1、管理博弈论 另眼看管理,陈方英 副教授 泰山学院旅游与资源环境学院 13668689362,Game Theory,第一章 导 论 一、什么是博弈?,决策无处不在,博弈论-无处不在的游戏决策,“要想在现代社会做一个有文化的人,你必须对博弈论有一个大致了解”。保罗萨缪尔森,博弈现象无处不在,你的选择必须考虑其他人的选择,而其他人的选择也考虑你的选择。你的结果,不仅取决于你的行动选择同时取决于他人的策略选择。你和这群人构成一个博弈()。,博弈逻辑:如果我,那么他; 如果我,那么他。,上,中,中,下,下,上,输,赢,赢,2:1 田忌赢,齐王,田忌,三国演义蜀吴的灭亡,面对火灾如何逃生,金发女郎的悲
2、哀 (A Beautiful Mind),在电影美丽心灵中,纳什深入剖析了金发女郎的问题:(1)有两个或两个以上的男士 (2)有多个魅力十足的女士,且比男士多一人 (3)只有一个金发女郎 (4)相对于其他女士,男士们更喜欢金发女郎, 不过有女伴总比无人陪伴好。,电影中,纳什发现,如果所有男士都去追求金发女郎,他们不仅会被拒绝,还将惹恼其他女士,结果男士都没有找到女伴,这是最坏的结果。 纳什给出建议:所有男士都应该忘掉金发女郎,追求其他女士,这样男士们都不会空手而归!可是,电影中纳什给出的战略并非最优的!,动物界的现象 待宰的猴群,人类社会的现象 小偷为何猖獗,如何走出囚徒困境 (prisone
3、rs dilemma ),博弈论中一些论点(1),千万不要雇用过于急切为你工作的人! 不要太相信抽烟的人! 在商场中,许多人展示出诚实的品质,并不是基于道德,而是由于贪婪! 不留退路的选择可以提高支付! 烧钱可以增加财富! 股价对新信息的反应很快!,博弈论中一些论点(2),每天进行短线投机的人也要关注股价的长期趋势! 要求加薪时,使自己陷入可能的难堪境地,能够增加自己的谈判力! 有精神问题的人比心智健全的公司同事更具有谈判优势人类的竞争为什么会造成奇怪与看似矛盾的结果?,荣誉与利益无法并存俗谚,因此,理性是解决博 弈问题的关键。,二、博弈论的现实意义,用科学的方法解释社会现象 用科学的方法对企
4、业、市场、国家进行有效地管理 提高个人决策的选择能力,学会选择最优策略博弈论不是一门远离自己生活的玄学理论,而是分析和描述自己身边事情的有效方法。,二、博弈论的现实意义,社会由不同的人群的集合体所构成。不同的人群集合体形成不同的结构,一个结构中的群体之间的相互作用(interactions)就构成一个博弈。这个博弈是广义上的。 社会中有不同的文化,人类有文明、道德,如果说文明、文化、道德是宏观的社会现象,那么还存在着微观的社会现象,如:群体为什么有合作又有不合作?为什么人群之间或集团之间有“威胁”或“承诺”?博弈论不是一门远离自己生活的玄学理论,而是分析和描述自己身边事情的有效方法。,学习博弈
5、论的必要性,博弈论已经进入主流经济学领域。博弈论可以解释经济中许多低效率现象的根源,找出导致低效率的制度原因,从而帮助政府制订、修改政策完善交易制度和提高经济效率。 博弈论广泛应用于政治、经济、外交和社会学领域,为解决不同实体的冲突和合作提供了一个重要的分析方法。,博弈论与经济学,博弈论已经成为现代经济学三大分支之一的微观经济学的基石,并且已经在政治、经济、外交和社会学领域有了广泛的应用,它为解决不同实体的冲突和合作提供了一个重要的分析方法。 博弈论上世纪后半叶就已成为西方主流经济学之一。注:最初,其隶属于数学一个分支!,三、博弈论的发展历史(1),博弈现象自古就有,博弈方无意识的运用着博弈的
6、思想,思想方法体系尚未出现! 1838年,法国数学家和经济学家Cournot(1838) 最早有意识的运用博弈思想分析经济现象,半个世纪后类似的分析由Bertrand(1883)给出。,上世纪初,数学家Zermelo、Borel、Von Neumann就已着手研究博弈的数学陈述。 1928年, Von Neumann提出的二人零和博弈的极小化极大定理通常被认为是博弈论奠基的标志。 1939年,经济学家摩根斯特恩 (Morgenstern)与数学家冯诺依曼 (Von Neumann)开始合作研究用博弈论来进行经济分析。 1944年, Morgenstern与Von Neumann出版博弈论与经济
7、行为 (The Theory of Games and Economic Behaviour)一书,该书被认为是划时代的著作。,Von Neumann冯诺伊曼(1903),1944年, Morgenstern与Von Neumann出版博弈论与经济行为 (The Theory of Games and Economic Behaviour)一书,该书被认为是划时代的著作。,博弈论简史(2),20世纪50至80年代,被认为是博弈论巨人产生的年代。 50年代,纳什(Nash)定义了“囚徒困境”并提出“纳什均衡”,奠定了非合作博弈的基石。,1950年,Nash撰写并通过博士论文非合作博弈,提出Nas
