1、24第三章 地震波动方程现在，我们用前一章提出的应力和应变理论来建立和解在均匀全空间里弹性波传播的地震波动方程。这章涉及矢量运算和复数，附录 2 对一些数学问题进行了复习。3.1 运动方程（Equation of Motion）前一章考虑了在静力平衡和不随时间变化情况下的应力、应变和位移场。然而，因为地震波动是速度和加速度随时间变化的现象，因此，我们必须考虑动力学效应，为此，我们把牛顿定律（ ）用于连续介质。maF3.1.1 一维空间之振动方程式质点面上由于应力差的存在而使质点产生振动。如图 1-3 所示，考虑一薄棒向 x 轴延伸，其位移量为 u：Fig3-1则其作用力为“应力”X“其所在的质
2、点面积 ”，所以其两边的作用力差为dxsdxs惯量inertia为 2tu所以得出. （3-1）xt2其中 为密度density， 为应力stress= 。xuE3-1 式表示，物体因介质中的应力梯度stress gradient而得到加速度。如果 与 E 为常数，则 3-1 式可写为25 （3-2）221tucx其中 E运用分离变量法求解（3-2）式，设 u=F(x)T(t),(3-2)式可以变为TXc21设 2则可得： cxitieXT,考虑欧拉公式： )sin()co(),sin()o( ttetttiti （3-3）txictxictxictxi DCBeAu其中 A,B,C,D 为根
3、据初始条件和边界条件确定的常数。考虑到 可正可负，方程式的解具有 的形式，其中 f 及 gctgtfu为波的函数，以 c 的波行速度向+x 与-x 方向传递。我们可以采用如下程序模拟地震波的传播。平面波在均匀介质里沿 方向传播，x剪切波的齐次微分方程可表达为： 22xut这里 是位移。对 100 公里的波长和假定 的情况，我们写出用有u 秒公 里 /4限差分法解这方程的计算机程序。用长度间距 ，时间间距 秒。公 里1d1.0dt假定在 （50 公里）震源时间函数的形式为：0 5 秒5sin250ttut用 （0 公里）的应力自由边界条件和 （100 公里）的固定边界条件。用有限uu差分图解来近
4、似二次导数： 2112dxxiii以 4 秒的间隔画出 1-33 秒的图。M = moviein(101);dx=1;dt=0.1;tlen=3;beta=4; %初始化变量,tlen为震源持续时间，beta为波传播的速度u1=zeros(101,1);u2=u1;u3=u1;26%u1为前一个时刻的各点的位移，u2为当前时刻的位移，u3为下一个时刻的位移值，开始均假定为零t=0;jj=0;while (t=33) %模拟的最长时间为33秒for ii=2:100rhs=beta2*(u2(ii+1)-2*u2(ii)+u2(ii-1)/dx2; %方程的解u3(ii)=dt2*rhs+2*u
5、2(ii)-u1(ii); %对时间求导数end%左边为自由边界条件，右边为固定边界条件u3(1)=u3(2); %左边为自由边界条件u3(101)=0.0; %右边为固定边界条件%左右两边为自由边界条件% u3(1)=u3(2); %左边为自由边界条件% u3(101)=u3(100); %右边为自由边界条件%左右两边为固定边界条件% u3(1)=0.0; %左边为固定边界条件% u3(101)=0.0; %右边为固定边界条件if(t=tlen)u3(51)=(sin(pi*t/tlen).2; %地震震源时间函数endfor ii=1:101u1(ii)=u2(ii);u2(ii)=u3(
6、ii); %时刻的更新endplot(u2); %绘制目前的波形图ylim(-1.2 1.2);M(:,jj+1) = getframe; %获得当前的图像t=t+dt; %时间延长endmovie(M) %演示波形传播273.1.2 三维空间之振动方程式推导三维空间之振动方程式的过程，与上节中所采用的一维空间讨论方式类似，如图 3-2 所表示，先探讨在 x 方向之位移量 u：Fig3-2在 y-z 面上的作用力差为： dyzxx 在 x-z 面上的作用力差为： yy在 x-y 面上的作用力差为： zxx 惯量为： 2tudxyz得出 3-4xzyxxft 2其中 xx、 yx 及 zx 分別
