5 AB = ， ( ) 1, 2,3, 4,5 AB C = ，但是 BC 不成立。 14、 设 , ABCD 是集合，
12、下述哪些论断是正确的？哪些是错误的？说明理由。 (1) 若 , A BC D ，则 () AC BD 答： 正确， 证明： 对 aAC ，则 aA 或 aC ，因 为 , A BC D ，因 此 aB 或 aD ，因此 aBD ，即 () AC BD 成立。 (2) 若 , A BC D ，则 () AC BD 答：正确 (3) 若 AB ，CD ，则 () AC BD 答：正确 (4) 若 , A BC D ，则 () AC BD 答：不正确。例如若 , A BC D ，但是 AC = ， BD = ，则 () AC BD = 。 15、 设 , AB 是两个集合，问： (1) 如果 AB
13、B = ，那么 A 和 B 有什么关系？ 答：因为 AB B = ，而 AB A B B = ，即对 aB 有 , a Aa B ，因此7 AB = = 。 (2) 如果 AB BA = ，那么 A 和 B 有什么关系？ 答： 充要条件是 AB = 。 证明： 因为 AB BA = 的 () () AB A BA A = ，从 而有 AAB = ，即 AB ，同理可证明 BA ，因此 AB = 。 16、 设 , AB 是任意集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理由。 (1) 2 22 AB A B = 答：不正确。例如 , A ab = ， , B bc = ，则 , A B ab
14、c = 2 , , , , , , , , , , , , AB a b c ab ac bc abc = 2 , , , , A a b ab = ， 2 , , , , B b c bc = 显然 2 22 AB A B = 不成立。 (2) 2 22 AB A B = 答：成立。证明：对 22 AB C ，则 2 A C 且 2 B C ，则 , C AC B ，则 C AB ，因 此 2 AB C 。反 之 ，若 2 AB C ，则 C AB ，则 CA 且CB ， 因此 2 A C ，且 2 B C ，因此 22 AB C ，即 2 22 AB A B = 。 (3) 2 (2 )
15、AA = 答：显然不成立，因为左边集合肯定含有 ，而右边不含有。 17、 在一个班级的 50 个学生中，有 26 人在离散数学的考试中取得了优秀的成 绩；21 人在程序设计的考试中取得了优秀的成绩。 假如有 17 人在两次考试中都 没有取得优秀成绩，问有多少人在两次考试中都取得了优秀成绩? 答： 分别用 , AB 表示在离散和程序设计的考试中取得优秀成绩的学生集合， U 表 示全体学生集合： 则 #( ) 26 A = ，#( ) 21 B = ，#( ) 50 17 33 AB = ， 则两次考试 中都取得了优秀成绩的学生人数为 26+21-33=14 人。 18、 设 , ABC 是任意集
16、合，运用成员表证明： (1) ( )( )( )( ) AB A C AC A B = 证明： 8 A B C A AC AB AC AB 左边 右边 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 (3) ( )( )( ) A B C AB AC = 证明： A B C AB AC ( )( ) AB AC BC () A
17、 BC 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 由上得证左右两边相等。 19、由 S 和T 的成员表如何判断 ST ？应用成员表证明或否定 ( )( ) AB BC AB 答：先分别给出集合 ( )( ) AB BC 和 AB 的成员表如下： A B C AB BC () BC ( )( ) AB BC B AB 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
18、0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 观察上述表格，我们发现 ( )( ) AB BC 所标记的列中，仅在第五列为 1，这9 意味着当元素 , u Au B 且 uC 时， ( )( ) u AB BC ，而在其他情形下， 元素 ( )( ) u AB BC 。而集合 AB 所标记的列中，第五和第六行均为 1 ， 这意味着 , u Au B 且uC 时，uAB ，当 , u Au B ，且uC 时，也有 uAB 。
19、所以当元素 ( )( ) u AB BC 时也有uAB ，反之不然，因 此 ( )( ) AB BC AB 成立。 20、 12 , r AA A 为U 的子集， 12 , r AA A 至多能产生多少不同的子集？ 答： 构造由 12 , r AA A 所产生的集合的成员表， 显然该成员表由 2 r 个行所组成。 在该成员表中不同的列可由 2 r 为的二进制数 000 01111 1 分别表示， 而不同 的列所标记的集合 不相同的，因此由 12 , r AA A 至多可以产生 2 2 r 个不同的集 合。 21、证明分配律、等幂律和吸收律9 1 分配律 () () () A BC AB AC