8、h均衡概念,并给出了Nash均衡存在性定理,其主要结果发表在1950年的美国科学院院报上和1951年数学年刊(Annals of Mathematics)。,纳什的故事(1),1928年6月13日,约翰福布斯纳什(John Forbes Nash)出生于美国西弗吉尼亚州的布鲁菲尔德市。1948年9月入普林斯顿大学作研究生,于1950年获数学博士学位,并留校任讲师一年。1951年到麻省理工学院任教,直到1959年因精神分裂症而离职。,纳什的故事(2),1958年,由于纳什在博弈论、代数几何学和非线性理论方面取得的成就,财富杂志推举他为同时活跃在纯粹数学和应用数学两个领域的新一代天才数学家中最杰出
9、的人物。 1959年,在失踪两个星期之后,无精打采的纳什来到麻省理工学院休息室同事的身边,神秘兮兮地指着手中的一份纽约时报说,来自外太空或外国政府的抽象力量正在通过纽约时报跟他进行交流;还说,他收到的信息只是给他一个人的,已经用密码加密,需要经过精密的分析才能看出来,其他人不可能破译;而现在他已得到许可,可以和整个世界分享这些秘密。,纳什的故事(3),在1994年诺贝尔经济学奖揭晓的那天下午,普林斯顿大学为纳什举行了一个小型香槟酒会。纳什在会上说,他不习惯发表讲话,但这次他有三件事要说。其中第一件事就是,他希望获得诺贝尔奖可以改善他的信用评级,因为他实在太需要一张信用卡了。这个小小的愿望,竟然
10、出自这样一个杰出人物之口,也真是太令人感叹了。 第二件是他更希望自己能够独享诺贝尔奖,因为他太需要那笔钱,他要为自己的住房支持欠款;第三件是他认为自己的博弈论研究是与超弦理论类似的高度智力课题,其实用性也许是次要的或者可疑的。,在Nash均衡中,各个局中人的预期 全部实现,他们选择的策略亦是最 优的!1994年宣布诺贝尔经济学奖得主时的新闻稿Nash均衡是一个不会令人后悔的结果,无论其他人 怎么做,各方对于自己的策略都很满意。你不一定 满意其他人的策略,但你的策略是应对对手策略的 最优策略。,1994年经济学诺贝尔奖颁发给三位博弈论专家:纳什、泽尔腾(或叫塞尔顿)(Selten)、海萨尼(Ha
11、rsanyi),博弈论简史(3),1965年,泽尔腾(Selton)首先分析动态博弈的交互作用深化了Nash均衡的概念,提出了“精炼Nash均衡”概念以及进一步刻画不完全信息动态博弈的“完备贝叶斯Nash均衡”。海萨尼(Harsanyi)在(19671968年)则把不完全信息引入博弈论的研究,提出“贝叶斯纳什均衡”。,1967年,海萨尼(Harsanyi)指出怎样的不完全信息的博弈可以进行分析,提出了“Bayesian Nash均衡”概念,从而为极为活跃的研究领域信息经济学提供了理论基础,同时发表奠基之作:具有不完全信息的由Bayesian局中人进行的博弈(1968)。 之后, Selton与
12、Harsanyi长期合作,极大地发展了非合作博弈。,博弈论简史(6),70年代阿克洛夫、斯宾斯和斯蒂格利茨相继发展了非对称信息博弈理论,从而衍生出了信息经济学分支,到80年代,克瑞普斯(Kreps)和威尔逊(Wilson)等将不完全信息引入动态博弈中,提出了“精炼贝叶斯纳什均衡”。 但在20世纪70年代中期之前,博弈论主要还是作为数学的一个分支。而博弈论得到主流经济学界认可的标志是1994年数学家纳什(Nash)、经济学家海萨尼(Harsanyi)和泽尔滕(Selten)获得诺贝尔经济学奖。,博弈论简史(7),博弈论真正得到重视并成为主流经济学的一部分不过是最近二十年的事。现在,博弈论正在得到
13、经济学科的接受和运用,贯穿了几乎整个微观经济学,并且已扩展到宏观经济学,产业组织理论、金融、福利经济学等方面的研究中也占有重要地位,大有“吞噬”整个西方现代经济理论的趋势。 事实上,博弈论方面的学者获得诺贝尔经济学奖实在不少。,博弈论简史诺贝尔经济学奖,1994年,三位博弈论专家获得:纳什、泽尔腾(或叫塞尔顿)(Selten)、海萨尼(Harsanyi)(非合作博弈)The prize was awarded jointly to John Harsanyi, John F. Nash and Reinhard Selten for their pioneering analysis of e
