1、必修 1第一章、集合定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素 x在集合 A 中，称 x属于 A，记为 x，否则称 x不属于 A，记作 x。例如，通常用 N， Z， Q， B， Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用 来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数， 0x分别表示有理数集和正实
2、数集。定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，则 A 叫做 B 的子集，记为 ，例如 ZN。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是 B的子集， B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。便于理解： 包含两个意思： A 与 B 相等 、 A 是 B 的真子集定义 3 交集， .x且定义 4 并集， 或定义 5 补集，若 ,1AxIACI且则 称为 A 在 I 中的补集。定义 6 集合 ,baRxa记作开区间 ),(ba，集合,bxa记作闭区间 ,，R 记
3、作 .定义 7 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。补充知识点 对集合中元素三大性质的理解（1）确定性集合中的元素，必须是确定的对于集合 A和元素 a，要么 A，要么 a，二者必居其一比如：“所有大于 100 的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合（2）互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素如：由 a， 2组成一个集合，则 a的取值不能是0或 1（3）无序性集合中的元素的次序无先后之分如：由 123上组成
4、一个集合，也可以写成 132上组成一个集合，它们都表示同一个集合学习集合表示方法时应注意的问题（1）注意 a与 的区别 a是集合 的一个元素，而 a是含有一个元素 a的集合，二者的关系是 （2）注意 与 0的区别 是不含任何元素的集合，而 0是含有元素 0的集合（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用实数集或 R来表示实数集 这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义例如：集合 ()xy上中的元素是 ()xy上，这个集合表示二元方程 yx的解集，或者理解为曲线 上的点组成的点集
5、；集合 中的元素是 ，这个集合表示函数 yx中自变量 的取值范围；集合 yx中的元素是 y，这个集合表示函数 中函数值 y的取值范围；集合 中的元素只有一个（方程 yx），它是用列举法表示的单元素集合（4）常见题型方法：当集合中有 n 个元素时，有 2n个子集，有 2n-1 个真子集，有 2n-2个非空真子集。第二章、函数定义 1 映射，对于任意两个集合 A， B，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称 f: A B 为一个映射。定义 2 函数，映射 f: A B 中，若 A， B 都是非空数集，则这个映射为函数。 A 称为它的定义域，若 x A
6、, y B，且 f(x)=y（即 x 对应 B 中的 y），则 y 叫做 x 的象， x 叫 y 的原象。集合 f(x)|x A叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数 y=3 -1 的定义域为 x|x0, xR.定义 3 反函数，若函数 f: A B（通常记作 y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射 f-1: A B 叫原函数的反函数，通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数 y=
7、 1的反函数是 y=1- 1(x0).补充知识点：定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。定义 4 函数的性质。（1）单调性：设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2 I 并且 x1f(x2)，则称 f(x)在区间 I 上是增（减）函数，区间 I 称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数 y=f(x)的定义域为 D，且 D 是关于原点对称的数集，若对于任意的xD，都有 f(-x)=-f(x)，则称 f(x)是奇函数；若对任意的 xD，都有 f(-x)=f(x)，则称 f(x)是偶函数。奇函
8、数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。（3）周期性：对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内每一个数时， f(x+T)=f(x)总成立，则称 f(x)为周期函数， T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数 T0，则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。定义 5 如果实数 aa记作开区间（ a, +），集合 x|x a记作半开半闭区间（-, a.定义 6 函数的图象，点集( x,y)|y=f(x), xD称为函数 y=f(x)的图象，其中 D 为 f(x)的定义域。通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系( a,b0
9、)；（1）向右平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象；（2）向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象；（3）向下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象；（4）与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称；（5）与函数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称；（7）与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。定理 3 复合函数 y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如 y= 21, u=2-x 在（-,2）上是减函数， y= u1在（0，+）上是减函数，所以 y= x在（-,2）上是增函数。注：复
