1、礼嘉中学 2018-2019 学年第二学期高二年级数学（理）阶段教学质量调研试卷一填 空 题 （本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 70 分 ， 请 将 答 案 填 写 在 答 题 卡 相应 的 位 置 上 ）1.在空间直角坐标系中，若a 1, x,2, b x,3,1，且a b ，则x .2.设 复 数 z 满 足 z 2 3 4i （ i 是 虚 数 单 位 ， 则 z 的 模 为 .3.若 复 数 z x2 1 x 1i 为 纯 虚 数 ， 则 实 数 x 的 值 为 .4.已知在数列 a 中， a 1， 当n 2 时， a a 2n 1n N ，依次计算a ,
2、 a , an 1 nn13 i1 3i232 3 4后，猜想a n 的表达式是 5.在 平 面 向 量 中 ， “若 P 为 直 线 AB 上 一 点 ， O 为 直 线 AB 外 一 点 ， 则 存 在 实 数 x, y ， 且x y 1， 使 得 OP xOA yOB ”， 拓 展 到 空 间 向 量 中 ， 类 比 上 述 结 论 ，“若 P 为所在 平面 内 一 点 ， O 为 ABC 所 在 平 面 外 一 点 ， 则 存 在 实 数 x, y, z ， 且 x y z 1 ， 使 得OP ”.6.设 实 数 a, b, c 成 等 比 数 列 ， 非 零 实 数 x, y 分 别
3、 为 a 与 b ， b 与 c 的 等 差 中 项 ， 则a c .x y7.已知复数z ， z 是z 的共轭复数， 则z z .8.如 图 ， 在 三 棱 锥 O ABC 中 ， M , N 分 别 是 AB, OC 的 中 点 ， 设OA a， OB b, OC c ，用 a, b, c 表示NM ，则NM .9.已知复数z x yix, y R ， 其中 i 是虚数单位， 且 z 2 ， 则y的最大值为 .x10.在 平 面 上 ， 设 ha , hb , hc 是 ABC 三 条 边 上 的 高 ， P 为 三 角 形 内 任 一 点 ， P 到相应三边的距离分别为 P , P ,
4、P ，我们可以得到结论： Pa Pb Pc 1.把它类比到空间中，则a b cha hb hc三棱锥中的类似结论为 11.将 25 个数排成五行五列：a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45 a51 a52 a53 a54 a55已知第一行成等差数列， 而每一列都成等比数列， 且五个公比全相等 若a24 4,a41 2,nAD A1Ba43 10 ，则 a11 a55 的值为 12.设 S11 2，S 21 22 21 2，S n1 22 23 2( n1) 2n 2(n1)2
5、2 21 2，用数学归纳法证明S n2n 1时，第二步从“k”到“k1”应添加的项为 313.已 知 ABCDA 1B1C1D1 为正方体， 2 2(A1AA 1D1A 1B1) 3A 1B1 ； A1C(A1B1A 1A)0；向量 1与向量 的夹角是 60； 正 方 体 ABCDA B C D的体积为 1 1 1 1|ABAA1AD|.其中正确的序号是 14.已 知 O 点 为 空 间 直 角 坐 标 系 的 原 点 ， 向 量 (1,2,3)， (2,1,2) ， (1,1,2) ，且点OA OB OP Q 在直线OP 上运动，当QA QB取得最小值时，OQ的坐标是 二 解 答 题 （本
6、大 题 共 6 道 题 ， 计 90 分 解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程或演算步骤）15.（本题满分 14 分）已 知 复 数 z1 满 足 z1 i 1 i （ i 为 虚 数 单 位 ，复数 z2 的 虚 部 为 2 （ 1） 求 z1 ；（ 2） 若 z1 z2 是 纯 虚 数 ， 求 z2 16.（本 题 满 分 14分）设 nN *，f(n)3 n7 n2. (1)求 f (1)，f(2)，f(3)的值；(2)求证：对任意的正整数 n，f(n) 是 8 的倍数17.（本 题 满 分 14分）若虚数 z 同时满足下列两个条件：5zz是实数；z3 的实
7、部与虚部互为相反数这样的虚数是否存在？若存在，求出 z；若不存在，请说明理由18.（本 题 满 分 16分）如 图 ， 在 四 棱 柱 ABCDA1B1C1D1 中 ， 底 面 ABCD 是平行四边形，E ，F ， G 分 别 是 A1D1，D 1D，D 1C1 的中点(1)试 用 向 量 ， 表 示 ；ABAD AA1 AG(2)证 明 平 面 EFG 平 面 AB1C.19. （本 题 满 分 16 分）数学归纳法证明： 1 1 1 对 一 切 大 于 1 的 自 然 数 ， 不 等 式 1 2n 11 1 均成立 3 5 2n 1220.（本 题 满 分 16分）已 知 集 合 X1,2
8、,3，Y n1,2,3，n( nN *)， 设 Sn (a，b)|a 整 除 b 或 b 整 除 a， aX，bY n， 令 f(n)表 示 集 合 Sn 所含元素的个数(1)写 出 f(6)的值；(2)当 n6 时 ， 写 出 f(n)的表达式，并用数学归纳法证明礼嘉中学 20182019 学年第二学期高二年级数学（理）阶段教学质量调研试卷答案一填空题1. 1 2. 53.-1 4. ann 2 5. OP xOA yOB zOC36. 2 7. 148. 1(abc) 9.10. a b c d 2 2P P P P 1 11. 11 12. (k1) k2 ha 4， 4， 8hb hc
9、 hd13. 14.13 3 3二解答题15.解 （1 ）因为 z 1i1 i ，所以 z 1i 1 i i（2 ） 因 为 z2 的 虚 部 为 2， 故 设 z2m2i (mR) 因 为 z1z2(1i)( m2i) ( m2) (2m)i 为纯虚数，所 以 m20， 且 2m0， 解 得 m2所 以 z2 2 2i16.(1)解 nN *，f(n)3 n7 n2，f (1)3728，f(2)3 27 2256， f(3)3 37 32368. (2)证明 用数学归纳法证明如下：当 n1 时，f(1)3728，成立；假 设 当 nk(k N *)时 成 立 ， 即 f(k)3 k7 k2
10、能 被 8 整除， 则 当 n k 1 时， f(k 1) 3k 1 7k 1 2 33k 77k 23(3 k7 k2)47 k43(3 k7 k2)4(7 k1) ，3 k7 k2 能被 8 整除，7 k1 是偶数，3(3 k7 k2)4(7 k1) 一定能被 8 整除，即 nk1 时也成立由得对任意正整数 n，f(n)是 8 的倍数17.解 这样的虚数存在，z 12i 或 z2i.设 zabi(a，bR 且 b 0)，z 5 a bi5 abi5a bia 5a a2b 2 是实数，bb 5b a2b 2 i.zz 5 0.abi5b a2b 2z a2b 2又b0，a 2b 25.又 z3(a3)bi 的实部与虚部互为相反数，a3b0.ab30， 由a2b 25，a 1，解得b2
