1、12011 年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案（考试时间：2011 年 9 月 3 日上午 10001120）一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分把答案填在横线上1. 设数列 满足 ，na12123,4, ,45,.nnaa则 .201答案：8041.由题意， ， ，且312a52a123(4).nna ， .n*2Nn ，812 .0521211()058041kaa2. 不等式 对一切 成立，则实数 a 的取值xxcoscossin22R范围为 .答案： 或 .1a由题意， ，即 对2cscsxx0cos1cs22xax成立.xR令 221(1o).ftatt 2
2、0, 0,. .f解得 .12a或3. 已知定义在正整数集上的函数 满足以下条件：()fn(1) ，其中 为正整数；()()fmnffm,(2) .63则 .(201)f答案：2023066.在(1)中，令 得， . nmffmf2令 得， . 1mn12ff令 ，并利用(2)得， . 2, 6321fff由得， .3ff代入得， 11m20 2011()()()()k kfffkf 1.20364. 方程 12012x 一共有 个解.答案：4.方程 的所有解为 ；1x02x或方程 的所有解为 ；251或方程 的所有解为 ；3x39x或方程 的所有解为 ；14614或方程 的所有解为 ；25x
3、02x或一般地，方程 的所有解为()n .132x或5. 设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体, 则该正方体的棱长最大等于 .答案：11 厘米.设正方体的棱长为 ，因为正方体的对角线长不大于球的直径，a3所以， ，即 ，*320()aN*203()aN ，即 .1max16. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线 绕 y 轴旋转而构成的.2yx请问能接触到杯底的球的半径最大是 .答案： .12过抛物线顶点与球心作截面，设球的半径为 ，r由 .222210xyrxr由题意，方程 没有非零实数解.2 210xrr7. 计算： .11. _sin456sin47sin890答案： .1i
4、1sinsnsicos1in1intt.sin原式 89451cott(1)ikktt90sin.18. 10 名学生站成一排，要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子，要求每种颜色的帽子都要有，且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽子的方法共有 种.答案：1530.4推广到一般情形，设 个学生按题设方式排列的方法数为 ,n na则 ， ， .63a1843621na从而， .62 nnn .5302710二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1 （本小题满分 16 分）若 是大于 2 的正整数，求n11.n的最小值.解：当 时，3n3
5、7.4560假设 时,k1137.260kk则当 时，.321112kkk.1kk37.60因此，所求最小值为 .2 （本小题满分 20 分）在一条线段上随机独立地取两点，然后从这两点处把线段分成三段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少？解：令 a, b 和 c 为一个三角形的三边，则 a+bc, b+ca 和 c+ab.不妨设开始时的线段为区间0, 1，并且随机选取的两点为 x 和 y ，其中 0x）.18 .12P()4成 功答：得到的三条新线段能构成三角形的概率是 .13 （本小题满分 20 分）数列 满足 ，当 时01,.,.na012,0a3n有 . 证明：对所有整数 ，有
6、 .0122(.)nnaa 3n证法 1：证明：由已知得 ，在上式中以 代替 得到012()(.)nna1n，12两式相减得 ，此式对所有整数 均成立.1()nna3设 ，则2nb1 1(3)()2().nnnbb 由于 ，故 应在 与 之间. 由于1b1n6，故 . 因此当 时，均有 ，故3421,a341,59b3n1,95nb，证毕.()0nn证法 2：证明：用归纳法证明加强命题：a n n 3n + 2101 当 n = 3, 4 时，a3 = 1 , a4 = 510 23 610结论成立2 假设当 n 1 时结论成立，当 n + 1 时，an + 1 = a0 + a1 + + an1 2n= 1 + a3 + a4 + + an1 2n 1 + + + + 2n 510 610 n + 110= 1 + 2n n + 6n 320= 2nn 2 + 3n + 220 n + 310所以结论对 n + 1 时亦成立由归纳法原理及 1, 2 可知 an n 3 成立n + 210因此 an n 3 成立n + 210 n10从而本题得证