10、合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。附：初中知识基础知识1二次函数：当 a0 时， y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数，其对称轴为直线 x=- b2，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中 x0=- ab2，下同。2二次函数的性质：当 a0 时， f(x)的图象开口向上，在区间（-， x0上随自变量 x增大函数值减小（简称递减），在 x0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当 a0 时，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0和不等式 ax2+bx+c0及ax2+bx+c0 时，方程
11、有两个不等实根，设 x1,x2(x1x2和 x|x10，当 x=x0时， f(x)取最小值 f(x0)= abc42,若 a0)，当 x0m, n时， f(x)在m, n上的最小值为 f(x0); 当 x0n 时， f(x)在m, n上的最小值为 f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。定义 1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。一定注意： “ p 或 q”复合命题只有当 p， q 同为假命题时为假，否则为真命题；“ p 且q”复合命题只有当 p， q 同时为真
12、命题时为真，否则为假命题； p 与“非 p”即“ p”恰好一真一假。定义 2 原命题：若 p 则 q（ p 为条件， q 为结论）；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非 p则 q；逆否命题：若非 q 则非 p。一定注意： 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。一定注意： 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 pq 否则记作 pq.在命题“若 p 则 q”中，如果已知 pq,则 p 是 q 的充分条件；如果 q p，则称 p 是 q 的必要条件；如果 pq但 q 不 p，则称 p 是 q 的充分非必要条
13、件；如果 p 不 q 但 p q，则 p 称为 q 的必要非充分条件；若 p q 且 q p，则 p 是 q 的充要条件。第三章、基本初等函数1指数函数及其性质：形如 y=ax(a0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为 R，值域为（0，+），当 01 时， y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。2分数指数幂： nmnnmn 1,1 。3对数函数及其性质：形如 y=logax(a0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+），值域为 R，图象过定点（1，0）。当 01 时，y=logax 为增函数。4对数的性质（M0, N0）；1） ax=Mx=logaM(a0, a1)；2）
14、 loga(MN)= loga M+ loga N；3） loga（ M）= loga M- loga N；4） loga Mn=n loga M（万能恒等式）5） loga n= 1loga M；6） aloga M=M; 7) loga b= clog(a,b,c0, a, c1).5. 函数 y=x+ （ a0）的单调递增区间是 ,和 ,，单调递减区间为0,a和 ,。（请同学自己用定义证明）6连续函数的性质：若 a0，则Ax+By+C0 表示的区域为 l 上方的部分，Ax+By+C0)。其圆心为 2,ED，半径为FED4212。若点 P(x0, y0)为圆上一点，则过点 P 的切线方程为
15、.200 FExyx14根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。给定如下三个不同的圆：x 2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别为(D 1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。必修三(1)四种基本的程序框(2)三种基本逻辑结构顺序结构 条件结构 循环结构(3)基本算法语句（一）输入语句单个变量INPUT “提示内容”；
16、变量多个变量（二）输出语句（三）赋值语句（四）条件语句IF-THEN-ELSE 格式当计算机执行上述语句时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合，就执行 THEN 后的语句 1，否则执行 ELSE 后的语句 2。其对应的程序框图为：（如上右图）IF-THEN 格式计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合，就执行 THEN 后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。其对应的程序框图为：（如上右图）（五）循环语句（1）WHILE 语句其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE 后面的“条件”是用于控制计算机执行循
17、环体或跳出循环体的。当计算机遇到 WHILE 语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行 WHILE 与WEND 之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到IF 条件 THEN语句 1ELSE语句 2END IF满足条件？语句 1 语句 2是否IF 条件 THEN语句END IF满足条件？语句是否WHILE 条件循环体WEND满足条件？循环体是否INPUT “提示内容 1，提示内容 2，提示内容 3，”；变量 1，变量 2，变量3，PRINT “提示内容”；表达式变量=表达式WEND 语
18、句后，接着执行 WEND 之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。其对应的程序结构框图为：（如上右图）（2）UNTIL 语句其对应的程序结构框图为：（如上右图）(4)算法案例案例 1 辗转相除法与更相减损术案例 2 秦九韶算法案例 3 排序法：直接插入排序法与冒泡排序法案例 4 进位制必修四第一章 基本初等函数 II定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧
19、度。360 度=2 弧度。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值|= rL,其中 r 是圆的半径。定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角 的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为（ x,y），到原点的距离为r,则正弦函数 sin= ry,余弦函数 cos= rx,正切函数 tan= ，余切函数 cot= y，正割函数 sec= x,余割函数 csc= .y定理 1 同角三角函数的基本关系式：DO循环体LOOP UNTIL 条件满足条件？循环体是否倒数关系：tan= cot1,sin= cs1，cos= ec1；商数关系：tan=