20、= 证明： 对 () aA BC ，则 有 aA 且 aBC ，即 有 aA ，且 aB 或 aC ， 也即有 aAB 或 aAC ，即 ( )( ) a AB AC ，因此左边 右边。 对 ( )( ) a AB AC ，则 aAB 或 aAC ，即 aA 且 aB ， 或 aA 且 aC ，即有 aA 或 aBC ，因此 () aA BC ，因此右边 左 边。 2 吸收律 () A AB A = 证明： () A AB A 显然成立，对 aA ，则显然有 aAB ，因此有 () aA AB ，因此有 () A A AB 成立。 22、设 , ABC 是任意集合，运用集合运算定律证明： (1
21、) ( ) ) B AB A U = 10 证明： () () ( () () ) ( () )() B AB A B AB A B A A A B BU AB B ABU = = = 左边 右 边(2) ( )( )( )( )( )( ) AB BC C A AB BC C A = 证明： ( () ) () ( ) ) ( ) ( ) ( )( )( ( )( ) ( )( )( )( ) B AC C A CA B CA A C C B B A AC A ACC C B B A AC AC = = = = 左 边 右边(3) ( )( )( )( )( )( ) AB BC AC AB
22、 A BC AB C = 证明： ( ( ) ) ( ) ( ( )( ) )( ) ( ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ( ) ) ( )( ( )( ) ) () ( () ) ( )( )( ) B A C A AB C B A A AC AB C B AC AB C BA BC AB C BC A B C B BC A B B BC BC A BC BC AB AC = = = = = = = = 右边由上题的证明可知左边= 右边，得证。 23、用得摩根定律证明 ( ) ( ( ) AB A BC 补集是 ( )( )( ) A B AB AC 。 证明： ( ) (
23、( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ( )( )( ) AB A BC AB A BC A B A BC AB A BC A B AB AC = = = =24、设 i A 为某些实数的集合，定义为 0 | 1 1 | 1 ( 1, 2, ) i A aa A aa i i = = = 试证明： 0 1 i i AA = = 11 证明：设 1 i i aA = ，则比存在整数 k ，使得 k aA ，因此有 1 1 a k ，于是 1 a ，因 此 11 11 1 a k b = ，即 k aA ，于 是 1 i i aA = ， 因此得证。 25、设 1
24、2 , , , r AA A 是集合 A 的一个分划，试证明 12 , , r A BA B A B 中所 有非空集合构成 AB 的一个分划。 证明： 因为 12 , , , r AA A 是集合 A 的一个分划， 因此由分划的定义， 可得 1 r i i AA = = ， 且 , ij AA ij = ，而 ( )( ) , ij AB A B ij = ，且 11 ( )( ) ( rr ii ii A B A B AB = = = = 分配律) ，因 此 12 , , r A BA B A B 中所有非 空集合构成 AB 的一个分划。 26、 n 个元素的集合，有多少中不同的方法可以分划
25、成两块？ 答：当 n 奇数时有 1 2 1 12 n nn n CC C + + 种不同的方法，当 n 为偶数时有 1 2 /2 n nn n CC C + 种不同的方法。 12 第 2 章 关系 1、若 0 , 1 A = , 1, 2 B = ，确定集合： (1) 1 AB (2) 2 AB (3) 2 () BA 解： 1 (0,1,1), (0,1, 2), (1,1,1), (1,1, 2) AB = 2 (0,0),1),(0,1),1),(1,0),1),(1,1),1),(0,0), 2),(0,1), 2),(1,0), 2),(1,1), 2) AB = 2、在通常的具有
26、X 轴和 Y 轴的笛卡尔坐标系中，若有 试给出笛卡尔积 XY 的几何解释 解：表示横 坐标 x 的范围 在 32 x ，纵坐标 y 的范围在 20 y 的二维点集 所构成的集合。 3、设 A ，B ，C 和 D 是任意的集合，证明 (1) ( )( )( ) A B C AB AC = (2) ( ) ( )( ) A B C AB AC = (3) ( )( ) ( ) ( ) A B C D AC B D = 证明：(3) 首先，因为 AB A ，CDC ，所以 ( )( ) A B C D AC 类似地， ( )( ) A B C D BD ，所以有： ( )( ) ( ) ( ) A
