1、毕业设计（论文）设计（论文）题目：数值积分算法与 MATLAB 实现重庆邮电大学本科毕业设计（论文）- I -摘 要在求一些函数的定积分时，由于原函数十分复杂难以求出或用初等函数表达，导致积分很难精确求出，只能设法求其近似值，因此能够直接借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。数值积分就是解决此类问题的一种行之有效的方法。积分的数值计算是数值分析的一个重要分支；因此，探讨近似计算的数值积分方法是有着明显的实际意义的。本文从数值积分问题的产生出发，详细介绍了一些数值积分的重要方法。本文较详细地介绍了牛顿-科特斯求积公式，以及为了提高积分计算精度的高精度数值积分公式，即龙贝格求积公式和高斯
2、-勒让德求积公式。除了研究这些数值积分算法的理论外，本文还将这些数值积分算法在计算机上通过 MATLAB 软件编程实现，并通过实例用各种求积公式进行运算，分析比较了各种求积公式的计算误差。【关键词】数值积分 牛顿-科特斯求积公式 高精度求积公式 MATLAB 软件重庆邮电大学本科毕业设计（论文）- II -ABSTRACTWhen the solution of the definite integral of some function values，because the original function is very complex and difficult to find the
3、 elementary function expression, the integral is difficult to accurately calculate, only managed to find the approximate value, and the case is small that allows to direct interface with the Newton - Leibniz formula to calculate the definite integral. Numerical integration is an effective method to
4、solve such problems. The numerical integration is an important branch of numerical analysis; therefore, exploring the approximate calculation of the numerical integration method has obvious practical significance. This article departure from the numerical integration problem, described in detail som
5、e important numerical integration methods.This paper has introduced detail the Newton - Coates quadrature formula, and in order to improve the calculation accuracy of numerical integration formulas, More precise formulas have Romberg quadrature formulas and the Gauss - Legendre quadrature formula. I
6、n addition to the study of these numerical integration algorithm theory, the article also involve what these numerical integration algorithm be programmed by matlab software on the computer, and an example is calculated with a variety of quadrature formulas, finally analysis and comparison to variou
7、s quadrature formulas calculation error.【Key words】 Numerical integration Newton-Cotes quadrature formula High-precision quadrature formula Matlab software重庆邮电大学本科毕业设计（论文）- III -目 录前 言 .1第一章 牛顿-科特斯求积公式 .2第一节 数值求积公式的构造 .2第二节 复化求积公式 .9第三节 本章小结 .12第二章 高精度数值积分算法 .13第一节 梯形法的递推 .13第二节 龙贝格求积公式 .14第三节 高斯求积公
8、式 .17第四节 高斯-勒让德求积公式 .19第五节 复化两点高斯-勒让德求积公式 .22第六节 本章小结 .23第三章 各种求积公式的 MATLAB 编程实现与应用 .24第一节 几个低次牛顿-科特 斯求积公式的 MATLAB 实现 .24第二节 复化求积公式的 MATLAB 实现 .28第三节 龙贝格求积公式的 MATLAB 实现 .33第三节 高斯-勒让德求积公式的 MATLAB 实现 .34第五节 各种求积算法的分析比较 .36第六节 本章小结 .38结 论 .39致 谢 .40参考文献 .41附 录 .43一、英文原文 .43二、英文翻译 .52重庆邮电大学本科毕业设计（论文）- 1
9、 -前 言对于定积分 ，在求某函数的定积分时，在一定条件下，虽然有()bafxd牛顿-莱布里茨公式 可以计算定积分的值，但在很()IfFba多情况下 的原函数不易求出或非常复杂。被积函数 的原函数很难用()f ()fx初等函数表达出来，例如 等；有的函数 的原函数 存2sin(),xfe ()Fx在，但其表达式太复杂，计算量太大，有的甚至无法有解析表达式。因此能够借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解，只能设法求其近似值。因此，探讨近似计算的数值积分方法是有明显的实际意义的