20、ino,sin；乘积关系：tancos=sin,cot s in= cos；平方关系：sin 2+ cos2=1, tan2+1=sec 2, cot 2+1=csc 2.定理 2 诱导公式（）sin(+)=-sin, cos(+ )=-cos, tan(+ )=tan , cot(+)=cot;（）sin(- )=-sin, cos(- )= cos, tan(-)=- tan, cot(-)= cot; （）s in(-)=sin , cos(-)=- cos, tan=(- )=-tan, cot(- )=- cot; （）s in 2=cos, cos 2=sin, tan 2=cot
21、（记法：奇变偶不变，符号看象限）。定理 3（根据图像去记） 正弦函数的性质：根据图象可得 y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间 ,k上为增函数，在区间 23,2k上为减函数，最小正周期为 2. 奇偶数. 有界性：当且仅当 x=2kx+ 时，y 取最大值 1，当且仅当x=3k- 时, y 取最小值-1 。对称性：直线 x=k+ 2均为其对称轴，点（k , 0）均为其对称中心，值域为-1，1。这里 kZ .定理 4 （根据图像去记） 余弦函数的性质：根据图象可得 y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k , 2k+上单调递减，在区间2k-, 2k上单调递增。最小正周期为 2。奇
22、偶性：偶函数。对称性：直线 x=k 均为其对称轴，点 0,2k均为其对称中心。有界性：当且仅当 x=2k 时，y 取最大值 1；当且仅当 x=2k- 时，y 取最小值-1。值域为-1，1。这里 kZ.定理 5 （根据图像去记） 正切函数的性质：由图象知奇函数 y=tanx(xk+ 2)在开区间(k- 2, k+ )上为增函数, 最小正周期为 ，值域为（ -，+），点（k ，0），（k+，0）均为其对称中心。定理 6 两角和与差的基本关系式：cos( )= coscos sins in,s in( )=sincos cossin; tan( )= .)tan1(t定理 7 和差化积与积化和差公式
23、:sin+sin=2s in 2cos ,sin-sin=2sin 2cos ,cos+cos =2co s cos 2, cos- cos=-2sin sin 2,sincos= 21sin(+)+sin(-), cossin= 21sin(+)-sin(- ),coscos = cos(+ )+cos(-),s insin=- cos(+)-cos( -).口诀记忆：积化和差： 21前系数：“有余为正，无余为负”“前和后差”“同名皆余，异名皆正”“余后为和，正后为差” 和差化积：正弦之和正余弦、正弦之差余正弦、余弦之和得余弦、余弦之差负正弦定理 8 倍角公式（常考）:sin2=2sinco
24、s, cos2 =co s2-s in2=2cos 2-1=1-2sin 2, tan2= .)tan1(2定理 9 半角公式:sin = 2)cos1(,cos = 2)cos1(,tan 2= )cos1(= .sin)()c(i定理 10 万能公式: 2tan1si, 2tan1cos2,.2tan1t定理 11 *【必考】辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b20，则取始边在 x 轴正半轴，终边经过点(a, b) 的一个角为 ，则 sin= 2,cos= ，对任意的角 .asin +bcos = )(2basin(+).定理 12 正弦定理：在任意ABC 中有 RCcBbAa2
25、sinisin，其中 a, b, c 分别是角A，B，C 的对边，R 为ABC 外接圆半径。定理 13 余弦定理：在任意ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B ，C的对边。定理 14 图象之间的关系：y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的 1，得到 y=sin x(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）；y =Asin(x+)( 0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，
26、得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）；y= Asin( x+)( , 0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移 个单位得到 y=Asinx 的图象。定义 4 函数 y=sinx 2,x的反函数叫反正弦函数，记作 y=arcsinx(x-1, 1)，函数 y=cosx(x0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作 y=arccosx(x-1, 1). 函数 y=tanx2,的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x-, + ). y =cosx(x0, )的反函数称为反余切函数，记作 y=arccotx(x-, +).定理 15 三角方程的解集，如果 a(-1,1)，方程 sinx=a 的解集
27、是x|x=n+(-1) narcsina, nZ。方程 cosx=a 的解集是 x|x=2kxarccosa, kZ. 如果 aR ，方程 tanx=a 的解集是x|x=k+arctana, kZ 。恒等式：arcsina+ arccosa= 2；arctana+arccota= 2.定理 16 若 2,0，则 sinx，也称内积，其中 |b|cos 叫做 b 在 a 上的投影（注：投影可能为负值）。定理 4 平面向量的坐标运算：若 a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1a+b=(x 1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2a=(x 1, y1), a(b
28、+c)=ab+ac，3ab=x 1x2+y1y2, cos(a, b)= 221yx(a, b0),4. a/bx1y2=x2y1, ab x1x2+y1y2=0.定义 5 若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1，p 2 的一点，则存在唯一实数 ，使 21P，叫 P 分 21所成的比，若 O 为平面内任意一点，则 12OP。由此可得若P1，P，P 2 的坐标分别为(x 1, y1), (x, y), (x2, y2)，则 121212yxyx定义 6 设 F 是坐标平面内的一个图形，将 F 上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向，平移|a|= 2kh个单位得到图形 F，这一过程叫做平移。
29、设 p(x, y)是 F 上任意一点，平移到上对应的点为 ),(yxp，则 kyhx称为平移公式。定理 5 对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |ab|a|b|，并且|a+b|a|+|b|.【证明】 因为|a| 2|b|2-|ab|2= )(221yx-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)20，又|ab|0, |a|b|0，所以|a|b|ab|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对 n 维向量，a=(x 1, x2,xn)，b=(y 1, y2, , yn)，同样有|ab|a|b|，化简即为柯西
