1、一、平面汇交力系合成的几何法 多边形法则,从汇交点出发，依次将力系中各分力首尾相连接，最后连接第一个力的始点和最后一个力的终点，即得原力系的合力。合力作用线仍过原力系的汇交点。力的多边形法则 （适用于平面汇交力系）,对于由n个力组成的汇交力系,2.1 平面汇交力系的合成与平衡的几何法,一、平面汇交力系合成的几何法 多边形法则,矢量加法的交换律,由矢量加法的交换律与结合律可知，力的多边形的形状不唯一,A + B = B + A,矢量加法的结合律,A + B + C = A+（ B + C ）,力的相加顺序可改变,2.1 平面汇交力系的合成与平衡的几何法,例：平面汇交力系，F1 = 3kN，F2
2、= 1kN，F3 = 1.5kN， F4 = 2kN。方向如图所示，求此力系合力。,解：几何法。将力系中各力依次首尾连接，最后连接第一个力的始端和最后一个力的未端,由几何关系,合力沿右下方与水平方向成69.5,FR = 3.325kN,二、平面汇交力系平衡的几何条件,1.汇交力系的平衡条件,汇交力系平衡的充分必要条件是力系的合力为零,2.平面汇交力系平衡的几何条件,平面汇交力系平衡的充分必要的几何条件是力的多边形自行封闭,第一个力的始点与最后一个力的终点重合,2.1 平面汇交力系的合成与平衡的几何法,例：构架由AB、AC组成，A、B、C三点都是铰接。A点受向下力G，杆重忽略不计。求AB、AC杆
3、的受力。,解：取整个构架为研究对象，画受力图,平衡,平衡力系,力系的平衡条件,由几何关系,一、力在轴与平面上的投影,1.力在轴上的投影,a,b,B,A,从力的始端和未端分别向 n 轴做垂线,连线ab 称为力 F 在 n 轴上的投影：Fn,ab 指向与 n 轴正向一致时，投影为正；反之为负,力在轴上的投影等于力的大小乘以力与轴的正向间夹角的余弦,2.2 力在坐标轴上的投影,一、力在轴与平面上的投影,2.力在平面上的投影,2.2 力在坐标轴上的投影,a,b,B,A,从力的始端和未端分别向平面做垂线,矢量ab 称为 力 F 在 xy平面上的投影：Fxy,大小为,Fxy=F cos,Fxy,二、力在直
4、角坐标轴上的投影,1.力在平面直角坐标轴上的投影,2.2 力在坐标轴上的投影,Fx,Fy,Fx=F cos,Fy=F sin,二、力在直角坐标轴上的投影,2.力在空间直角坐标轴上的投影,2.2 力在坐标轴上的投影,O,Fy,Fz,Fx,直接投影法,Fx=F cos,Fy=F cos,Fz=F cos,二、力在直角坐标轴上的投影,2.力在空间直角坐标轴上的投影,2.2 力在坐标轴上的投影,O,Fy,Fz,Fx,二次投影法,Fx=F cos cos,Fy=F cos sin,Fz=F sin,三、力的投影与分力的比较,1.联系,2.2 力在坐标轴上的投影,O,力在直角坐标轴上投影的大小与其沿相应轴
5、分力的模相等，且投影的正负与分力的指向相应一致,F =Fxy+Fz,Fxy =Fx+Fy,Fx =Fx i,Fy =Fy j,Fz =Fz k,F =Fx+Fy+Fz = Fx i +Fy j +Fz k,i、j、k表示沿xyz轴方向的单位矢量,|Fx | =Fx,|Fy | =Fy,|Fz | =Fz,三、力的投影与分力的比较,1.联系,2.2 力在坐标轴上的投影,O,力在直角坐标轴上投影的大小与其沿相应轴分力的模相等，且投影的正负与分力的指向相应一致,| F | =,cos (F , i ) = Fx / F,cos (F , j ) = Fy / F,cos (F ,k ) = Fz /
6、 F,Fx2+Fy2+Fz2,F =,F 方向余弦,三、力的投影与分力的比较,2.区别,2.2 力在坐标轴上的投影,分力是矢量，投影为标量。 在斜坐标系中，分力的模不等于投影。,O,力 F 在两坐标轴上投影 Fx、Fy,力 F 在两坐标轴上分力 Fx、Fy,|Fx | Fx,|Fy | Fy,在图示斜坐标系中，假设,一、平面汇交力系合成的解析法（合力的大小和方向）,2.3 平面汇交力系的合成与平衡的解析法,对于由n个力组成的平面汇交力系,于是 FR =FRx i +FRy j +FRz k,定义i、j、k表示沿xyz轴方向的单位矢量,Fi =Fix i +Fiy j +Fiz k,FRx i