27、B C D AC BD 反之，若 (, ) ( ) ( ) xy A C B D ，则 (, ) ( ) xy A C ， (, ) ( ) xy B D 则 , x Ay C ，且 , x By D ，即 xAB ， yC D 所以， (, ) ( ) ( ) xy A B C D 所以 ( )( )( )( ) AC BD A B C D 所以 ( )( ) ( ) ( ) A B C D AC B D = 4、对下列每种情形，列出由 A 到 B 的关系 的元素，确定 的定义域和值域， 构造 的关系矩阵： (1) 0,1, 2, 0, 2, 4, ( , ) | A B a b ab A
28、B = = = 解： 0, 2 AB = ， (0,0),(0,2),(0,4),( 1 ,0),(2,0),( 1 ,2) = 2 ( ) (0,1),(0,1),(0,1),(0, 2),(0,1),(1,1),(0,1),(1, 2) (0, 2),(0,1),(0, 2),(0, 2),(0, 2),(1,1),(0, 2),(1, 2) (1,1),(0,1),(1,1),(0, 2),(1,1),(1,1),(1,1),(1, 2) (1, 2),(0,1),(1, 2),(0, 2),(1 BA = , 2),(1,1),(1, 2),(1, 2) | , 3 2 | , 2 0
29、 X xx R x Y yy R y = = 13 关系矩阵 (2) 2 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, ( , ) | A B ab a b = = = = 解： (1,1),(4, 2) = 关系矩阵 M = 5、 设 1, 2,3, 4,5, 6 A = ， 对下列每一种情形， 构造 A 上的关系图， 并确定 的定 义域和值域 (1) ( , ) | ij i j = = 解：图略 (1,1),(2, 2),(3,3),(4, 4),(5,5),(6,6) = 定义域 DA = ， RA = (2) ( , ) | ij i j = 整除 解： ( 1 ,1 ),( 1
30、,2),( 1 ,3 ),( 1 ,4),( 1 ,5),( 1 ,6),(2,2),(2, 4),(2,6),(3,3),(3,6),(4, 4),(5,5),(6, 6) = 定义域 DA = ， RA = (3) ( , ) | ij i j = 是 的倍数 解： 定义域 DA = ， RA = (4) ( , ) | ij i j = 解： 定义域 6,5, 4,3, 2 D = ， 5, 4,3, 2,1 R = (5) ( , ) | ij i j = (1,1),(2, 2),(3,3),(4, 4),(5,5),(6,6),(2,1), (3,1) (4,1),(5,1),(6
31、,1),(4, 2),(6, 2),(6,3) = (6,5), (6, 4), (6,3), (6, 2), (6,1) (5, 4),(5,3),(5, 2),(5,1) (4,3), (4, 2), (4,1) (3, 2),(3,1) (2,1) = 100 000 000 010 000 111 110 100 M = 14 解：定义域 5, 4,3, 2,1 D = ， 6,5, 4,3, 2 R = (6) ( , ) | , 10 i j i j ij = 解： 定义域 6,5, 4,3, 2,1 D = ， 6,5, 4,3, 2,1 R = (7) 2 ( , ) | ,(
32、 ) ij i j i j A = 解： 定义域 DA = ， RA = (8) ( , ) | / ij i j = 是素数 解： (2,1),(3,1),(5,1),(4, 2),(6,3),(6, 2) = 定义域 2,3, 4,5, 6 D = ， 1, 2, 3 R = 6 、 设 1 (1, 2),(2, 4),(3,3) = 和 2 (1,3),(2, 4),(4, 2) = ，试求出 12 12 , ， 1 D ， ， ， 和 ， 并证明： 12 () D = 1 2 DD 12 1 2 () R RR 解： 12 (1, 2),(2, 4),(3,3),(1,3),(4, 2
33、) = 12 (2, 4) = 1 1, 2, 3 D = ， 2 1 ,2 ,4 D = ， 1 2, 4,3 R = ， 2 3 ,4 ,2 R = 12 () 1 ,2 ,3 ,4 D = 12 () 4 R = 证明： 12 () D = 1 2 DD 设 12 () xD ，则必存在 y ，使得 12 (, ) xy ，所以 1 (, ) xy 或者 2 (, ) xy ， 因此， 1 xD 或者 2 xD ，即 12 xD D ，所 以 12 () D 1 2 DD ； 反之， 设 x 1 2 DD ，则 x 1 D 或者 2 xD ， 所以存在 1 y ，使 得 1 (, ) x
34、y ( 1 ,1 ),( 1 ,2),( 1 ,3 ),( 1 ,4),( 1 ,5),( 1 ,6),(2,1), (2, 2), (2,3) (2, 4),(3,1),(3, 2),(3,3),(4,1),(4, 2),(5,1),(6,1) = (1,1),(1, 2),(1,3),(2,1),(2, 2),(2,3),(2, 4),(3,1) (3, 2),(3,3),(3, 4),(3,5),(4, 2),(4,3),(4, 4), (4,5) (4,6) (5,3),(5, 4),(5,5),(5,6),(6, 4),(6,5),(6,6) = ， (1, 2),(1,3),(1,
