1、- 0 -取球问题一、基础知识：在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下：1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取” ，即下一次的取球试验与上一次的相同。2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取” （一次性抽取、逐一不放回抽取）3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步抽球的影响4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件） ，通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数
2、。5、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等） ，在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解。二、典型例题：例 1：一袋中有 6 个黑球，4 个白球（1）不放回地依次取出 3 个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（2）有放回地依次取出 3 个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（3）有放回的依次取出 3 个球，求取到白球个数 的分布列，期望和方差X- 1 -例 2：已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3个黑球，现从甲，乙两个盒内各任取 2 个
3、球（1）求取出的 4 个球中没有红球的概率（2）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率（3）设 为取出的 4 个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望例 3：甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个9数分别为 、 、 ，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 ，某人用左右手分别从24 3甲、乙两袋中取球（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记成功取法次数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 X- 2 -例 4：袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的
4、两倍，每次从袋中摸出一个球，然后放回，若累计 3 次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第5 次摸球后结束（1）求摸球四次就停止的事件发生的概率（2）记摸到红球的次数为 ，求随机变量 的分布列及其期望例 5：学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球，2 个黑球；乙箱子里面装有 1 个白球，2 个黑球；这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖（每次游戏后将球放回原箱）（1）求在一次游戏中 摸出 3 个白球的概率 获奖的概率（2）求在三次游戏中获奖次数 的分布列与期望X- 3 -三、历年好题精选1、 （2014，福建）
5、为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3个均为 10 元，求： 顾客所获的奖励额为 60 元的概率； 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望2、 （2014，重庆）一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1，3张卡片上的数字是 2，2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片(1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；(2) 表示所取 3 张卡片上的数字的中
6、位数，求 的分布列与数学期望XX(注：若三个数 满足 ，则称 为这三个数的中位数),abccb- 4 -习题答案：1、解析：（1） 设顾客所获的奖励额为 X132460CPX（2） 可取的值为 ,132460C23410CPX的分布列为X20 60P0.5 0.5所以顾客所获的奖励额的期望为 40EX（2）每个顾客平均奖励额为 元，可知期望有可能达到 的只有方案6160或 ，分别分析以下两种方案：10,520,方案一： ，则 的取值为 ,1X20,6112406PXC2143CP124106PXC103E22216010633D方案二： ，则 的取值为 ,42X4,8224106PXC1224
7、603CP2241806PXC283E22211100806633D由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小，所以应该选择方案 2.2、解析：（1）设事件 为“3 张卡片数字完全相同”A- 5 -34958CPA（2） 可取的值为 X1,23459784C121334369PX217398C的分布列为：X1 2 3P748 1174328128EX3、解析：（1）设事件 为“ 一个 2 号球，一个 3 号球”A136205CPA（2） 可取的值为 ,413205C2136045CP136205P 2610的分布列为：3 4 5 6P15 2 131234653E4、解析：（1）设事件 为“3 个小球上的数字分别是 1,2,3”A- 6 -1122305CPA（2）设事件 为“3 个小球上的数字恰有 2 个相同”B15830C（3） 可取的值为 X2,45130P2124306CX212630P21283045CX的分布列为：X2 3 4 5P105 10 818234053E
