1、宿迁市 20182019学年度第一学期期末考试高 一 数 学（考试时间 120分钟，试卷满分 150分)一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把正确选项填涂在答题卡上指定位置。1.设集合 ， ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由集合的并集运算直接求解即可.【详解】因为 ， ，所以 = 【点睛】本题主要考查并集的运算，牢记定义即可求解，属于基础题型.2.已知向量 ，若 ，则实数 的值为（ ）A. B. 1 C. 6 D. 1或 6【答案】B【解析】【分析】由向量垂直，得到数量积为 0，由向量的坐
2、标运算即可求解.【详解】因为 ，若 ，所以 ，即 ，解得 .故选 B【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，由向量垂直可得向量数量积为 0，进而可求解，属于基础题型.3. 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由诱导公式以及特殊角所对应的三角函数值计算即可.【详解】【点睛】本题主要考查诱导公式，以及特殊角所对应的三角函数值，只需熟记公式即可解题，属于基础题型.4.若 ，则实数 的值为（ ）A. B. 1 C. 1或 D. 1或 3【答案】B【解析】【分析】分类讨论 或 ，求出 ，检验即可.【详解】因为 ，所以 或 ，所以 或 ，当 时， ，不符合题意，所以 舍去；
3、故以 ，选 B【点睛】本题主要考查元素与集合之间的关系，注意集合中元素的互异性，属于基础题型.5.函数 的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求函数的定义域即是求使函数有意义的 的范围，列不等式组，即可求解.【详解】由题意可得 ，所以 ，即 .故选 C【点睛】本题主要考查函数的定义域，根据求已知解析式的函数定义域即是求使解析式有意义的 的范围，即可求解，属于基础题型.6.化简 的结果为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由同角三角函数基本关系即可将原式化简.【详解】.故选 A【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，熟记公式即可求解，属于基础题型
4、.7.设 是两个互相垂直的单位向量，则 与 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由 互相垂直，可得其数量积为 0，再计算 与 的数量积，以及 与的模，代入夹角公式即可求解.【详解】因为 互相垂直，所以 ，所以 ，所以 ，所以夹角为 .故选 B【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，只需熟记公式，求出对应向量的数量积和向量的模，代入公式即可求解，属于常考题型.8.函数 的一段图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和函数的值域可判断出结果.【详解】因为 ，所以 ，即函数 是偶函数，关于 轴对称，排除 C,D选项，又 ，所以 ，即
5、 恒大于 0，排除 A选项，故选 B.【点睛】本题主要考查函数的图像形状，由函数的基本性质即可确定图像形状，难度不大.9.已知向量 不共线，且 ， ， ，则共线的三点是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据共线向量基本定理即可判断出结果.【详解】已知向量 不共线，且 ， ， ，由 得 ，则 ，即 ，所以 三点共线.故选 C【点睛】本题主要考查共线向量基本定理，灵活掌握定理和向量的线性运算即可，属于基础题型.10.若函数 ，则函数 的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出函数 的值域，再换元，令 ，由导数的方法判断 的单调性，进而可求出结果.【
6、详解】由题意得， ，因为 ，所以 ，令 ，则 ，所以 ，解得 ，所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，所以 ，又 ， ，所以 ，即 ，故选 D.【点睛】本题主要考查复合函数值域，通常需要用换元法将函数进行换元，由导数的方法研究函数的单调性，进而可确定最值、值域等，属于中档试题.11.已知函数 图象上一个最高点 P的横坐标为 ，与 P相邻的两个最低点分别为 Q， R.若 是面积为 的等边三角形，则 解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由 的面积求出 的边长和高，从而确定函数周期和 ，再由函数图象上一个最高点 P的横坐标为 ，求出 的值，进而可求出解析式.