14、quilibria in the theory of non-cooperative games. (1994),博弈论简史诺贝尔经济学奖,1996年,英国经济学家莫里斯(Mirrlees) 和美国经济学家维克里(Vickrey(非对称信息下的激励理论)。,The prize was awarded jointly to James A. Mirrless and William Vickeryfor their pioneering analysis of Information Economics (非对称信息下的激励理论) (1996),博弈论简史诺贝尔经济学奖,2001年三位美国经济学
15、家阿克洛夫(Akerlof)(旧车市场)、斯蒂格利茨(Stiglitz)(金融市场)和斯宾塞(Spence)(劳动力市场) (非对称信息下的市场理论)。The prize was awarded jointly to Jeorge Akerlof、Michael Spence and Joseph Stiglitzfor their pioneering analysis ofasymmetrical market information (非对称信息市场分析) (2001),博弈论简史诺贝尔经济学奖,2005年由拥有以色列和美国双重国籍的经济学家罗伯特奥曼(Robert. J. Aumann
16、)和美国经济学家托马斯谢林(Thomas. C. Schelling)分享(冲突与合作理论)。 The prize was awarded jointly to Robert J. Aumann, Thomas C. Schelling for their pioneering analysis on game theory, which can help resolve conflicts. (经济、政治、军事冲突等) (2005),博弈论简史诺贝尔经济学奖,2007年诺贝尔经济学奖颁给了三位美国经济学家:赫维茨(Hurwicz)、迈尔森(Myerson)和马斯金(Maskin),以表彰他们
17、为机制设计理论奠定基础。 The prize was awarded jointly to Leonid Hurwicz、Roger B. Myerson、Eric S. Maskinfor their pioneering analysis ofhaving laid the foundations of mechanism design theory(机制设计理论)(2007),而像1985年获得诺贝尔奖的公共选择学派的领导者布坎南,1995年获得诺贝尔奖的理性主义学派的领袖卢卡斯(ukas),其理论与博弈论都有着较深的联系。现在博弈论正渗透到各门社会科学,更重要的是它正深刻地改变着人们的
18、思维。,博弈论简史诺贝尔经济学奖,1994年,三位博弈论专家获得:纳什、泽尔腾(或叫塞尔顿)(Selten)、海萨尼(Harsanyi)(非合作博弈) 1996年,英国经济学家莫里斯(Mirrlees) 和美国经济学家维克里(Vickrey(非对称信息下的激励理论)。 2001年三位美国经济学家阿克洛夫(Akerlof)(旧车市场)、斯蒂格利茨(Stiglitz)(金融市场)和斯宾塞(Spence)(劳动力市场) (非对称信息下的市场理论)。 。 2005年由拥有以色列和美国双重国籍的经济学家罗伯特奥曼(Robert. J. Aumann)和美国经济学家托马斯谢林(Thomas. C. Sch
19、elling)分享(冲突与合作理论)。 2007年诺贝尔经济学奖颁给了三位美国经济学家:赫维茨(Hurwicz)、迈尔森(Myerson)和马斯金(Maskin),以表彰他们为机制设计理论奠定基础。,博弈论告诉我们,要善于站在别人的角 度处理问题,每个个体都是理性的,所 以必须了解竞争对手的思想。“换位思考”,作业,简述博弈论发展史 在博弈论发展史中,那些学者因为对博弈论得得贡献获得了诺贝尔经济学奖,其重要贡献是什么?,完全信息静态博弈,策略性博弈:n人博弈的正则型(或策略性)表示指定了n个局中人以及他们各自的纯策略空间 和这些局中人各自得到的盈利函数 。我们将该博弈表示成:,零和博弈猜谜,有
20、甲乙两人,当说开始时,乙要么出示一个指头,要么出示两个指头;同时,甲也在这两种可能中作出选择出示一个或两个指头。 游戏规则:如果指头数相同,规定甲赢,乙必须付给甲一元;倘若指头数不匹配,则乙赢,甲必须付给乙一元。,此博弈的盈利矩阵为:局中人乙1 21 局中人甲2注:常和博弈也可看成是“零和博弈”!,不难发现,类似于这样的博弈,如剪刀、石头、布等,不管局中人采取何种策略,他都有可能赢钱,也可能输钱。除了作弊外,没有一个人会告诉局中人应该伸出几个手指。 用学术性的语言讲,就是“猜谜博弈在纯策略空间中不存在解!”也即,我们无法对这样的博弈作出合理的预测!,显然,不存在纯策略解,不等于该游戏不能进行!
