1、0真空中的静电场基 本 要 求一、理解电场强度和电势这两个基本概念和它们之间的联系。二、掌握反映静电场性质的两个基本定理高斯定理和环流定理的重要意义及其应用。三、掌握从已知的电荷分布求场强和电势分布的方法。内 容 提 要一、真空中的库仑定律 )(4120rqF库仑定律的适用条件：1. 点电荷；2. 电荷静止（或低速） 。二、电场和电场强度电场 电荷能够产生电场。电场是一种客观存在的物质形态。电场对外表现的性质：1. 对处于电场中的其他带电体有作用力；2. 在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功，这也表明电场具有能量。电场强度的定义式 0qFE点电荷场强公式 )(4120r场强叠加原理 电场
2、中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的场强的叠加（矢量和） 。几种常见带电体的场强11、电荷线密度为 的无限长均匀带电直线外一点的场强aE022、电荷面密度为 的无限大均匀带电平面外一点的场强0方向垂直于带电平面。3、带电 Q、半径为 R 的均匀带电导体球面或导体球的场强分布rR 时， 024r4、带电 Q、体密度为 的均匀带电球体场强分布rR 时， 24E三、电通量 高斯定理电场线（电力线）画法 1. 电场线上某点的切线方向和该点场强方向一致；2. 通过垂直于 的单位面积的电场线的条数等于该点 的大小。E电场线的性质 1. 两条电场线不能相交； 2. 电场线起自正电荷（或无穷远处） ，止于
3、负电荷（或无穷远处） ，电场线有头有尾，不是闭合曲线。电场强度通量 sedSE电场强度通量也可形象地说成是通过该面积 S 的电场线的条数。高斯定理 真空中静电场内，通过任意闭合曲面的电场强2度通量等于该曲面所包围的电量的代数和的 1/ 0 倍。0内SSqdE高斯定理是描写静电场基本性质的基本定理，它反映了电场与形成电场的场源（电荷）之间的关系，说明静电场是有源场。四、静电场的保守性 环路定理静电力做功的特点 电场力做的功只取决于被移动电荷的起点和终点的位置，与移动的路径无关。静电场的环路定理 0lEd上式说明静电场力所做的功与路径无关，也说明静电场是保守力场。环路定理是静电场的另一重要定理，可
4、用环路定理检验一个电场是不是静电场。环路定理要求电场线不能闭合，说明静电场是无旋场。五、电势能、电势和电势差保守力做功和势能增量的关系 Aab = (Wb Wa) q0 在电场中 a、b 两点电势能之差等于把 q0 自 a 点移至 b 点过程中电场力所做的功。 ababa dqdWlElF0电势能 选标准点（势能零点） ，且取 W 标 =0，q 0 在电场中某点 a 的电势能为 标0adql即 q0 自 a 移到 “标准点”的过程中电场力做的功。电势能应属于 q0 和产生电场的源电荷系统共有。3电势差 a、b 两点的电势差即把单位正电荷自 ab 过程中电场力做的功。 baaba dqWUlE0
5、电势 电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“标准点”过程中电场力做的功。 0aadql点电荷电势公式 rqU04电势叠加原理 电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产生的电势的叠加（代数和） 。六、场强和电势的关系 电势梯度等势面 电势相等的点组成的面。等势面和电场线的关系 等势面与电场线处处垂直；电场线从高电势处指向低电势处；等势面密处场强大。场强和电势梯度的微分关系或 UgradEUE解题方法与例题分析一、求场强的方法在普通物理学中，求解静电场的场强的基本方法通常有以下三种：1. 用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强；2. 由高斯定理求场强，这种方法只能求解一些典型的对称性分布的带电体