7、+FRy j +FRz k = (Fix i +Fiy j +Fiz k),= (Fix) i + (Fiy) j + (Fiz) k,一、平面汇交力系合成的解析法（合力的大小和方向）,2.3 平面汇交力系的合成与平衡的解析法,合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和 合力投影定理,FRx = Fix,FRy = Fiy,FRz = Fiz,= Fx,= Fy,= Fz,一、平面汇交力系合成的解析法（合力的大小和方向）,2.3 平面汇交力系的合成与平衡的解析法,于是可得合力FR大小,| FR | =,FRx2+FRy2+FRz2,(Fx)2+ (Fy)2 + (Fz)2,cos
8、(F , i ) = Fx / FR,cos (F , j ) = Fy / FR,cos (F , k) = Fz / FR,FR方向余弦,FR =,一、平面汇交力系合成的解析法（合力的大小和方向）,2.3 平面汇交力系的合成与平衡的解析法,于是可得合力FR大小,| FR | =,FRx2+FRy2+FRz2,(Fx)2+ (Fy)2 + (Fz)2,cos (F , i ) = Fx / F,cos (F , j ) = Fy / F,cos (F , k) = Fz / F,FR方向余弦,FR =,一、平面汇交力系合成的解析法（合力的大小和方向）,2.3 平面汇交力系的合成与平衡的解析法
9、,于是可得合力FR大小,| FR | =,FRx2+FRy2+FRz2,(Fx)2+ (Fy)2 + (Fz)2,cos (F , i ) = Fx / F,cos (F , j ) = Fy / F,cos (F , k) = Fz / F,FR方向余弦,FR =,平面汇交力系,例：平面汇交力系，F1 = 3kN，F2 = 1kN，F3 = 1.5kN， F4 = 2kN。方向如图所示，求此力系合力。,解：解析法。以汇交点O为原点，建立直角坐标系,于是,合力大小,FRx =Fx = 0-F2+F3cos60+F4cos45,FRy =Fy =-F1+0+F3sin60-F4cos45,FR=
10、,FRx2+FRy2,合力方向,tan= | FRy /FRx |,= 3.115 / 1.164 = 2.676,= 69.5,二、平面汇交力系平衡的解析条件平衡方程,2.3 平面汇交力系的合成与平衡的解析法,于是可得合力FR大小为0，即,(Fx)2+ (Fy)2 + (Fz)2 =0,汇交力系平衡的充分必要条件是力系的合力为零,汇交力系中各力在任一轴上的投影的代数和均为零,汇交力系平衡的充必要的解析条件,汇交力系的平衡方程,二、平面汇交力系平衡的解析条件平衡方程,2.3 平面汇交力系的合成与平衡的解析法,于是可得合力FR大小为0，即,(Fx)2+ (Fy)2 + (Fz)2 =0,汇交力系
11、平衡的充分必要条件是力系的合力为零,汇交力系中各力在任一轴上的投影的代数和均为零,汇交力系平衡的充必要的解析条件,汇交力系的平衡方程,平面汇交力系,例：构架由AB、AC组成，A、B、C三点都是铰接。A点受向下力G，杆重忽略不计。求AB、AC杆的受力。,解：取整个构架为研究对象，画受力图选投影轴列平衡方程求解,解得,Fx = 0,-FB sin60+FC sin30= 0,Fy = 0,FB cos60+FC cos30-G= 0,例：构架由AB、AC组成，A、B、C三点都是铰接。A点受向下力G，杆重忽略不计。求AB、AC杆的受力。,解：取整个构架为研究对象，画受力图选投影轴列平衡方程求解,解得,Fx = 0,FC - G sin60= 0,Fy = 0,FB - G sin30= 0,使尽可能多的未知力垂直于投影轴,
