1、 南开区 高三 年级模拟考试 （一） 数学试卷（理工类） 第 1 页（共 9 页） 2018 2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试 (一 ) 数 学 试 卷 （理工类） 2019.03 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 共 150 分，考试时间 120分钟 第 卷 1至 2页，第 卷 3至 9页 祝各位考生考试顺利！ 第 卷 注意事项： 1 答 第卷 前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其它答案标号 3 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40
2、分 参考公式： 锥体 的体积公式 V 圆 柱 =Sh， 其中 S 表示 锥体 的底面 积 ， h 表示 锥体 的 高 一、选择题： 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （ 1） 已知集合 A=x|2 x 2， B=x|y= 11x，那么 AB=（ ） （ A） x|2 x 1 （ B） x|2 x 1 （ C） x|x 2 （ D） x|x 2 （ 2） 设变量 x， y 满足约束条件202 2 003 ， ， ， ，xyxyxy则目标函数 z=xy 的最大值为（ ） （ A） 1 （ B） 1 （ C） 32 （ D） 3 （ 3） 执行如图所示的程序框图，若输入的 a 的值
3、为 3，则输出的 i=（ ） （ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ D） 7 南开区 高三 年级模拟考试 （一） 数学试卷（理工类） 第 2 页（共 9 页） （ 4） 设 a， b R，则“ a b” 是 “ (ab)a2 0” 的 （ ） （ A）充分不必要条件 （ B）必要不充 分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 5） 函数 y=2sin(3 2x)（ x 0， ） 为增函数的区间是 （ ） （ A） 0， 512 （ B） 0， 2 （ C） 512 ， 1112 （ D） 1112 ， （ 6） 函数 f(x)是奇函数，且在 (0， +)内是增函数，
4、f(3)=0，则不等式 xf(x) 0 的解集为 （ ） （ A） (3， 0) (3， +) （ B） (， 3) (0， 3) （ C） (， 3) (3， +) （ D） (3， 0) (0， 3) （ 7） 过双曲线 12222 byax （ a 0， b 0） 的左焦点 F 作直线交双曲线的两条渐近线于A， B 两点 ， 若 B 为线段 FA 的中点 ， 且 OB FA（ O 为坐标原点 ） ， 则双曲线的离心率为 （ ） （ A） 2 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 5 （ 8） 如图，在 ABC 中， BAC=3 ， AD =2DB ， P 为CD 上一点，且满足 AP =
5、m AC +12 AB ，若 ABC的面积为 2 3 ，则 |AP |的最小值为 （ ） （ A） 2 （ B） 3 （ C） 3 （ D） 43 ACBPD南开区 高三 年级模拟考试 （一） 数学试卷（理工类） 第 3 页（共 9 页） 第 卷 注意事项： 1 用黑色墨水的钢笔或签字笔答题 ； 2 本卷共 12 小题，共 110 分 得 分 评卷人 二、填空题： 本大题共 6 个 小题，每小题 5 分，共 30 分请将答案填在题中横线上 。 （ 9） 已知复数 z=1 3i3i，则 z 的实部为 （ 10） 二项式 ( x 31x)5的展开式 中常数项为 （ 11） 如图，正方体 ABCDA
6、1B1C1D1 的棱长为 1， E， F 分别为线段 AA1， B1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积是 为 （ 12） 已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2224 ，xtyt （ t 为参数） 点 M( 2 ， 0)， P 为 C 上一点，若 |PM|=4 2 ， 则 POM 的面积为 （ 13） 已知 x， y 均为正实数，且 2 xyxy= 7 62 ，则 x+3y 的最小值为 （ 14） 设函数 f(x)= 2 5 6 04 4 0 ， ， .x x xx x 若函数 g(x)=x+af(x)有三个零点，则这三个零点之和的取值范围是 南开区 高三 年级模拟考试
7、 （一） 数学试卷（理工类） 第 4 页（共 9 页） 三、解答题：（本大题共 6 个 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 得 分 评卷人 （ 15） （本小题满分 13 分） 在 ABC 中， a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边， B=2C， sinC= 74 （）求 cosA 的值； （ ） 设 bc=24，求边 a 的长 南开区 高三 年级模拟考试 （一） 数学试卷（理工类） 第 5 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （ 16） （本小题满分 13 分） 现有长分别为 1m、 2m、 3m 的钢管各 3 根 （ 每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的
8、编号 ）， 从中随机抽取 n 根 （ 假设各钢管被抽取的可能性是均等的 ， 1 n 9）， 再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根 （） 当 n=3 时 ， 记事件 A=抽取的 3 根钢管中恰有 2 根长度相等 ， 求 P(A)； （） 当 n=2 时 ， 若用 表示新焊成的钢管的长度 （ 焊接误差不计 ） ， 求 的分布列和数学期望 E 南开区 高三 年级模拟考试 （一） 数学试卷（理工类） 第 6 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （ 17） （本小题满分 13 分） 如图 ， 在三棱锥 SABC 中 ， SA底面 ABC， AC=AB=SA=2， AC AB， D， E 分别是AC， BC 的
9、中点 ， F 在 SE 上 ， 且 SF=2FE （） 求证 ： AF平面 SBC； （） 求直线 SA 与平面 SBD 所成 角的 正 弦值 ； （） 在线段 DE 上是否存在点 G， 使二面角 GAFE 的大小为 30？ 若存在 ， 求出 DG 的长 ； 若不存在 ， 请说明理由 南开区 高三 年级模拟考试 （一） 数学试卷（理工类） 第 7 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （ 18） （本小题满分 13 分） 已知数列 an是等差数列， Sn为其前 n 项和，且 a5=3a2， S7=14a2+7 （）求数列 an的通项公式； （） 设数列 an+bn是首项为 1，公比为 2 的等比数
10、列，求 数列 (1)nbn(an+bn)的前n 项和 Tn 南开区 高三 年级模拟考试 （一） 数学试卷（理工类） 第 8 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （ 19） （本小题满分 14 分） 已知椭圆 C： 12222 byax （ a b 0） 的离心率为 36 ， 两焦点与短轴的 一个端点的连线构成 的 三角形 面积为 2 （）求椭圆 C 的方程； （） 设与 圆 O： x2+y2=34 相切 的 直线 l 交 椭圆 C 于 A， B 两点 （ O 为 坐标原点 ） ， 求 |OA|cos OAB+ tan 32 OBA 的最大值 南开区 高三 年级模拟考试 （一） 数学试卷（理工类） 第 9 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （ 20） （本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)=lnxax+a， g(x)= 1exx （） 讨论 f(x)的单调性 ； （） 若 f(x) 0 恒成立 ， 证明 ： 当 0 x1 x2时 ， 1212( ) ( )f x f xxx 11x 1 （ ） 在 （） 的条件下， 证明 ： f(x)(g(x)1) g(x)21e