6、的场强；3. 已知或求出电势分布 U 后，再由 求场UgradE4强。熟练掌握求解静电场场强的这三种方法是学好电磁学的关键。1. 用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强原则上说，用点电荷场强公式和场强叠加原理可以求任何带电体所产生的场强。带电体可以分为连续和非连续带电体，非连续带电体（如电偶极子）的场强的求解方法较简单，本书主要介绍连续带电体的场强的求解方法积分法。用积分方法求任意带电体的场强的基本思想是把带电体看作电荷元的集合（电荷元可以是线元、面元或体元） 。在电场中某点的场强为各电荷元在该点产生的场强的矢量和。积分法解题的主要步骤如下：将带电体分成无数的电荷元，每一电荷元可视为点电荷，任一
7、电荷元在空间某点场强为 02041rEdq由场强的叠加原理，带电体在该点产生的场强 02rd选择适当的坐标系，把矢量积分 化为分量积分式，如Ed取直角坐标系，则 Ex= Ex ，E y= Ey ，E z= Ez。d根据积分式中各变量之间的关系，找出统一变量，由选定的坐标系和带电体的形状确定积分限，注意积分要遍及整个带电体。进行积分求得 Ex 、E y 、E z，再求出 E 。在某些情况下，可把电荷连续分布的带电体看作由许多微小宽度的带电直线（或圆环）或者具有微小厚度的圆盘（或球壳）所组成。如无限大均匀的带电直圆柱体可看作无限多圆盘所组成，这时可以取带电圆盘为电荷元，以便求出无限大带电圆柱体轴5
8、线上一点的场强。这样取电荷元的好处是可以把二重积分或三重积分化为单重积分来做，使运算简化。2. 由高斯定理求场强用高斯定理求场强必须要根据电场的对称性，选择适当的高斯面使场强 E 能提到积分号外。用高斯定理求场强的步骤大体如下：分析给定问题中电场的对称性，如电场强度分别具有球对称性、平面对称性（无限大均匀带电的平板或平面）以及轴对称性（无限长均匀带电的圆柱体、圆柱面或直线等）时，能用高斯定理求解；选择适当的高斯面，使场强 E 能提到积分号外面。如电场具有球对称性时，高斯面选与带电球同心的球面；电场具有轴对称性时，高斯面取同轴的柱面；电场具有平面对称性时，高斯面取轴垂直于平面并于平面对称的柱面；
9、求出高斯面所包围的净电荷 q，代入高斯定理的表示式求出场强的大小。由场强的对称性确定场强的方向。3. 求电势分布 U 后，由 求场强E因为电势是标量，已知电荷分布用积分求电势比用积分求场强更为方便，所以对不能用高斯定理求场强的情况，先求电势的函数式，再用上述关系求电场强度往往是比较方便的。例 1 长 厘米的直导线 AB 均匀地分布着线密度为 的电l荷。求：（1）在导线的延长线上与导线一端 B 相距 R 处 P 点的场强；（2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距 处 Q 点的场强。A dx O B P xR l（a）RA dx B xl（b）dE图 816解 （1）如图 81（a）所示，取 A
10、点为坐标原点，向右为x 轴正方向。直导线上任一 dx 线元到 A 点距离为 x，其电场强度为 20)(4RxlddE而各段在 P 处产生场强方向相同（沿 x 轴正方向） ，故总场强为)1(4)(4100002lRRxlll 方向沿 x 轴正方向。（2）若以导线 AB 中心为坐标原点，如图 81（b）所示。dx 线元在 Q 点产生的电场为（方向如图所示）)(4120RxddE由于对称性，其叠加场强沿 y 正方向，水平方向相互抵消。在 Q 点的场强为 2 2120 )()(41cosll RxxddE02202023 )()( llRx21204ll7方向沿 y 轴正方向。当导线 l 为无限长时，