10、，即有必要研究定积分的数值计算方法，以解决定积分的近似计算。而数值积分就是解决此类问题的一种有效的方法，它的特点是利用被积函数 在一些节点上的信息求出定积分的近()fx似值。微积分的发明是人类科学史上一项伟大的成就，在科学技术中，积分是经常遇到的一个重要计算环节。数值积分是数学上重要的课题之一，是数值分析中重要的内容之一，也是应用数学研究的重点。随着计算机的出现，近几十年来，对于数值积分问题的研究已经成为一个很活跃的研究领域。现在，数值积分在计算机图形学，积分方程，工程计算，金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用，所以研究数值积分问题有着很重要的意义。国内外众多学者在数值积分应用领域也提出
11、了许多新方法。在很多实际应用中，只能知道积分函数在某些特定点的取值，比如天气测量中的气温、湿度、气压等，医学测量中的血压、浓度等等。通过这个课题的研究，我们将会更好地掌握运用数值积分算法求特殊积分函数的定积分的一些基本方法、理论基础；并且通过 matlab 软件编程的实现，应用于实际生活中。重庆邮电大学本科毕业设计（论文）- 2 -第一章 牛顿-科特斯求积公式第一节 数值求积公式的构造大多数实际问题的积分是需要用数值积分方法求出近似结果的。数值积分原则上可以用于计算各种被积函数的定积分，无论被积函数是解析解形式还是数表形式，其基本原理都是用多项式函数近似代替被积函数，用多项式的积分结果近似代替
12、对被积函数的积分。由于所选多项式形式的不同，可以有许多种数值积分方法。而利用插值多项式来构造数值求积公式是最常用的一种方法。对于积分 ，用一个容易积分的函数 去代替被积函数 ，这样()bafxd ()x()fx的 自然以多项式 为最佳，因为多项式能很好的逼近任何连续函数，()()nL而且容易求出其原函数。一、 求积公式的推导在积分区间 上取有限个点 ，作 的 次插,ab01naxxb ()fxn值多项式 ，其中， 为 次插值基函数。0()()nkLxflx(),)kl用 近似代替被积函数 ，n f则得 0()()()(nbb bnkaa akfxdLxdfxldx(1.)若记011()()()
13、()()bbkknkkaak kAlx xxx (.2)则得数值求积公式0()()nbkafdAf (1.3)重庆邮电大学本科毕业设计（论文）- 3 -其中 称为求积系数， 称为求积节点。则称该求积公式为插值型求积公式。kAkx知道了插值型求积公式以及其构造方法。为了便于计算与应用，常将积分区间的等分点作为求积节点，这样构造出来的插值型求积公式就称为牛顿-科特斯（Newton-Cotes）求积公式。在积分区间 上取 个等距节点 ，其中,ab1nkxah(0,1)n，做 次拉格朗日插值多项式 ，因为 ，所以bhn()nL)(fxLRx()()()bbnnaaafxdLxRxd(1)10 ()()
14、!bbnk naakfl fxd记 1()()(bbnkkaakkxAlxd (1.4)(1)1()!bnn naRffd (.5)截去第二项得 0()nbkafxdAfx显然 与 无关，只与节点 有关。令 ，则当kA()f ,1kn xath时， ，于是,xb,tn111()()()2()nnahtt (1.6)而 0111()kkkkknxxxx !()!n从而得 0(1)1(1)()!kkhAttktktnd 记 () 0()()()()!)nknkCttktkt (1.7)重庆邮电大学本科毕业设计（论文）- 4 -则 ()(nkkAbaC故求积公式 可写成 (1.3)()0()nbka
15、fxdafx (1.8)这就是牛顿-科特斯求积公式，其中 称为科特斯系数。()nkC部分科特斯系数取值如下表 1.1科特斯系数具有以下特点 1（1） （2） ()01niC()()nnii（3）当 8 时，出现负数，稳定性得不到保证。而且当 较大时，由于nRunge 现象，收敛性也无法保证。故一般不采用高阶的牛顿 -科特斯求积公式。（4）当 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。n表 1.1 部分科特斯系数表知道了什么是牛顿-科特斯求积公式，下面我们来看它的误差估计，首先来看看牛顿-科特斯求积公式的截断误差。我们知道牛顿-科特斯求积公式是重庆邮电大学本科毕业设计（论文）- 5 -一个插值型数值求积
16、公式，当用插值多项式 代替 进行积分时，其截()nLx()f断误差 即积分真值 和近似值之差，推导如下RfI，由插值多项()()()()bbbbnnaaaafIxdfxxdfxd式的误差估计可知，用 次拉格朗日多项式 逼近函数时产生的误差为nnL(1)1() ()!nbnnaffxLxd (1.9)其中 。对上式两边从 到 作定积分，便可得10(),(,)niinab出它的截断误差(1)1()()!bnn naRffxd (1.0)二、几个低次牛顿-科特斯求积公式从上面的讨论可知，用多项式近似代替被积函数进行数值积分时，虽然最高次数可是 8，但是 8 次多项式的计算式非常繁杂的。常用的是下面介
17、绍的几种低次多项式。1、 矩形求积公式定义 1.1 在牛顿-科特斯求积公式中，如果取 ，用零次多项式（即0n常数）代替被积函数，即用矩形面积代替曲边梯形的面积，则有(0)0 0()()()(bbaafxdLxdacfxbafx (1.)称式 为矩形求积公式1.根据牛顿-科特斯求积公式的误差理论式 ，矩形求积公式的误差估(1.0)计为 (01)001()()!bafRxdfba重庆邮电大学本科毕业设计（论文）- 6 -2、梯形求积公式定义 1.21 在牛顿-科特斯求积公式中，如果取 ，用一次多项式代1n替被积函数，即用梯形面积代替曲边梯形的面积，则有 (1)(1)10()()bbaafxdLxa
18、cfxf其中， , 查表可得 代入上式得出0ff()()121()()2bbaaxxdfb (1.2)称式 为梯形求积公式(1.2)由于用一次多项式 近似代替被积函数 ，所以它的精度是 1。也1()Lx()fx就是说，只有当被积函数是一次多项式时，梯形求积公式才是准确的。根据牛顿-科特斯求积公式的误差理论式 ，梯形求积公式的误差估(1.0)计为 (2) 31 ()(! 2baf baRxdxf是被积函数 二阶导数在 点的取值，()f()f,3、辛浦生求积公式定义 1.32 在牛顿-科特斯求积公式中，如果取 ，用二次多项式代2n替被积函数，即曲边用抛物线代替，则有 (2)(2)(2)201()() bbaafxdLxacfxfcfx其中， ， ， ,查表可得 ， ，代入01()()26()13上式得出21()()()(63bbaa abfxdLxafff (.)称式 为辛浦生求积公式，也称抛物线求积公式。它的几何意义是：1.3用过 3 个点 ， ， 的抛物线和 ， 构(,)f(,()2bf(,)fxab成的曲边梯形面积，近似地代替了被积函数 形成的曲边和 ，x