7、【详解】因为 是面积为 的等边三角形，所以三角形的边长为 2，高为 ，由题意可得 ，所以 ，故 ，又函数 图象上一个最高点 P的横坐标为 ，所以 ，即 ，所以 ,故 ，所以 ，故选 D【点睛】本题主要考查由三角函数的图像与性质求函数的解析式，只需依题意求出 ， ，的值即可，要求考生熟记三角函数的相关性质等，属于常考题型.12.已知函数 ，若关于 的方程 有 个不同实数根，则 n的值不可能为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】A【解析】【分析】先将函数 写成分段函数的形式，并做出其图像，再由 得：或 ，所以方程 的解的个数，即转化为函数 与 轴以及直线交点个数的问题，由图像讨论
8、的范围，即可求出结果.【详解】因为函数 ，作出 的图像如下：由 得： 或 ，所以方程 的解的个数，即为函数 与 轴以及直线 交点个数，由图像可得： 与 轴有 2个交点，当 ,即 时，函数 与直线 无交点，故原方程共 2个解；当 ，即 时，原方程可化为 ，故原方程共 2个解；当 ，即 时，函数 与直线 有 4个交点，故原方程共 6个解；当 ，即 时，函数 与直线 有 3个交点，故原方程共 5个解；当 ，即 时，函数 与直线 有 2个交点，故原方程共 4个解；综上，原方程解的个数可能为 2,4,5,6.故选 A【点睛】本题主要考查函数与方程的综合， 解决此类问题的关键在于将方程有实根转化为两个函数
9、有交点的问题，由数形结合即可求解，属于常考题型.二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上13.设集合 ，则 的真子集的个数为_【答案】7【解析】【分析】由集合真子集的计算公式即可求解.【详解】因为集合 中共有 3个元素，因此集合 的真子集的个数为 .故答案为 7【点睛】本题主要考集合真子集个数的问题，熟记公式，根据集合中所含元素的个数即可求解，属于基础题型.14.在平面直角坐标系 中，若 ， ，则 的值为_【答案】4【解析】【分析】由向量的坐标运算，先求 ，再由向量数量积的坐标运算公式即可求解.【详解】因为 ， ，所以 ，所以.
10、故答案为 4【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记向量的坐标运算法则即可求解，属于基础题型.15.如图所示，在平面直角坐标系 中，动点 从点 出发在单位圆上运动，点 按逆时针方向每秒钟转 弧度，点 按顺时针方向每秒钟转 弧度，则 两点在第 2019次相遇时，点 P的坐标为_【答案】【解析】【分析】由 两点相遇 2019次，可求出两点的总路程，由两点的速度即可求出两点相遇 2019次时所用的时间，进而可求出点 所转的弧度，即可确定点 位置.【详解】因为点 按逆时针方向每秒钟转 弧度，点 按顺时针方向每秒钟转 弧度，两点相遇 1次的路程是单位圆的周长即 ，所以两点相遇一次用了 1秒，因此当两点相
11、遇 2019次时，共用了 2019秒，所以此时点 所转过的弧度为 ，由终边相同的角的概念可知， 与 终边相同，所以此时点 位于 y轴上，故点 P的坐标为.答案为【点睛】本题主要考查任意角，由终边相同的角的概念确定点 位置，即可求解，属于基础题型.16.已知函数 ， ，若对所有的 ， 恒成立，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】用分类讨论的方法研究 三种情况即可.【详解】由题意可得 恒成立，所以当 时，不等式可化为 ，即 ，不满足恒成立的条件，故 舍去；当 时，不等式可化为 ， 时，显然不等式成立，因为不等式恒成立，所以有 且 ，即 且 ，显然不成立，故 舍去；当 时，不等式可化为 ， 时，显
12、然不等式成立，因为不等式恒成立，所以有 且 ，即 且 ，所以 ，即，解得 或 ，因为 ，所以 ，综上 ，即答案为【点睛】本题主要考查含参数的不等式，通常需要用到分类讨论的思想，属于常考题型.三、解答题：本大题共 6题，第 17题 10分，第 1822题每题 12分，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设全集 ，集合 ， （1）求 ；（2）若 ，求实数 的取值范围【答案】 （1） 或 （2）【解析】【分析】(1)先解不等式 得到集合 ，进而可求其补集；(2)先由 确定 之间的包含关系，从而可求出结果.【详解】解：（1）由 得 或故 ，即 ；又 ，则 ；（2）由 得 ，又 ，
13、则 ，即 ，故实数 的取值范围为 【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记相关概念和性质即可求解，属于基础题型.18.如图，已知河水自西向东流速为 ，设某人在静水中游泳的速度为 ，在流水中实际速度为 （1）若此人朝正南方向游去，且 ，求他实际前进方向与水流方向的夹角 和 的大小；（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且 ，求他游泳的方向与水流方向的夹角和 的大小【答案】 （1） , 的大小为 ；（2） 为 ， 的大小为 【解析】【分析】用平面向量的方法求解，由向量的分解作出平行四边形，先设 结合每一问的条件即可求解.【详解】解：如图，设 ，则由题意知 ， ，根据向量加法的平行四边形法则得四边形