11、由上式可求得场强为 。)2/(0RE例 2 一带电细线弯成半径为 R 的半圆形，其电荷线密度为=0sin，式中 为半径 R 与 x 轴所成的夹角， 0 为一常数，如图 82 所示，试求环心 O 处的电场强度。解 在 处取电荷元，其电量为 dlq0Rsin它在 O 点处产生的场强为 204Ed0i在 x、 y 轴上的两个分量， cosdxsinEy00in4dREx Ry 0208si所以 jiyxj0例 3 利用带电量为 Q、半径为 R 的均匀带电圆环在其轴线上任一点的场强公式 推导一半径为 R、电荷2304xE面密度为 的均匀带电圆盘在其轴线上任一点的场强，并进一步推导电荷面密度为 的无限大
12、均匀带电平面的场强。图 82oxyydxEq8解 设盘心 O 点处为原点， x 轴沿轴线方向，如图 83 所示，在任意半径 r 处取一宽为 dr 的圆环，其电量dq22304xrE2302rdRxrE023Rrx0201221x当 R 时，即为“无限大”带电平面 0xE例 4 如图 84 所示，一厚为 a 的无限大带电平板，电荷体密度 = kx (0 x a)， k 为一正值常数。求： （1）板外两侧任一点 M1、 M2 的电场强度大小；（2）板内任一点 M 的电场强度；（3）场强最小的点在何处。解 （1）在 x 处取厚为 dx 的平板，此平板带电量 Sdq电荷面密度为 x则 02E02kd图
13、 84a12MOx图 83pdExRrO9adxkE02024（2）板内任一点 M 左侧产生的场强方向沿 x 轴正向a0102M 右侧产生的场强方向沿 x 轴负向dkEax02024所以 242axk（3） E = 0 时场强最小，即 022ax例 5 如图 85 所示，圆锥体底面半径为 R，高为 H，均匀带电，电荷体密度为 ，求顶点 A 处的场强。解 在离顶点 A 为 x 处选厚为 dx的薄圆盘，此圆盘半径为 r。由图知RHrx即 此薄圆盘的带电量 dxrVdq2电荷面密度 =电量/面积= 2利用例 3 均匀带电圆盘在轴线上任一点的场强结果 2012RxE可得此薄圆盘在 A 点的场强Ax图
14、85102012RrxdEdH0 xREH201220此题也可以在柱面坐标系中用三重积分来计算。例 6 半径为 R、长为 的均匀带电圆柱体，电荷体密度为 ，求圆柱体轴线上0O 点的场强。设 O 点离圆柱体近端的距离为 b，如图 86 所示。解 用积分法求解这题目时，如取点电荷为积分元，则要用三重积分。但是我们取圆盘为积分元，用圆盘在轴线上一点产生的场强的公式，只要计算定积分就可以求得圆柱体轴线上一点的场强。如图 86 取坐标，距 O 点的距离 y 处，一厚度为 dy 的圆盘在 O 点产生的场强的大小dE = 02dE12yR方向与 Y 轴相反，式中 是厚度为 dy 的圆盘上的电荷面密度，和圆柱
15、体的电荷密度 的关系0ObyY图 8611=20Rdy0所以有dE =dEby012yR= b02bd20= 02)(R2bR例 7 如图 87（a ）所示，在 XY 平面内有与 Y 轴平行、位于 x= a/2 和 x= a/2 处的两条无限长平行的均匀带电细线，电荷密度分别为 和 ，求 Z 轴上任一点的电场强度。图 87解 过 Z 轴上任一点(0，0， z)分别以两条带电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯面，如图 87（b ）所示，按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强大小为 )/(210rE式中正负号分别表示场强方向沿径向朝外和朝里，如图所示，按场强叠加原理，该处合场强的大小为 （b）X
16、o2aEzZXYZo2a（a）12cos2Era2/0)4(20za方向如图所示或用矢量表示 iE)(20z例 8 真空中有一高 h=20cm、底面半径 R=10cm 的圆锥体。在其顶点与底面中心的中点上置一 q =10-6C 的点电荷，求通过该圆锥体侧面的电场强度通量。（a） （b）图 88解 以顶点与底面圆心的中点为球心， 为22/)(hRr半径做一球面。可以看出，通过圆锥侧面的电通量等于通过整个球面的电通量减去通过以圆锥底面为底的球冠面的电通量。整个球面的电通量为 0/q通过球冠面的电通量01/S24)/(rh220)/(2hRqqRhR2/hr13式中 S 为球冠面面积 S=2r(rh