21、 实践告诉我们,只要多玩几次这样的博弈,局中人从平均收益来讲至少可以让自己不输,即局中人的期望收益为0。 在每一次操作中,为了赢钱,任何一个局中人都不愿意把自己选择何种策略的意图暴露给对方,最好的办法就是随机从两个纯策略当中选择一个,即对两个纯策略赋予一定的概率!,混合策略:局中人的一个混合策略是该局中人的纯策略空间上的概率分布。 所有局中人各自采取的混合策略是统计独立的! 所有局中人的混合策略空间的笛卡尔积构成博弈的混合策略空间,其中的任意元素称为策略剖面! 局中人在策略剖面上的盈利是该剖面上所有可能的纯策略组合盈利的期望值!,不难求出上述猜谜博弈的合理的混合策略剖面是:在这样的混合策略下,
22、甲乙的期望收益均为0,这至少保证了自己不输!,典型案例(1),囚徒困境 (Prisoners Dilemma)嫌疑犯B,嫌疑犯A,坦白,抗拒,坦白,抗拒,典型案例(2),智猪博弈大猪踩 不踩踩小猪不踩,囚徒困境与智猪争食都可以通过累次严优方法获得博弈解,但内涵不同:囚徒困境一个鲜明特点是“个体理性”与“共同理性”之间存在着矛盾,如果双方合作,处境会好很多。 智猪争食没有这样的矛盾,博弈的解(大猪踩,小猪不踩)是个有效结局,因为其他任何结局都将使小猪的收益减少!,智猪博弈的现实案例,石油输出国 OPEC几乎所有的卡特尔都会遭到失败,原因就在于卡特尔的协定(类似囚犯的攻守同盟)不是一个纳什均衡,没
23、有成员有兴趣遵守。那么是不是不可能有卡特尔合作成功了?理论上,如果是无限期的合作,双方考虑长远利益,他们的合作是会成功的。但只要是有限次的合作,合作就不会成功。比如合作次,那么在第九次博弈参与人就会采取不合作态度。,什么是Nash均衡?,Nash均衡策略是指这样的策略组合(或剖面),为了极大化自己的盈利(或效用),每一个局中人所采取的策略一定应该是关于其他局中人所采取策略的最佳反应。因此,没有一个局中人会轻率地偏离这个策略组合(或剖面)而使自己蒙受损失!,存在性定理(1950,Nash)每一个有限博弈至少存在一个纯战略的或混合战略的Nash均衡。(证明方法是运用角谷静夫(Kakutani)的不
24、动点定理。),Nash均衡的存在性,如何求解Nash均衡?(续),Cournot竞争模型(产量竞争,1838) Bertrand竞争模型(价格竞争,1883) Hotelling差异模型(定位竞争,1929) Salop圆形城市模型(市场进入,1979),Nash均衡的多重性(1),双均衡的性别战女足球 芭蕾足球男芭蕾事实上,这一博弈还存在一个混合战略Nash均衡,(2/3,1/3),(1/3,2/3),Nash均衡的多重性(2),双均衡的懦夫(斗鸡、鹰鸽)博弈,乙强硬 软弱强硬甲软弱 还存在一个混合战略Nash均衡,(1/2,1/2),(1/2,1/2),Nash均衡的多重性(3),奇数定理
25、如果一个博弈存在两个纯战略Nash均衡,则一定存在另一个混合战略Nash均衡。,Nash均衡的多重性(4),Nash均衡的精炼 (1)“焦点”理论(Schelling,1960) (2)“风险占优”(Harsanyi,Selten,1988) (3)“Pareto最优均衡” (4)“抗联盟均衡”(Bernheim,Peleg,Whinston,1987) (5) “相关均衡”(Aummann,1974),Nash均衡的多重性(5),焦点理论“谢林点”游戏1:两个局中人,独立写出(-1,1)中的任意一个实数。倘若他们写出的数字吻合,每人奖励100元,否则,每人罚10元!问:如果是你,你会写哪个数
