1、12015 高考总复习 1.1 集合的概念与运算教学目标考点分析1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用 Venn 图表达集合的关系及运算自主梳理1集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性2元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或 表示3集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法4集合间的基本关系对任意的 xA，都有 xB，则 AB( 或 BA) 若 AB，且在
2、 B 中至少有一个元素 xB，但 x A，则 A B(或 B A)若 AB 且 B A，则 AB.5集合的运算及性质设集合 A，B ，则 ABx|xA 且 xB，AB x|xA 或 xB 设全集为 S，则SAx| xS 且 x AA，A B A，AB B，ABAA B.AA ，A BA，AB B，ABBA B.A UA；A UAU.自我检测1(2011无锡高三检测)下列集合表示同一集合的是 _(填序号)M(3,2)，N(2,3) ；M(x，y)|xy1 ，N y|x y1 ；M4,5，N5,4；M1,2，N(1,2)答案 2(2009辽宁改编)已知集合 Mx|33当( RA)BB 时， B R
3、A，即 AB.12当 B，即 a0 时，满足 B RA；当 B，即 a3(1)若 a1，求 AB；3(2)若 A BR，求实数 a 的取值范围解 (1)当 a1 时， Ax|35AB x|35，且 ABR ，Error!12m1，即 m”或“”两种情况解答集合问题时应注意五点：1注意集合中元素的性质 互异性的应用，解答 时注意 检验2注意描述法给出的集合的元素如y|y2 x，x|y2 x，(x，y)|y2 x表示不同的集合3注意的特殊性在利用 AB 解题时， 应对 A 是否为进行讨论4注意数形结合思想的应用在进行集合运算时要尽可能借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时
4、用 Venn 图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍5注意补集思想的应用在解决 AB时，可以利用 补集思想，先研究 AB.的情况,然后取补集.课后训练(满分：90 分)一、填空题(每小题 6 分，共 48 分)1(2010北京改编)集合 P xZ |0x4，Nx| 1，则如图中阴影部分所表示的集合是_2x 16(2011泰州模拟)设集合 A1,2 ，则满足 AB1,2,3的集合 B 的个数为_7(2009天津)设全集 UABxN *|lg x0，求 AB 和 AB.10(14 分)(2011南通模拟)已知集合 A x|02 或 x0x |x0(6 分)5如图所示，ABx| 6 x1x
5、| x0R.(10 分)ABx|6 x1x| x0x| 6x 0 时，如图 ，若 BA，则Error! (11 分) Error!06；q：yx 2mxm3 有两个不同的零点；p： 1；q：yf( x)是偶函数；f xfxp：cos cos ；q：tan tan ；p：AB A；q： UB UA.9探究点三 充要条件的证明例 3 设 a，b，c 为ABC 的三边，求证：方程 x22axb 20 与 x22cxb 20 有公共根的充要条件是A90.变式迁移 3 已知 ab0，求证：ab1 的充要条件是 a3b 3aba 2b 20.1 解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数真命
6、题否命题：若一个数不是实数，则 它的平方不是非负数真命题逆否命题：若一个数的平方不是非负数， 则这个数不是实数真命题(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高真命题否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等真命题逆否命题：若两个三角形不全等， 则这两个三角形不等底或不等高假命题(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线真命题否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆 心或不平分弦所对的弧真命 题逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧， 则这 条直线不是弦的垂直平分线真命 题E1 答案 解析 的逆命 题是“若 x
7、，y 互为相反数， 则 xy 0” ，真； 的否命题是“不全等的三角形的面积不相等” ，假；若 q1，则 44q0，所以 x22xq0 有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；的逆命 题是 “三个内角相等的三角形是不等边三角形” ，假2 解 (1)x20(x 2)( x3) 0；而(x2)(x3)0 x20.p 是 q 的充分不必要条件(2)两个三角形相似 两个三角形全等；但两个三角形全等两个三角形相似p 是 q 的必要不充分条件(3)m0q：m 6p； 当 f(x)0 时，由 q p；若 ，k (kZ)时，显然 cos cos ，但 tan tan 2；p：ABAp：A Bq： UA UB