7、为 stress tensor 在 xxx 面方向、x 力方向，yxy 面方向、x 力方向及 zxz 面方向、x 力方向方向的分量。注意，在本讲义中有关 stress tensor 的两个下标indexes 之定义，依序为面的方向与力的方向。将 xx、 yx 及 zx 与其对应的应变之关系代入 3-4 式可推导得出三维空间之振动方程式如下：. 3-5axfuxtu22其中 及 为常数，而 为 Laplacian operator，代表 。22zyx以相同的方法，可以得出在 y 及 z 方向的振动方程式，若其位移量分別为 v 与 w，则其相对应之振动方程式可分別表示如下：28 3-5byfvyt
8、v22. 3-5czfwztw22若以向量形式来统一表示 3-5a、b、c 式，可改写如下：. 3-6fudivgratu22 其中 为位移向量，在 x、y 与 z 方向的位移分量分別为 u、v 与 w。其中 为体力，只有在研究震源时，才考虑该体力。这是构成许多地震学理论zyxf,基础的基本方程，称之为连续介质方程或运动方程。体力 通常包括重力项f和震源项 。在正常模型地震学中，重力项是频率很低时的一个重要因子，gs但对所观测到的典型波长范围，即在体波和面波的计算中，通常可被忽略。在这本书后面我们将考虑震源项 。在没有体力的情况下，有齐次运动方程：sf（3-7）udivgratu22 在场论中
9、考虑到：（3.8）2将其变为更常用的形式，即：（3.8）uu2将这个式子代入（3.12）得到： )(2 rotdivgratuu上式决定了在震源区以外，地震波的传播。解真实地球模型的上述方程是地震学的重要部分，这样的解给出了离震源某一距离的特定地点预期的地面运动，通常称为合成地震图。3.1.3 体波纵波与橫波 之振动方程式首先，我们考虑由介质伸缩所衍生的质点体积应变之振动方程式。从上节所描述的单一方向x、y、z上之位移量u、v、w 所导出的振动方程式，可以进一步地推求29体积应变 所引发的振动方程式，由 的基本定义可以很自然的联想到分別将 3-4a、3-4b 以及 3-4c 三式分別对 x、y
10、 与 z 微分之后再相加，忽略体力，即可得到下式： 3-722t另外，考虑剪切应变可能产生的振动方程式。若将 3-5c 式对 y 微分、3-5b 式对 z微分，然后相減，忽略体力可得到下式：. 3-7zvywzvywt22其中括弧內的 项就是质点运动绕 x 轴的扭转角度。Fig3-3参考图 3-3，一个质点 Py、z 向逆时针方向扭转到 Py、z，扭转角度为 x，若其扭转半径为 r，根据几何关系可得到：，cosyinr其位移形变为 xxzrviyw将其分別对 y 及 z 微分且相加，得出 vx21同理得到 和 ，所以质点扭转的运动方程式可写xwzuy yuxvz21为：y30xxt22yyt2
11、2 3-8zzt3-6 式与 3-8 式可用通式描述如下：. 3-922ct其为典型之波动方程式。根据对 3-8 式而言， ，可得出 . 3-1021Vc对 3-6 式而言， ，可得出 . 3-11i23-10 可视为纵波亦称为 P 波，因其质点运动方向与波的传播方向相同如图 3-4。质点运动方向 波传方向Fig3-41-24 视为橫波亦称为 S 波，因 为扭转应变，其质点的转动方向与波的传播方向成正交。S 波依其质点振动方向的不同可分为 SV 及 SH，如图 3-5 所示。波传方向Fig3-5综合以上所得，在完全弹性介质中，当其受外力作用时，产生两种波相：纵波与橫31波。由前节所述之各弹性系