26、字?,Nash均衡的多重性(续5),游戏2:两个人分蛋糕,每人独立提出自己 想要的份额,如果相加正好是1,则各人分得自己想要的份额,否则就没有份!问题:如果是你,你该提出要多少!-以“焦点”理论来预测,根本原因在于各种各样策略的“焦点”依赖于局中人的文化背景、习惯或者历史经验等等!,Nash均衡的多重性(6),风险占优从多重Nash均衡中选取一个合理的预测常常依赖预测风险的大小。人们通常比较倾向于接受风险较小的结局。 例:共同投资博弈从风险角度来看,(小,小)优于(大,大) !,Nash均衡的多重性(7),Pareto最优均衡即在不损害其他人利益的前提下,局中人将不可能再增加自己的利益!这是一
27、个有效结局,即是数理经济学追求的Pareto最优!但是, Harsanyi和Selten的风险占优恰好提出了博弈并不总是以Pareto最优均衡结局作为其合理预测!,Nash均衡的多重性(8),抗联盟均衡当博弈的局中人多于三个时(包含三个),就有可能部分人结成“联盟”,在极大化联盟成员利益的同时损害了其他局中人的利益,这显然有悖于Pareto最优均衡的基本精神!,Nash均衡的多重性(续8),从防联盟的意义上看,应当在固定任何一个局中人的策略选择时,其他局中人将协调在条件博弈的Pareto最优均衡上,如果这样协调的结果偏离了原始的Nash均衡,那么这个Nash均衡(不管它是否是原博弈的Paret
28、o最优均衡)就不能成为合理的预测;假如协调没有背离原来的Nash均衡,那么这个结局可能成为一个合理的预测!,Nash均衡的多重性(9),相关均衡采用一种可公共观察的随机变量,参与人可以获得Nash均衡收益的“凸壳”中的任意收益向量!,Nash均衡的多重性(续9),乙L R甲 UD约定:若硬币是正面,甲取U而乙取L;若硬币是反面,甲取D而乙取R。注意:这种约定相当于在两个纯策略Nash均衡 中随机化选择!,Nash均衡的多重性(续9),相关装置使局中人获得更多信息从而获得更好的期望效用或收益。因此,如果将信号装置设计的更巧妙一些,结局也许会更好! 看上例,约定:甲乙事先知道丙从A、B、C三张牌中
29、等可能地抽取一张,若为A,则出示给甲看;若为C,则出示给乙看;若是B,则不出示给任何一个局中人看。,Nash均衡的多重性(续9),在上述相关装置的帮助下,该博弈的Nash均衡为:局中人甲被告知A时取策略U;局中人甲被告知(B,C)时取策略D;局中人乙被告知C时取策略R;局中人乙被告知(A,B)时取策略L。,Nash均衡的多重性(续9),由于A、B、C三种状态是等可能的,因此我们建立了局中人的选择为相关的均衡相关均衡:各以三分之一的概率取(U,L)、(D,L)、(D,R) 注:这个相关均衡避免了“坏结局” (U,L)的发生,且局中人的平均盈利都为10/3。显然, (10/3,10/3)优于(3,
30、3)。,Nash均衡的多重性(10),均衡的关系范畴,社会两难,Nash 均衡,占优均衡,重复剔除劣战略的均衡,Nash 均衡,占优均衡,非 合 作 均 衡,纳什均衡,占有战略均衡,社会两难,Nash均衡的多重性(11),颤抖手均衡(trembling hand Nash equilibrium)“颤抖手”假定:参与者的手偶尔会发抖,从而没有正确地选择最优反应战略。这种假定是对“理性概念的微调”,允许参与者犯错,使博弈的结果限定在了一个更为合理的均衡解上。因此,是纳什均衡精炼的一个典型。总的来说,如果博弈中的每一个参与者都假定其他参与者将选择最优反应战略,但也有很小的概率可能犯错,那么每一位参