8、.故符合题意3 解题导引 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”“结论”是证明命题的充分性，由“结论”“ 条件”是证明命题的必要性证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性证明 (1)必要性：设方程 x22axb 20 与 x22cxb 20 有公共根 x0，则 x 2ax 0b 20，x 2cx 0b 20，20 20两式相减可得 x0 ，将此式代入 x 2ax 0b 20，可得 b2c 2a 2，故A90，b2c a 20(2)充分性：A90 ，b2c 2a 2，b2a 2c 2.10将代入方程 x22axb 20，可得 x22axa 2c 20，即(xac)( x
9、ac)0.将代入方程 x22cxb 20，可得 x22cxc 2a 20，即(xca)(xca)0.故两方程有公共根 x( ac)所以方程 x22ax b 20 与 x22cxb 20 有公共根的充要条件是A90.E3 证明 (1)必要性： ab1，ab10.a 3b 3aba 2b 2( ab)(a 2abb 2)( a2abb 2)(ab1)(a 2abb 2)0.(2)充分性：a 3b 3aba 2b 20，即(ab1)( a2abb 2)0.又 ab0，a 0 且 b0.a2 abb 2(a )2 b20.ab10，即 ab1.b2 34综上可知，当 ab0 时，ab1 的充要条件是
10、a3b 3ab a 2b 20.转化与化归思想例 (14 分)已知两个关于 x 的一元二次方程 mx24x4 0 和 x24mx4m 24m 50，且 mZ.求两方程的根都是整数的充要条件【答题模板】解 mx24x40 是一元二次方程，m 0. 2 分另一方程为 x24mx4m 24m50，两方程都要有 实根，Error!解得 m ，1 6 分54两根 为 整数，故和与 积也为整数，Error!， 10 分m 为 4 的约数， m1 或 1，当 m1 时，第一个方程 x24x 40 的根为非整数，而当 m1 时，两方程均为整数根，两方程的根均为整数的充要条件是 m1. 14 分【突破思维障碍】
11、本题涉及到参数问题，先用转 化思想将生疏复杂的问题化 归为简单、熟悉的 问题解决，两方程有实根易想0.求出 m 的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着 m0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数1研究命题及其关系时，要分清命 题的题设和结论，把命题写成“如果，那么”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性2在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出 p 与 q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是 p对 q 而言，还是 q 对 p 而言还要分清否命题与命题的
12、否定的区 别3.本节体现了转化与划归的数学思想。课内练习与训练自我检测1(2011南京模拟)设集合 A ，B x|0bd，q：ab 且 cd；p：a1，b1，q：f(x)a xb(a0，且 a1) 的图象不过第二象限；p：x1.q：x 2x ；p：a1，q：f(x) log ax(a0，且 a1)在(0 ，)上为增函数3设 a、b 都是非零向量，那么命题“a 与 b 共线”是命题“|ab| |a| b|”的_条件4与命题“若 aM，则 b M”等价的命题是_ 5给出下列命题：原命题为真，它的否命题为假；原命题为真，它的逆命题不一定为真；一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；一个命题的逆否命
13、题为真，它的否命题一定为真；“若 m1，则 mx22(m1)xm30 的解集为 R”的逆命题其中真命题是_(把你认为正确命题的序号都填在横线上)(满分：90 分)一、填空题(每小题 6 分，共 48 分)1(2010天津模拟)给出以下四个命题：若 ab0，则 a0 或 b0；若 ab，则 am2bm2；在ABC 中，若 sin Asin B，则 AB；在一元二次方程 ax2bx c 0 中，若 b24acb”是“|a| b|”的充分条件；“a5”的_条件6 “x10 且 x20”是“x 1x 20 且 x1x20”的_条件7(2011镇江模拟)已知 p： (x1)(y2)0，q：( x1) 2
14、(y2) 20，则 p 是 q 的_条件8已知 p(x)：x 22xm0，如果 p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数 m 的取值范围为_二、解答题(共 42 分)9(12 分) 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假(1)若 q0，且 p 是q 的必要不充分条件，求 a 的取值范围10 解 设 Ax| px |x24ax3a 20x|x 2 x60 x|x22x80x| 2x 3x |x2x|xb”是“|a|b|”的既不充分也不必要条件3 答案 充分不必要解析 由 2k(k Z)可得到 cos 2 .由 cos 2 得 22k (kZ)6 12 12 3 k (kZ
15、)所以 cos 2 不一定得到 2k(k Z)6 12 64 答案 1 解析 对于原命题：“若抛物线 yax 2bx c 的开口向下，则x |ax2bx c0，即抛物 线的开口可以向上因此否命题也是假命题5 答案 必要不充分解析 Ax|4x4，若 AB，则 a4，a4 a5，但 a5a4.6 答案 充要7 答案 必要不充分解析 由(x1)(y2) 0 得 x1 或 y2，由( x1) 2(y2) 2 0 得 x1 且 y2，所13以由 q 能推出 p，由 p 推不出 q, 所以填必要不充分条件8 答案 3,8)解析 因为 p(1)是假命题，所以 12m 0，解得 m3；又因为 p(2)是真命