14、为平行四边形（1）由此人朝正南方向游去得四边形 为矩形，且 ，如图所示，则在直角 中， ，又 ，所以 ；（2）由题意知 ，且 ， ，如图所示，则在直角 中， ，又 ，所以 ，则 答：（1）他实际前进方向与水流方向的夹角 为 ， 的大小为 ；（2）他游泳的方向与水流方向的夹角 为 ， 的大小为 【点睛】本题主要考查平面向量在解三角形中的应用，需要熟记向量的基本定理，以及向量的模等概念，即可求解，分析的过程非常关键，计算量不大.19.已知函数 （1）将 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变） ，得到 的图象若，求 的值域；（2）若 ，求 的值【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1
15、）由函数的图像变换，先求出函数 的解析式，再结合三角函数的图像和性质即可求解；(2)根据 和函数 先求出 ，再用三角恒等变换，将所求式子化简，即可求解.【详解】解:(1)将 的图象上所有点横坐标变为原来的 （纵坐标不变）得到的图象,则 ,又 ,则 ,所以当 ,即 时取得最小值 ,当 时即 时取得最大值 ,所以函数 的值域为 .(2)因为 ,所以 ,则 ,又 ,则 ,所以 .【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，以及三角恒等变换，熟记三角函数的性质，以及相关公式，即可解题，属于基础题型.20.已知函数 为偶函数， （1）求 的值，并讨论 的单调性；（2）若 ，求 的取值范围【答案】 （1）a
16、=1, 在 上单调递增，在 上单调递减 （2）【解析】【分析】(1)由函数的奇偶性，先求出 ，再由单调性的定义，即可判断其单调性；(2)由（1）确定的函数的单调性，可得 和 的大小，进而可求出结果.【详解】解：（1）因为函数 为偶函数，所以所以 ，所以,化简得 ,所以 所以 ，定义域为设 为 内任意两个数，且 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 在 上单调递减，又因为函数为偶函数，所以 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，在 上单调递减（2）因为 ，由（1）可得， ，所以 ，所以 的取值范围是 【点睛】本题主要考查函数的基本性质，以及由函数的单调性解不等式，需要考生熟记函数的奇偶性以及单
17、调性等，会用定义法判断函数的单调性即可，难度不大.21.如图，在 中， ， ， 分别在边 上，且满足 ，为 中点（1）若 ，求实数 的值；（2）若 ，求边 的长【答案】 （1） （2）6【解析】【分析】(1)先由 ，确定向量 与 ， 与 之间的关系，用 与 表示出 ，由对应系数相等，即可求出结果；（2）用向量 ， 表示出向量 和 ，再由向量数量积运算求解即可.【详解】解：（1）因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，（2）因为 ，所以 ，设 ，因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，化简得 ，解得 (负值舍去)，所以 的长为 6【点睛】本题主要考查向量的基本定理以及向量的数量积运算，只需熟记定理和公式即可求
18、解，难度不大.22.已知函数 （1）若 ， ，求 的值；（2）若对任意的 ，满足 ，求 的取值范围；（3）若 在 上的最小值为 ，求满足 的所有实数 的值【答案】 （1） 的值为 （2） （3）【解析】【分析】(1)将 代入函数解析式，解对应的含绝对值方程即可；(2)由对任意的 ，满足 ，通过因式分解，约分，得到对任意的 恒成立，进而去绝对值即可求出结果;(3)讨论函数 对称轴的位置，得到 ，再由 解方程即可求解.【详解】解:（1）因为 ,所以 ,所以 ,解得 的值为 .（2）对任意的 ，均有 ，则 ，即 ，所以 ，则 ，所以 且 对任意的 恒成立，所以 ；(3) 的对称轴为 .当 时，即 ，最小值 ；当 时，即 ， ；当 时，即 ， ；所以 .方法一：当 时， ，即 ，则 （舍） ；当 时， ，即 ，则 （舍） ；当 时， ，即 ，则 .综上所述，实数 的取值集合为 .方法二：引理:若当 时， 单调递减，当 时， 单调递减，则 在 上单调递减.证明如下：在 上任取 ，且 .若 ，因为当 时， 单调递减，则 ；若 ，因为当 时， 单调递减，则 ；若 ，则 ,综上可知， 恒成立.由引理可知 单调递减，则 可得 ，所以 .【点睛】本题主要考查函数与方程的综合，需要学生熟记三个二次之间的关系，以及函数的基本性质等，通常需要用到分类讨论的思想求解，属于常考题型.
