1、1 / 5高考题汇集- 正弦定理和余弦定理题组一 正、余弦定理的简单应用1.(2009广东高考)已知ABC 中，A ，B，C 的对边分别为 a，b，c.若ac ，且A75 ，则 b 6 2( )A2 B42 3C42 D. 3 6 2解析：如图所示在ABC 中，由正弦定理得bsin30 6 2sin75 4，6 2sin45 30b2.答案：A2(2009湖南高考)在锐角ABC 中，BC 1，B2A，则 的值等于_，ACACcosA的取值范围为_解析：由正弦定理得 .ACsin2A BCsinA即 . 2.AC2sinAcosA 1sinA ACcosAABC 是锐 角三角形，0A ，02A
2、，03A ，2 2 2解得 A .6 4由 AC2cos A得 AC的取值范围为( ， )2 3答案：2 ( ， )2 33(2009全国卷)在ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c.已知a2c 22b，且 sinAcosC3cos AsinC，求 b.解：由余弦定理得a2c 2b 22bccosA.又 a2c 22b，b0，所以 b2ccosA2. 2 / 5又 sinAcosC3cosAsinC，sinAcosCcosAsinC4cosAsinC ，sin(A C)4cosA sinC，sinB4sin CcosA.由正弦定理得 sinB sinC，bc故 b4ccos
3、A. 由、解得 b4.题组二 利用正、余弦定理判断三角形的形状4.在ABC 中， sin2 (a、b、c 分别为角 A、B、C 的对应边) ，则ABC 的形状A2 c b2c为( )A正三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形解析：sin 2 ，A2 1 cosA2 c b2ccosA a 2b 2c 2，符合勾股定理bc b2 c2 a22bc答案：B5在ABC 中，已知 2sinAcosBsinC ，那么ABC 一定是 ( )A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D正三角形解析：法一：因为在ABC 中，A BC，即 C( AB)，所以 sinCsin(AB )由 2sinA
4、cosBsinC，得 2sinAcosBsinAcosBcosAsinB ，即 sinAcosBcosAsinB0， 即 sin(AB)0.又因为AB，所以 AB0，即 AB .所以ABC 是等腰三角形法二：利用正弦定理和余弦定理2sinAcosBsinC 可化为2a c ，即 a2c 2b 2c 2，即 a2b 20，a2 c2 b22ac3 / 5即 a2b 2，故 ab.所以ABC 是等腰三角形答案：B题组三 三角形面积公式的应用6.在ABC 中， AB ，AC1，B ，则ABC 的面积等于 ( )36A. B.32 34C. 或 D. 或32 3 32 34解析：由正弦定理知 ，sin
5、C ，ABsinC ACsinB ABsinBAC 32C 或 ，A 或 ，S 或 .3 23 2 6 32 34答案：D7在ABC 中，面积 Sa 2(bc) 2，则 cosA ( )A. B.817 1517C. D.1315 1317解析：Sa 2(bc )2a 2b 2c 22bc 2bc 2bccosA bcsinA，sinA 4(1cosA)，16(1 cosA)122cos 2A1，cosA .1517答案：B8(2009北京高考)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，B ，cosA ，b .3 45 3(1)求 sinC 的值；(2)求ABC 的面积解：(1)因
6、为角 A，B，C 为ABC 的内角，且 B ， cosA ，所以3 45C A，sinA .23 354 / 5于是 sinCsin( A) cosA sinA .23 32 12 3 4310(2)由(1)知 sinA ，sinC .35 3 4310又因为 B ，b ，3 3所以在ABC 中，由正弦定理得 a .bsinAsinB 65于是ABC 的面 积 S absinC12 .12 65 3 3 4310 36 9350题组四 正、余弦定理的综合应用9.在三角形 ABC 中，已知 B60，最大边与最小边的比为 ，则三角形的最大角3 12为 ( )A60 B75C90 D115解析：不妨
7、设 a 为最大边由 题意， ，ac sinAsinC 3 12即 ，sinAsin120 A 3 12 ，sinA32cosA 12sinA 3 12(3 )sinA(3 )cosA，3 3tanA2 ，A75.3答案：B10(2010长沙模拟)已知ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，若a4，C60， SABC 8 ，则边长 c_.3解析：S ABC absinC 4b 8 ，b8.由余弦定理得12 12 32 3c2a 2b 22abcos C4 28 2248 48， c4 .12 35 / 5答案：4 311已知 a，b，c 为ABC 的三个内角 A，B ，C 的对边
8、 ，向量 m( ，1)，3n(cos A，sinA)，若 mn， 且 acosBbcosAc sinC，则角 B_.解析：mn， cosAsinA 0，3tanA ，A .33acosBbcosAcsin C，sinAcos BsinBcosAsinC sinC，sin(AB )sin 2C，sin Csin 2C，sinC0，sinC1.C ，B .2 6答案：612(2010长郡模拟)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， (舍)；23B2C ，则 AC ，ABC 为等腰三角形(2)| |2，a 2c 22accosB 4，cosB (ac)，而 cosBcos2C， C ，2 a2a2 3 2 cosB1， 1a2 ，又 ac cosB2a 2， ( ， 1)12 43 AA23