30、不等式： (21 nnyx (x1y1+x2y2+xnyn)20，又|a b|0, |a|b|0，所以|a|b|ab|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对 n 维向量，a=(x 1, x2,xn), b=(y1, y2, , yn)，同样有|ab|a|b|，化简即为柯西不等式： )( 22122 nnyyxx(x1y1+x2y2+xnyn)2。2）对于任意 n 个向量，a 1, a2, ,an，有| a1, a2, ,an| a1|+|a2|+|an|。必修五第一章 解三角形在本章中约定用 A，B，C 分别表示ABC 的三个内角，
31、 a, b, c 分 别表示它们所对的各边长， 2cbap为半周长。1正弦定理： csinisin=2R（R 为ABC 外接圆半径）。推论 1：ABC 的面积为 SABC = .sin21sii21BcaAbCa推论 2：在ABC 中，有 bcosC+ccosB=a.推论 3：在ABC 中，A+B= ，解 a 满足 )sin(ia，则 a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论 1，由正弦函数定义，BC 边上的高为 bsinC，所以 SABC = Cbi21；再证推论 2，因为B+C=-A，所以 sin(B+C)=sinA，即 sinBcosC+cosBsi
32、nC=sinA，两边同乘以 2R 得bcosC+ccosB=a；再证推论 4，由正弦定理 BAasini，所以 )sin(iAa，即sinasin(-A)=sin( -a)sinA，等价于 21cos(-A+a)-cos( -A-a)= 21cos( -a+A)-cos(-a-A)，等价于 cos( -A+a)=cos( -a+A)，因为 01 时，a n=Sn-Sn-1.定义 2 等差数列，如果对任意的正整数 n，都有 an+1-an=d（常数），则a n称为等差数列，d 叫做公差。若三个数 a, b, c 成等差数列，即 2b=a+c，则称 b 为 a 和 c 的等差中项，若公差为 d,
33、则 a=b-d, c=b+d.定理 2 *【必考】等差数列的性质：1）通项公式 an=a1+(n-1)d；2）前 n 项和公式：Sn= dnan2)1()(1；3）a n-am=(n-m)d，其中 n, m 为正整数；4）若n+m=p+q，则 an+am=ap+aq；5）对任意正整数 p, q，恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若 A，B至少有一个不为零，则a n是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn.定义 3 等比数列，若对任意的正整数 n，都有 n1，则a n称为等比数列，q 叫做公比。定理 3 *【必考】等比数列的性质：1）a n=a1qn-1；2）前 n 项和 Sn，
34、当 q1 时，S n=qan)(1；当 q=1 时，S n=na1；3）如果 a, b, c 成等比数列，即 b2=ac(b 0)，则 b 叫做 a, c 的等比中项； 4）若 m+n=p+q，则 aman=apaq。定义 4 极限，给定数列a n和实数 A，若对任意的 0，存在 M，对任意的 nM(nN),都有|a n-A|b a-b0； （2）ab, bc ac；（3）ab a+cb+c； （4）ab, c0 acbc；（5）ab, cb0, cd0 acbd;（7）ab0, nN + anbn; （8）ab0, nN + nba;（9）a0, |x|a xa 或 xb0, cd0，所以
35、acbc, bcbd，所以 acbd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若 nba，由性质（7）得 nnba)(，即ab，与 ab 矛盾，所以假设不成立，所以 ；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|a|a|, -|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|，所以|a+b|a|+|b| ；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|a+b|+|b|，所以|a|-|b|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为 x+y-2 2)(yxy0，所以 x+y xy2，当且仅当 x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令 czba333
36、,，因为 x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= 21(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+选修 2-1第一章 常用逻辑用语1.充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若 BA，则 xA 是 B 的充分条件；若BA，则 xA 是 B 的必要条件；若 且 即 ，则 A 是 xB 的充要条件.2.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲
37、是乙的充分条件（甲 乙）”与“甲的充分条件是乙（乙 甲）”，是两种不同形式的问题.3.掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假. 有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.4. 会用集合的子集的方法判断充要条件：A 是 B 的充分条件（或 B 是 A 的必要条件）即 A BA 是 B 的充分不必要条件 BA 是 B 的充要条件 第二章 圆锥曲线与方程1椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF2|=2a (2a
38、|F1F2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0b0)，参数方程为 sincoyax（ 为参数）。若焦点在 y 轴上，列标准方程为12ba(ab0)。3椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆12byax，a 称半长轴长， b 称半短轴长， c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(a, 0), (0, b), (c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为cx2，与右焦点对应的准线为 ax2；定义中的比 e 称为离心率，且 ace，由c2+b2=a2 知 0b0), F1(-c, 0), F2(c,