17、/2)， S0 为整球面积。通过圆锥侧面的电通量 102 2200 )/(4hRqq220/)(1 /CmN10.624二、求电势的方法在普通物理学范围内，求解静电场电势的基本方法通常有以下两种：1. 用点电荷电势公式和电势叠加原理求场强；2. 已知或求出场强分布 E 后，再由 UP= 求电势。熟练掌握求解dlE静电场电势的这两种方法是对学好电磁学大有裨益的。1. 用点电荷电势公式和电势叠加原理求场强把带电体看为由许多电荷元组成的，带电体在电场中某点产生的电势为各电荷元在该点产是的点势 dU 的叠加，即U=dU用积分求电势的步骤和用积分求场强相同，只是 U = 是d一个标量积分，不用取分量式。
18、2. 已知或求出场强分布 E 后，再由 UP = ，求电势pEr对有限大小的带电体，通常选无限远为电势的零点，所以有UP=pdr14用上式求电势时应注意：选择适当的路径，因为上述积分与路径无关，我们取积分路径时，总是设法选取使积分计算比较简便的路径；对于在积分路径上不同区域内场强的函数形式不同的情况，积分必须分段进行。如从 r 到 R 范围内的场强为 E1(r)，从 R 到“无穷远”处场强为 E2(r)，则 P 点的电势UP（ r）= 1(r)dr+ 2(r)drRR对能用高斯定理求场强的问题，用这种方法求电势比较方便。例 9 一根长为 L 的细棒，弯成半圆形，其上均匀带电，电荷线密度为 ，试
19、求在圆心 O 点的电势。解 半圆形导线半径： RO 点电势由电势迭加原理求解。， dqU04dl 0004RLlL例 10 如图 89 所示，两个均匀带电的同心球面，半径分别为 R1 和 R2，带电量分别为 q1 和 q2。求场强和电势的分布。解 （1）对称性分析：场强沿径向； 离球心 O 距离相等处，场强的大小相同。可见场强具有球对称性可以用高斯定理求场强。（2）选择高斯面：选与带电球面同心的球面作为高斯面。 当 rR2 时，取半径为 r 的高斯面S1，如图所示。由高斯定理S1图 89R2315sqd1021SE因为场有上述的对称性，所以 sr1 02124解得 20qE当 R1R2 时 r
20、qdrqdrEUr 0212014当 R1rR2 时 2001201201 20120144422 RqrRqrqdrRrr 当 rR1 时 drdrdrrEURRRr 2211 010201020210 444 qqq当然，也可以用电势叠加原理来求电势的分布，把空间各点的电势看为两个带电球壳在空间产生的电势的叠加，求得的结果和从电势定义出发求得的结果相同。如果我们对一个均匀带电球面在空间产生的电势分布的函数关系比较熟悉，那么用后一种解法是比较方便的。17习 题一、填空题1、两个正点电荷所带电量分别为 q1 和 q2，当它们相距 r 时，两电荷之间相互作用力为 F= 。若 q1+q2=Q，欲使
21、两电荷间的作用力最大，则它们所带电量之比 q1：q 2= 。2、四个点电荷到坐标原点 O 的距离均为 d，如图 810 所示，则 O 点的电场强度 E= 。3、真空中两块互相平行的无限大均匀带电平面，其中一块的面电荷密度为+ ,另一块的面电荷密度为+2，两极板间的电场强度大小为 。4、半径为 R，均匀带电 Q 的球面，若取无穷远处为零电势，则球心处的电势 V0= ；球面外离球心 r 处的电势 Vr= 。若在此球面挖去一小面积 S（连同其上电荷） ，则球心处的电势 V0= 。二、选择题1、边长为 a 的正方体中心放置一个电荷 Q，通过一个侧面的电位移矢量通量为： y+2q+2q O -q x-q