35、 4),(1,5),(1,6), (2,3),(2, 4), (2,5), (2, 6) (3, 4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6) = 12 () D 2 D 1 R 2 R 12 () R 15 1 ，或者存在 2 y ，使得 2 (, ) xy 2 ，由 并集的定义 知， 1 (, ) xy 12 ，或者 2 (, ) xy 12 ，总之有 12 xD ，故 12 DD 12 () D 。 证明： 12 1 2 () R RR 设 12 yR ，则必存在 x ，使得 (, ) xy 1 ， (, ) xy 2 ，因此 1 bR 且 2 bR ，由交集的定义
36、11 bR R ，故 12 1 2 () R RR 。 7、 1 A 和 2 A 是分别具有基数 1 n 和 2 n 的有限集， 试问有多少个 1 A 到 2 A 的不同关系？ 答： 2 1 A A 的所有子集都是 1 A 到 2 A 的一个关系， 所以共有 ) 2 1 ( # 2 A A 个不同的关系。 8 、 找出集合 , , , 2 1 n a a a A = 上普遍关系和恒等关系的关系矩阵和关系图的特 征。 答：A 上的普遍关系 2 A = 的关系矩阵是全 1 矩阵， 而恒等关系的关系矩阵是单 位矩阵。 9 、 下列是集合 3 , 2 , 1 , 0 = A 上的关系： 2 / 1 |
37、 ) , ( 1 i j i j j i = + = = 或者 ， 2 | ) , ( 2 + = = j i j i ，试确定如下的复合关系： （1） 2 1 （2） 1 2 （3） 1 2 1 （4） 3 1 解 ：（ 1） ) 1 , 2 ( ), 0 , 0 ( ), 3 , 2 ( ), 2 , 1 ( ), 1 , 0 ( 1 = ， ) 1 , 3 ( ), 0 , 2 ( 2 = ) 1 , 2 ( ), 0 , 1 ( 2 1 = （2） ) 1 , 3 ( ), 0 , 2 ( ), 1 , 2 ( 1 2 = （3） ) 2 , 2 ( ), 0 , 1 ( ), 1 ,
38、 1 ( 1 2 1 = （4） ) 2 , 2 ( ), 0 , 0 ( ), 1 , 0 ( ), 1 , 1 ( ), 3 , 1 ( ), 2 , 0 ( 2 1 = ) 1 , 2 ( ), 3 , 2 ( ), 1 , 0 ( ), 0 , 0 ( ), 2 , 0 ( ), 2 , 1 ( ), 1 , 0 ( ), 3 , 0 ( 3 1 = 10、 设 3 2 1 , , 是集合 A 上的关系，试证明：如果 2 1 ，则有： （1） 3 2 3 1 （2） 2 3 1 3 （3） 2 1 证明： （1）对 3 1 ) , ( y x ， 由复合关系的定义， A z ， 使得，
39、 1 ) , ( z x ， 3 ) , ( y z ，因为 2 1 ，所以 2 ) , ( z x ，所以 3 2 ) , ( y x ，所以 3 2 3 1 （2）对 1 3 ) , ( y x ， 由 复合关系的定义， A z ，使 得 ， 3 ) , ( z x ， 1 ) , ( y z ， 因为 2 1 ，所以 2 ) , ( y z ，所以 2 3 ) , ( y x ，所以 2 3 1 3 。 （3）对 1 ) , ( y x ，有 1 ) , ( x y ，因 为 2 1 ，所 以 2 ) , ( x y ，所 以 2 ) , ( y x ，16 也即 2 1 。 11 、
40、给定 ) 4 , 3 ( ), 2 , 1 ( ), 1 , 0 ( 1 = ， ) 3 , 3 ( ), 4 , 1 ( ), 3 , 1 ( 2 1 = 求一个基数最小的关系， 使满足 2 的条件。一般地说，若给定 1 和 2 1 ， 2 能被唯一的确定吗？基数 最小的 2 能被唯一确定吗？ 答： ) 3 , 4 ( ), 4 , 2 ( ), 3 , 2 ( 2 = 。 一般地说， 若给定 1 和 2 1 ， 2 不能被唯一的确 定。基数最小的 2 也不能被唯一确定。 12 、 给定集 合 3 2 1 , , A A A ，设 1 是由 2 1 A A 到 得关系， 2 和 3 是由 3 2 A A 到 得关系 ， 试证明： （1） ) ( 3 2 1 = ) ( ) ( 3 1 2 1 证明：根据并集和复合关系的定义， ) ( 3 2 1 和 ) ( ) ( 3 1 2 1 都是 3 1 A A 到 上的关系，下只需要证明它们由完全相同的序偶组成。 设 ) ( ) , ( 3 2 1 c a ，必存在 2 A b ，使得 1 ) , ( b a ， 3 2 ) , ( c b ，所以 有 2 ) , ( c b 或者 3 ) , ( c b ，所以有 2 1 ) , ( c a 或者 3 1 ) , ( c a ，也即 ) ( ) ( ) , ( 3 1 2 1