12、数的关系，我们可将 3-10 式以及 3-11 式写为：； 341V2V12V其他弹性系数与速度的关系如下：. 3-12142VE 3-13122V 3-1421343E 3-152其中 3-13 式可化为. 3-162121V在地函內部，大部分的泊松比 接近于 1/4。若 =1/4，则， 321V21 73.V而且 2561E3921V若 =1/2，即介质为纯液体，则、 及 皆为零E2132地震所产生之弹性波，穿过地球內部，藉由弹性波传播所产生的速度变化，参考弹性理论以及弹性系数关系，我们可以探索地球內部的情況。3.1.4 地震波的势位移 往往可以根据 P 波的标量势 和 S 波的矢量 ：u
13、（3.25）0,u那么有：（3.26）2将其代入 ，得到：22t0122t：（3.27）zyxu)()()( 0)13.(2 uxvwzuvyw因 为根 据将（3.27）代入 t22yyt2可得：zzt2（3.29）0122tP 波的解由 的标量波动方程给出，S 波的解由 的矢量波动方程给出。333.3 平面波式（3.28）和（3.29）具有相同的形式，它们在直角坐标系可以表示为： 222zfyxfctf我们用分离变量法来寻找 形式的解。每个因)()tTzZyYxX子是仅仅一个变量的函数。由上式可得： 2222 1dtTzZcdyYxXc这意味着 是常数，令其为 可得：21tT2tiedt,0
14、2同理，对于某常数 ,有yxktikxxeXkd,02yikyY,2zikzeZkd,02应注意， ，因此解可由三个量 ，而不是22yxzcyxk,四个量来表示。类似于一维形式的推导。该方程可以有如下形式的通解： cznyxtfcznyxtftzyxf 21,34其中 ， ，令cnkcnkzyx, 12zyxnrnzyx下面我们看看 的物理意义。令tfzyx1aconstzynxt 当 t=t1 时， )(1tczyx当 t=t2 时， 2anzyx由平面解析几何知识可知第一式为离原点距离为 的平面，第二式为离原点)(1atc距离为 的平面，并且两平面的法线方向都为 。因此两平面之间的距离)(
15、2atczyxn,为 ，为波从 t1时刻传播到 t2时刻所传播的距离，传播的速度恰为 c，这也是为什1么我们在波动方程中将其称之为速度的原因。类似地， 表示以速度 c 向-n 方向传播的平面波。cznyxtf2任意函数都可以写成简谐平面波叠加的形式根据 Fourier 叠加原理，可以把屋里上实际存在的平面波动，以数学形式分解成抽象的、覆盖整个频率范围的平面波的积分来表示： dtecxntfFFcxtf cxntijcxntij jj12实际问题不考虑 。因此通常取 为方程的基本解。而 为波传播的方向，ctieAtf rnr),( n由于 c 为波的传播速度，通常称 为慢度矢量。对不同的 做 F
16、ourier 叠加即可,A得到任意函数形式的平面波。引进平面波的概念很有帮助。平面波是一个位移只在波的传播方向上变化，在与波传播方向相互垂直的方向上，位移为常数的波动方程的解。例如，沿轴传播的波，位移可表达为：x35（3.30）cxtfu,这里 是波的速度， 是任意函数（矢量函数需表达出波的偏振） ，这波沿cf方向传播。位移不随 变化。在 方向上，波无限扩展。如x或 zy或 ZY、果 是离散的脉冲，那么假定 有以平面波阵面传播的位移脉冲形式。更普)(tfu遍地说，在位置矢量 处，平面波在单位矢量 方向传播的位移可表达为：XS（3.31）(,)/)tcxfs（3.32）这里 是慢度矢量，它的值是
17、速度的倒数。c/s由于地震能量通常由局部的震源辐射出来，地震波阵面总有某种程度的弯曲。然而，在离震源足够大的距离，波阵面平坦到足以使平面波的近似在局部上是正确的。因此，许多解地震波动方程的方法总是把整个解表达为不同传播角度的平面波的和。往往通过变换到频率域，从方程中去掉与时间的依赖关系。在这种情况下，可以把特定角频率 的位移表达为：（3.33）,ittAesxux（3.34）itk这里 叫做波数矢量。在这本书中，我们将用复数来表示谐波。skc其详细情况在附录 2 中作了复习。把谐波称为单色的平面波，有时也把它叫做调和的或稳态平面波解。用来描述这样的波的其他参数是波数 ，频ck率，周期 和波长