39、 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF2|=a-ex.5.补充知识点：几个常用结论：1）过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为120byax；2）斜率为 k 的切线方程为 2bkaxy；3）过焦点 F2(c, 0)倾斜角为 的弦的长为cosabl。6双曲线的定义，第一定义：满足|PF 1|-|PF2|=2a(2a0)的点 P 的轨迹；第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(1)的点的轨迹。7双曲线的方程：中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线方程为12byax，参数方程为 tansecyx（ 为参数）。焦点在 y 轴上的双曲线
40、的标准方程为 12bxa。8双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线12byax(a, b0),a 称半实轴长， b 称为半虚轴长， c 为半焦距，实轴的两个端点为 (-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为 F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为 .,22cax离心率 ace，由a2+b2=c2 知 e1。两条渐近线方程为 xaky，双曲线 12bya与 12by有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若 a=b，则称为等轴双曲线。9补充知识点：双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线 12byax，F 1（-c,0 ）, F2(c, 0)
41、是它的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的任一点，若 P 在右支上，则|PF 1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若 P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a， |PF2|=-ex+a.2) 过焦点的倾斜角为 的弦长是 22cosa。10抛物线：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，x 轴与 l 相交于 K，以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p ，则焦点 F坐标为 )0,2(p，准线方程为 2px，标准方程为 y2=2px
42、(p0)，离心率 e=1.11补充知识点抛物线常用结论：若 P(x0, y0)为抛物线上任一点，1）焦半径|PF|= 2px；2）过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为 的弦长为 2cos1p。12极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为 O，从 O 出发的射线为极轴记为 Ox 轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点 P，记|OP|=,xOP=，则由（，）唯一确定点 P 的位置，（，）称为极坐标。13圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数 e 的点 P，若01，则点 P 的轨迹为双曲线的一支；若 e=1，则点 P 的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲
43、线统一的极坐标方程为 cos1ep。第三章 空间向量与立体几何公理 1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内则这条直线在这个平面内，记作：aa公理 2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P，则存在唯一的直线 m，使得 =m,且 Pm。公理 3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面推论 l 直线与直线外一点确定一个平面推论 2 两条相交直线确定一个平面推论 3 两条平行直线确定一个平面公理 4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行定义 1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线过空间任意一点分别作两条异面
44、直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过 900 的角叫做两条异面直线成角与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离定义 2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外定义 3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直定理 1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直定理 2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行定理 3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也
45、和这个平面垂直定理 4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离定义 4 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角结论 1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角定理 4 *【常考】(三垂线定理)若 d 为平面。的一条斜线，b 为它在平面 a 内的射影，c 为平面 a 内的一条直线，若 cb，则 c a逆定理：若 ca，则 c
46、b定理 5 直线 d 是平面 a 外一条直线，若它与平面内一条直线 b 平行，则它与平面 a 平行定理 6 若直线。与平面 平行，平面 经过直线 a 且与平面 a 交于直线 6，则 a/b结论 2 若直线。与平面 和平面 都平行，且平面 与平面 相交于 b，则 a/b定理 7 (等角定理 )如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等定义 5 平面与平面的位置关系有两种：平行或相交没有公共点即平行，否则即相交定理 8 平面 a 内有两条相交直线 a，b 都与平面 平行，则 /. 定理 9 平面 与平面 平行，平面 =a，=b，则 a/b定义 6 (二面角)，经过同一条直线 m 的两个半平面 ,(包括直线 m，称为二面角的棱)所组成的图形叫二面角，记作 m，也可记为 Am 一 B， AB 等过棱上任意一点 P 在两个半平面内分别作棱的垂线 AP，BP ，则APB( 90 0)叫做二面角的平面角它的取值范围是0， 特别地，若APB90 0，则称为直二面角，此时平面与平面的位置关系称为垂直，即