16、题，所以 44m 0，解得 mb，cdacbd，而 acbd 却不一定推出 ab，cd，故中 p 是 q 的必要不充分条件；中，当 a1，b1 时，函数 f(x)a xb 不过第二象限，当 f(x)a xb 不过第二象限时，有 a1，b1，故中 p 是 q 的充分不必要条件；中，因为 x1 时有 x2x，但 x2x 时不一定有x1，故中 p 是 q 的充分不必要条件；中 p 是 q 的充要条件3 答案 必要不充分解析 |ab| |a| b|a、b 同向 a 与 b 共线；反之，当 a 与 b 共线时，不一定有|ab| a|b| ，故 a 与 b共线是|ab| |a| b|的必要不充分条件4 答
17、案 若 bM，则 a M解析 因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可5 答案 解析 原命题为真，而它的逆命 题、否命 题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故错误， 正确又因为不等式 mx22( m 1)xm 30 的解集为 R，由Error! Error!m1. 故正确补充试题一、集合1 （2008 江苏 4） 2(1)37,Axx则 AZ的元素个数为 。【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。由 2(1)37x得 2580x因为 0，所以 ，因此 Z，元素的个数为 0。答案 02.（2009 江苏卷）已知集合 2log,(,)AxBa，若 AB则实数 a的
18、取值范围是 (,)c，其中 c= . 【解析】 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。由 2logx得 04， (0,；由 知 4，所以 c4。3.【2010江苏卷】设集合 A=-1,1,3，B=a+2,a 2+4,AB=3，则实数 a=_.【答案】1 【解析】 考查集合的运算推理.3 B, a+2=3, a=1.4.（2011 江苏 1）1、已知集合 1,4,1,0AB 则 _,BA答案： ， 2【解析】考察简单的集合运算，容易题5.【2010湖南文数】已知集合 A=1,2,3，B=2，m，4，AB=2,3，则 m= .【答案】36 （2012 江苏 1）已知集合 ， ，则 【答案】
19、124A， ， 246B， ， AB1246,97 （2013 江苏 4） 集合 1,0共有 个子集 【答案】88 给出下列四个命题:命题 ,则 .sin,:xRp 1sin,:xRp当 时,不等式 的解集为非空. 当 时,有 .1aa34x2ln1x设 ,则“ 且 ”是“ ”的充分而不必要条件 . xy2xy24xy其中真命题的个数是_ 【答案】2 9 若 ,使 不等式 成立,则 的取值范围是_. 【答案】 140m (,5)10 命题 ,命题 ,或 , 是 _:3px:qxpq(“充分不必要条件” 、 “必要不充分” 、 “充要条件” 、 “既不充分也不必要条件”).【答案】充分不必要条件
20、;11“ ”是“ ”成立的_条件. 33loglMN(从“充要” 、 “充分不必要” 、 “必要不充分”中选择一个正确的填写)【答案】充分不必要 12 设命题 :p4x;命题 082:xq,那么 p是 q的_条件(选填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”).【答案】充分不必要 13“ ”是“ ”的_ 条件. 61sin(填“充分不必要” 、 “必要不充分 ”、 “充要” 、 “既不充分也不必要”)【答案】充分不必要 14 已知 P：|x a| 4；q：（x2） （3x）0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围为 【答案】 -1，6 15 设
21、 ,则对任意实数 ,“ ”是“ ”的_32()lg(1)fx,ab0()0fab条件.(填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”).【答案】充要 16 已知命题 :“正数 a 的平方不等于 0”,命题 :“若 a 不是正数,则它的平方等于 0”,pq则 是 的_.(从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空) 【答案】否命题q17 设 xR,函数 2lg(43)ymx有意义, 实数 m 取值范围_. 【答案】 0,1) 18 下列命题错误的是(A)命题“若 ,则 ”的逆否命题为“若 ,则 ”23011x23x(B)若命题 ,则2:,pxR2:,0pxR
22、(C)若 为假命题 ,则 、 均为假命题qpq(D) “ ”是“ ”的充分不必要条件230【答案】C 919 已知命题 不等式 的解集是 R,命题 在区间 上是减函数,若命题:pmx|1| xmfq2)(: )0(“ 或 ”为真,命题“ 且 ”为假,求实数 的取值范围.qpq【答案】解:当 P 真时, ,当 q 真时, 020由“ 或 ”为真,命题“ 且 ”为假可得 p 真 q 假或 p 假 q 真,故 p或 所以无解或 所以实数 的取值范围是 02mm02m20 已知集合 ,集合 为函数 的值域,集合 ,230AxB2yxa40Cxa命题 ;命题 .:pB:qAC(1)若命题 为假命题,求实数 a 的取值范围;(2)若命题 为真命题,求实数 a 的取值范围.【答案】