18、。波数为单位长度内波的震动次数。2f fT1cT在波的传播过程中，某一振动状态(周相)在单位时间内传播的距离为波速c，因此波速又叫做相速。应注意介质中各质点的振动速度和波的传播速度 c 是两个完全不同的概念。振动速度由震源确定，它是周期性变化的，而波速的大小只与介质性质有关。将不同的谐波参数归纳于表 3.1。表 3.1 谐波参数角 频 率 ckTf236频 率 f cTf12周 期 Tf速 度 c kTc波 长 f2波 数 k cfk3.4 P 波和 S 波的偏振考虑沿 方向传播的 P 波，根据（3.28）式有：x（3.35）tx2可以把（3.35）式的解写成：（3.36）t0这里减号相应于沿
19、 方向传播，加号相应于沿 方向传播。因为 ，故xxu有：（3.37）0zyxu注意对沿 方向传播的平面波，在 和 方向没有变化，所以空间导数 和x y为零。对 P 波仅在沿 轴波的传播方向上有位移。这样的波叫做纵波。而且zx因为 ，运动是不旋转的，或“无旋”的。由于 P 波使介质体积发生0变化，所以 P 波也叫“压缩”波或“膨胀”波。然而，要注意的是 P 波包括剪切和压缩， 这是为什么 P 波速度对体积模量和剪切模量反应都灵敏的原因。实际的 P 波谐振运动可以用图 3.2 来说明。37图3.2 沿页面水平传播的谐振平面 P 波（上面）和 S 波（下面）的位移。S 波纯剪切，没有体积变化。而 P
20、 波包括材料体积的变化和剪切（形状变化） 。相对于地球实际的应变，这里应变被放大。现在考虑沿正 方向传播的 S 波，矢量势为：x（3.38）zyx xttt zy位移为： 0zyzxxu（3.39）zxyy yyxzz 这里我们再用 ，即给出：0y（3.40）uyxzx运动在 和 方向，垂直于传播方向。S 波的实际运动往往可以分成两个分量：z在含传播矢量的垂直面里的运动（ 波）和取向与这个面垂直的水平运动（ SHSV波） 。因为 ，运动是纯剪切的，没有任何的体积变化（因此0u叫做剪切波） 。在垂直方向偏振的剪切谐波（ 波）的质点运动如图 3.2 所示。3.5 球面波如果我们假定球对称，P 波势
21、中的标量波动方程（3.28）就可能有另外的38解。在球坐标系里，拉普拉斯方程为：（3.41）rr221因为球对称，这里去掉角的偏导数，由表达式（3.28） ，即得到：（3.42）01122trr在点 以外，方程的解可表达为：0r（3.43）rtfr,注意到除了 因子外，这与平面波方程（3.30）是相同的。分别用+和-号表示r1向内和向外传播的波。因为这个表达式通常用来模拟从点源辐射的波，所以在正常情况下， 项表示波的振幅随距离衰减的几何扩散因子，在第 6 章将进一步r的探讨。在 时， （3.43）不是方程（3.42）的正确的解。然而，这表明（例如0rAki 和 Richards,4.1 节）
22、， （3.43）可能是以下非齐次方程的解：（3.44）tfrtr4122这里 函数在 以外的任何地方都为零，它的体积积分为 1。因子r0表示在震源时间函数。在第 9 章讨论震源理论时，我们将回到这个tf4方程上来。平面波的反射和折射地壳及地球内部是成层结构，内部有不少分界面。地表也可看作一个界面，震源在各向同性的均匀介质中产生的地震波波阵面是成球形的一层一层向外传播，称为球面波。因此，严格来讲，我们应该讨论球面波遇到分界面时的情况。但当距离震源足够远时，也就是说震源到接收点的距离比波长大得多时，作为39一种近似，可讨论平面波在分界面上的行为。同时当 （ 为分界面的曲率半径） ，也可以将分界面看