22、图 810PBAq图 811q18A. ； B. ； C. ； D. 4Q2Q62、如图 811 所示，闭合面 S 内有一点电荷 q, P 为 S 面上一点，S 面外 A 点有一点电荷 q，若将 q 移到 S 面外另一点 B处，则下述正确的是： A.S 面的电通量改变，P 点的场强不变；B.S 面的电通量不变，P 点的场强改变；C.S 面的电通量和 P 点的场强都不变；D.S 面的电通量和 P 点的场强都改变。3、关于电场强度定义式 E=F/q0，指出下列说法中的正确者： A.场强 E 的大小与检验电荷 q0 的电量成反比；B.对场中某点，检验电荷受力 F 与 q0 的比值不因 q0 而变；C
23、.检验电荷受力 F 的方向就是场强 E 的方向；D.若场中某点不放检验电荷 q0，则 F=0，从而 E=0。4、电场强度定义式 E=F/q0,这一定义的适用范围是： A.点电荷产生的电场； B.静电场； C.匀强电场； D.任何电场。5、在 SI 制中，电场强度的量纲是： A. ； B. ； C. ； D.1MLTI 21LTI 31MLTI。36、若将负点电荷 q 从电场中的 a 点移到 b 点，如图 812所示，则下述正确的是： A.电场力作负功；B.电场强度 EaEb；C.电势能减小；D.电势 VaVb。a bE图 812-QA O BCD图 813197、一电量为-Q 的点电荷位于圆心
24、 O 处，A 、 B、 C、 D 为同一圆上的四个点，如图 813 所示。现将一实验电荷从 A 点分别移到 B、 C、 D 各点，则： A.从 A 到 B，电场力做功最大；B.从 A 到 C，电场力做功最大；C.从 A 到 D，电场力做功最大；D.从 A 到各点，电场力做功相等。三、判断题（ ）1、闭合曲面内的电荷的代数和为零，闭合曲面上任一点的场强一定为零。（ ）2、闭合曲面上各点的场强为零，闭合曲面内一定没有电荷。（ ）3、闭合曲面上各点的场强仅由面内的电荷决定。（ ）4、通过闭合曲面的电通量仅由面内的电荷决定。（ ）5、凡是对称分布的均匀带电系统都可以通过高斯定理求它的电场强度。四、计算
25、题1、用细的不导电的塑料棒弯成半径为 50cm 的圆弧，棒两端点间的缝隙为 1cm，棒上均匀分布着 3.1210-9C 的正电荷。求圆心处场强的大小和方向。2、半径为 R 的非金属球带有正电荷，电荷体密度随径向距离变化的规律满足 ，其中 b 为常数，r 为离球心的距离，r20求球内、外的场强和电势分布。3、在半径为 R1 和 R2 的同心球面上，分别均匀地分布着正电荷 q1 和 q2，求场强分布，并画出场强分布曲线。4、如图 814 所示，一均匀带电直线，长度为 L，电荷线密度为 。求：（1）通过以直线的中点为球心，半径为 R 的球面的电位移通量；（2）带电直线的延长线与球面的交点 C 处的电
26、场强度 E。5、如图 815 所示，AB=2l ，弧 OCD 是以 B 为中心 、l 为半径的圆，A 点有一正电荷+q，B 点有一负电荷-q，求：（1）O 点的场强与电势，D 点的场强与电势；（2）把单位正电荷从 O 点沿弧 OCD 移动到 D 点，电场力对它做了多少功；（3）把单位负电荷从 D 点沿 AB 的延长线移动到无穷远处，电场力对它做了多少功。6、如图 816 所示，长 L 的均匀带电细锡棒带电 Q。求轴上一点 P(O，a )的电势。C+q -qA O B D图 815图 814Rc LCyPaL x图 816Q d2P图 817l1d217、半径为 R1 和 R2（R 1R2）的同轴无限长圆柱面上，分别均匀地分布着正电荷，两圆柱面上单位长度分布的电荷为 1 和2，以 R2 圆柱面为零电势参考点，求电势分布并画出电势分布曲线。8、图 817 所示，长 l=15.0cm 的直导线 AB 上，设想均匀地分布着线密度 =5.0010-9Cm-1 的正电荷。已知d1=d2=5.0cm，求 P 点和 Q 点的电势。9、一无限长直线，线电荷密度为 =0.4010-6 Cm-1，如果B 点离直线的距离是 A 点的 2.0 倍，求 A、 B 两点之间的电势差。