31、与者都会选择期望收益最大的战略,这就是颤抖手均衡。如果犯错的概率足够小,那么颤抖手均衡将是博弈的Nash均衡之一,也称为“颤抖手纳什均衡”。,再议美丽心灵(1),张三追金发 追他其女郎 女士追金发李四 女郎追其他女士,再议美丽心灵(2),电影给出的解是(1,1),但这并非双方的最优反应战略,因此是不稳定的。 这是个协调博弈的问题,纯战略情况下的Nash均衡是(1,2), (2,1)。 这里存在两个问题:第一,均衡的收益是不均等的,某个人必须接受较低的收益;第二,该博弈显然不存在“谢林点”,所以哪个均衡会发生,双方会有不同的见解。,再议美丽心灵(3),由奇数定理:该博弈还存在一个混和战略均衡,该
32、战略的期望收益是1,和纯战略(追其他女士,追其他女士)的战略收益是一样的。但是,这个混合战略均衡并不稳定。,再议美丽心灵(4),从风险厌恶的角度,也许能得到(1,1)的收益,这是这个博弈的最大最小收益,最大最小解(1,1)是对称的。 最大最小战略是约翰.冯.诺依曼提出的零和博弈的解决办法,也是零和博弈中的一类独立的最佳反应均衡。所以,通常将Nash均衡的概念看作是冯.诺依曼解的扩展。,再议美丽心灵(续4),最大最小战略如果局中人知道只要其他局中人的收益的增加就意味着自己收益的减少,则他就能准确判断出其他人的收益,以及他应该采取的最佳反应战略,即应该采取“最小收益集合当中数值最大的收益所对应的战
33、略”!最大最小战略(Maximin Strategy),再议美丽心灵(5),在非常数和博弈中,最大最小战略只适用于极度不确定或者极度风险厌恶的情况。 Nash在不清楚两位男士风险偏好的情况下,就建议他们采用冯.诺依曼解是不太合理的。 在金发女郎问题中,存在一个对称的非合作均衡。它是一个相关均衡!,再议美丽心灵(6),在这个博弈中,男士有可能形成联盟!(注意:在非合作博弈中,形成联盟的可能性是有限的,因为缺乏形成联盟的强制力!如果有强制力,就是合作博弈了!) 但是,一些联盟的协定具有自我约束力。如果协定本身就是一个Nash均衡,那么就不需要强制力。,再议美丽心灵(7),联盟可以像个人一样选择混合
34、(随机)战略。为协调彼此的战略,假定男士们结成一个大同盟,以抽签的方式从中选择一个“幸运儿”(注:每个人被选中的概率相同),被选中的人去追求金发女郎,其他人则去追求其他女士。 这种“抽签”的协定是具有自我约束力的。这不令人吃惊,因为它是博弈纯战略均衡之一,是被随机抽取的!,再议美丽心灵(8),注意:相关均衡和传统的(不相关)混合战略不同! 为什么“协定”的相关均衡能够实现,而不是其他任意的一个非随机纯战略均衡,或者是其他以不均等概率进行选择的随机的相关战略呢?因为:等概率选择的协定可以达到一个谢林点,它是众多Nash均衡中的一个,具有特殊的性质。,再议美丽心灵(9),什么特殊的性质呢?在金发女
35、郎的问题中,两个纯战略Nash均衡是对称的! 此外,这种相关均衡是不存在风险的,并且明显优于冯.诺依曼解(最大最小解)!-也许,这就是电影中的Nash苦思冥想的那种解!但是,“相关均衡”在此后30多年才被发现!,再议美丽心灵(10),在充分理解了美丽心灵的基础上,建议观看电影:“Guys and Dolls”,Nash均衡的存在性(1),存在性定理(1950,Nash)每一个有限博弈至少存在一个纯战略的或混合战略的Nash均衡。(证明方法是运用角谷静夫(Kakutani)的不动点定理。),Nash均衡的存在性(2),Brouwer不动点定理:如果 连续地将一个非退化的单纯形映射到自身,则至少存在一个不动点注:1.单纯形:其中, 是顶点, 是该单纯形重心坐标。2.定理中的条件也可以是“把有界闭凸集连续映入自身”!,