23、作平面，这样可使讨论大大简化而不影响对许多现象本质的揭示。同时，球面波在理论上可以看作是许多不同方向的均匀或不均匀的平面波的叠加，因而先弄清了平面波在分界面上的行为，也比较容易讨论球面波在分界面的行为。P 波、SV 波设平面波（指均匀的平面波）的传播方向在 xz 平面内，传播方向就是波阵面的法线方向，波的位移场可以表示为：（1）spu其中 满足压缩波的波动方程， 满足剪切波的波动方程.由于均匀平面波波阵面上的 为常数，而这里平面波传播方向在zyx,xz 平面内，因此垂直于 xz 平面的直线上的各点必在同一波阵面内，也就是：。0yyzxP 波产生的位移为： zuwvxpyp0P 波产生的应力为0
24、22222 zvywzvexu zzxzezypzyzxpzxzpz SV 波的位移40xyxuwzvzyuysvzxs yyzs0SV 波产生的应力为：02222zvywzvexxuzzezysvzy yyzxsvzx yzsvz 将上面两式代入（1）式得： xzwvzxuyspsysp分析界面条件，界面应力为： zvywzve zxxu zxzezyzy yyzxzx yzz 2 22222界面条件为界面两边应力相等，位移连续，即： ,vuzyzxz分析位移场在 y 方向的分量 ,也就是 v 全部为横波场的分量。spv,再由界面应力条件看，v 只出现 的表达式中，而 u,w 只出现在 的表
25、达xyzx,式中。因此，SH 波和 P-SV 波产生的波场是分离的。地球表面是一个特殊的分界面，它将无限介质划分为两个半空间，地面以上空气介质，其密度与地面以下的岩石或海平面以下的海水层相比可以忽略。41地球表面可以看成是一个弹性半空间表面，表面下面视为理想弹性介质，表面上面为空气，这种界面称为自由界面，自由界面上的应力作用为零。本节中将介绍弹性波在自由表面上的反射。P 波在自由界面的反射如图所示，取 xoy 平面为自由表面，设有一 P 波自下部介质入射到自由表面上，由于自由表面以上不存在介质，所以当波遇到自由表面时，只可能折回到原来的介质，而不会透过它，即只存在反射被而不存在透射波。当 P
26、波入射到自由表面上时，为满足自由表面处的边界条件，反射波中会同时产生 P 波和SV 波两种成分，此时，SV 波称为转换波。但是，由于 SH 波的振动方向与 P被和 SV 波的振动方向是相互独立的，所以反射波中不会产生 SH 波。设入射 P 波为平面简谐波，入射面为 xOz 平面，法线为 z 轴，入射 P 波的入射角为 ,反射 SV 波的反射角为 ，由图中各波的传播方向与坐标轴方向的di si关系，它们的波函数可以写为： zkxtiyzkxtizkxti BeeAeA ,21这里 只考虑 分量，这是由于只有 产生 xoz 平面的振动。y 式中， szdzdzsxxx ikikik co,cs,c
27、osn,n由边界条件可知，在 z=0 处，方程为 的线性,zkxtizkxtiezkxtie组合（其中由于 z=0，指数因子中的 z 因子全为零） 。所以必有 ，因此必有：xxsddiiinsn42这就是 Snell 定律，回忆一下几何光学，可见上式与几何光学中的折射定律和反射定律完全一致，这是由于它们在本质上（波动性）有相同之处。而折射反射定律正是反映了物质的波动相关的一种规律。在光学中是从光学实验或惠更斯原理得到了折射反射定律，而这里我们从波动方程和边界条件出发也得到了它。我们在以后的推导中令上式为常数 p。则波函数可以写为： zipxtiyzipxtizipxti sss BeeAeA
28、coco2co1 ,则：P 波产生的位移为：zuwpixpP 波产生的应力为 222222 2222 222222 2222 1sinsiniico coscosssin pi iii iipzzx ddddd dddd ddpz zizpizxwzuezxpzx 2SV 波的位移 yyxyzsv yyzxsv piuwzSV 波产生的应力为：yys ysyyzxsvzx yyyzsvz ppi pixzxwue zzi 22222 222221n1 co 43根据边界条件，可得：对于正应力： 0221| 120 zpipysvzpzz 对于剪应力： | 22120 ysvzxpzxzx zi
29、 将入射波反射波的势的表达式代入可得： 021cos2cos1212 BpAipid由第二个式子可得： ，代入第一式得到折射系数：121cos2Apid22412 1cospipAd反射系数为： 2241 1cospipABd由于 、 ，代入上面的式子sdini2 ssii2con22可得到： ssdssdiiABii2con2sisi1 22位移位的振幅并不表示质点的振幅，不具有实际物理意义，下面讨论作为位移振幅比的反射系数。对于稳态传播的 P 波，位移振幅为： ；对于稳态传播的 S 波振幅势 振 幅44为： 。我们可以举例说明上面的式子成立，如对于上面所表示的入射势 振 幅波： 1111c
30、os0zpyxpiuwvpi其合成振幅为： 2pw对于上面提到的 SV 波：yyxyzsv ysyyzxsv piuwizco其合成振幅为： ysvsvwu2由此可知，入射 P 波在做自由界面上的反射 P 波位移反射系数与势反射系数相同，而反射 SV 波的反射系数为势反射系数的 倍，即ssddssiiabii2con2sii1 22假定 SV 波入射到自由表面上，其势振幅为 A,入射角为 ，反射 SV 波的si势振幅为 B，由反射定律可知其反射角为 ，反射 P 波的势振幅为 C，反射角si为 ，则根据前面 P 波和 SV 波产生的势的定义式和表面应力条件可得：pi 02211212zpipzi
31、 yzzx 从而得到：45021cos2cos12 CpBAipi由第一个式子可得： ，代入第二式得到折射系数：ABipp1cos22pssipiABco42122将其带入上面的式子得 pssipiACco4211co2由于 、 ，代入上面的式子可得到：sinssii2con122sspdsspiiACiiB2con2sisi22考虑势振幅和位移振幅之间的关系，可得sspvp sspiiacf iib2con2sii22SH 波在自由界面上的反射设入射 SH 波的位移为：tizixissHeScon46反射 SH 波位移分别表示为： tizixisseHScon边条件为： 0|0zSzy将其简
32、化为： ，即在自由表面 SH 波的反射系数为 1.从前面的讨论可以看出，当一列 P 波入射到自由表面时，会产生一列反射P 波和一列反射 SV 波；同样，如果一列 SV 波向自由表面入射，会产生一列反射 SV 波和一列反射 P 波。或者说，在一般反射问题中半空间内至少存在三列简谐平面波（纯 SH 波仅反射 SH 波） 。如果我们令 式中的分子为零，则转换波的振幅为零，半空间中只存在一列反射波。即 P 波入射只反射 SV 波，SV 波只反射 P 波，这种现象称为偏振交换。自由界面上的位移，视出射角地面测量得到的是地面的实际位移，也就是自由表面的位移。入射波射到自由表面后由于产生了反射波，因而自由表
33、面上的位移并不等于入射波的位移，这是十分重要的。对于 P 波我们称自由表面位移向量与界面法线的夹角 为视pi入射角。称自由表面上的位移向量与地面之间的夹角 为视出射角。当 P 波入e射时，有 xzxwuui ysvpzp 210|tan将 P 波入射反射为 P 波和 SV 波的势函数，并采用反射系数可得 ssdsyp iipipxzxi 2tanco21co214tan 221 因此 ，由地震记录可得到 P 波入射到地面后地面位移的北南、东西与垂spi2直分量，求北南、东西分量的平方和再开方得到地面的水平分量，而水平分量和垂直分量的比值就是 ， 的一半即为 SV 波的反射角，根据折射定律即pi
34、tan可求得 ，即真入射角：pi pspiiins或：47290cossppee当 SV 波入射到自由表面时，其真入射角为 ， ，仿效这个式子，sisuwitan我们定义这种情况下的视入射角为 ，则1cot2cs2oinsi cos)1(tan2212 spppppsrii ACBiiiuwu在推导时应注意 。spspiin,n当 SH 波入射到自由表面时，根据前面的推导，反射系数为 1.我们同样可设入射 SH 波的位移为： tizixissHeScon总的位移为tizixitizixi sssseeHSv concon21在 z=0 的面上即得到tixitixitixi sss He nnn
35、21 2即自由表面的位移为入射 SH 波位移的 2 倍。全反射当入射波为 SV 波时，由折射定律有：spiins由于 ，因此反射 P 波的反射角大于入射 SV 波的入射角 ，当入射角 满足 sisi时，反射 P 波的反射角为 90o。1sin当 时， ，根据有关复数的知识，这时 必为复数，且有s 1sinp pi48 sinhcosin2cos22cos iinini,02iii iipp 这里 为双曲函数，并采用了欧拉公式的推论：h,inhzzee。 的数值由 确定。则代入波的势函数zizisn,cossien2可得反射 P 波的势函数为： txiztizixi eCCepp coshsin
36、hcossn易见这时反射 P 波为不均匀波，它的振幅随 z 的增大而按指数衰减，此不均匀波是沿x 轴，也就是沿界面传播的，传播的相速度为 。cosh练习：3.1 当波长 用以下参数表示时： 波数 ， 速度 ， 频率 ，)(ak)(bc)(f时间 ， 不是以上任一个，给出 与角频率的关系。)(dt)(e3.2 考虑在均匀介质里沿 方向传播的两类单色平面波： 波，对 波x Pa)(， 在 方向有位移的 波，即 。对每种kxtAuxsin)(byskxtAuysin情况，导出应力张量的非零分量的表达式。借助于（2.12）得到应变张量的分量，然后用（2.24）得到应力分量。3.3 假定谐振的 波以 在
37、固体里传播。如果最大的应变是p秒公 里 /10，那么周期为 1 秒， 10 秒， 100 秒的质点最大位移是多少？810)(a)(b)(c解：根据 ，则应变为kxtAuxsin49kxtkxtTcAkxtAx cos10os2cos 8因此， 810由此可以计算各个频率的最大位移 A。3.4 离开点源传播的 S 波可能球对称吗？在什么条件下，爆炸会产生 S 波？3.5 说明（3.43）满足（3.42） 。rtfr,21rf 2222 111 rfffrffrrr 221ft因此， （3.43）满足（3.42）3.6 （计算） ，平面波在均匀介质里沿 方向传播，剪切波的齐次动量方程x可表达为：
38、22ut这里 是位移。对 100 公里的波长和假定 的情况，写出用有限差u 秒公 里 /4分法解这方程的计算机程序。用长度间距 ，时间间距 秒。假公 里1dx1.0dt定在 （50 公里）震源时间函数的形式为：0 5 秒5sin250ttut用 （0 公里）的应力自由边界条件和 （100 公里）的固定边界条件。用有限uu差分图解来近似二次导数： 2112dxxiii以 4 秒的间隔画出 1-33 秒的图。检验一下速度为 4 公里/秒的脉冲行程。在每个端点，反射脉冲出现什么情况？当脉冲交叉时，出现什么情况？503.3 什么是偏振交换？3.4 试给出 P 波入社到自由表面时的反射 P 波和反射 SV 波的相对振幅公式，并给出各个变量的意义。3.5 试给出 SV 波入社到自由表面时的反射 P 波和反射 SV 波的相对振幅公式，并给出各个变量的意义。3.6 试证明 P 波入射到自由表面时视出射角为反射 SV 波反射角的 2 倍。3.7 试证明 SH 波入射到自由表面时，自由表面的位移为入射 SH 波位移的 2 倍。3.8 试证明 SH 波入射到自由表面时，反射系数为 1.
