【解析版】四川省雅安市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题 Word版含解析.doc

1、雅安市 2018-2019 学年上期期末检测高中二年级数学试题（文科）（本试卷满分 150 分，答题时间 120 分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必将自已的姓名、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.2. 选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3. 考试结束后，将答题卡收回.一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.直线 ： 和 ： 垂直，

2、则实数 （ ）A. -1 B. 1 C. -1 或 1 D. 3【答案】A【解析】【分析】不合题意，由方程求出两直线的斜率，利用斜率之积为 即可得结果.【详解】因为直线 ： 和 ： 垂直（ 不合题意） ，两直线的斜率分别为 ，所以 ，解得 ，故选 A.【点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，在斜率存在的前提下， （ ） ，这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.2.对于命题 ： ， ，则 是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】

3、根据特称命题“ ”的否定为全称命题“ ”即可得结果.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，否定特称命题时，一是要将存在量词改写为全称量词，所以，命题 的否定 为 ， ，故选 C.【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3.某校高三年级共有学生 900 人，将其编号为 1，2，3，900 并从小到大依次排列，现用系统抽样的方法从中抽取一个容量为 45 的样本，若抽取的第一个样本编号为 5，则第三个

4、样本的编号为（ ）A. 15 B. 25 C. 35 D. 45【答案】D【解析】【分析】先求出抽取样本编号间隔为 ，利用系统抽样的定义可得结果.【详解】用系统抽样的方法从 900 人抽取一个容量为 45 的样本，抽取样本编号间隔为 ，因为抽取的第一个样本编号为 5，所以第二个样本的编号为 ，则第三个样本的编号为 ，故选 D.【点睛】本题主要考查系统抽样的方法，属于简单题. 系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离，可以利用等差数列的性质解答.4.“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D

5、. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据包含关系，直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为“ ”不能推出“ ”；“ ”能推出“ ”，所以， “ ”是“ ”的必要不充分条件，故选 B.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.5. 中，若 ， ， ，则该三角形的形状是：（ ）A. 锐角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三

6、角形 D. 等腰直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用空间向量模的公式求出三角形三边的长，从而可得结果.【详解】因为 ， ， ，所以， ，所以 ，且 ，是等腰直角三角形，故选 D.【点睛】本题主要考查空间向量的线性运算以及空间向量模的公式的应用，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6.直线 ： 截圆 所得弦长为（ ）A. B. C. 6 D. 3【答案】A【解析】【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可得结果.【详解】圆 的圆心为原点，半径为 ，原点到直线 的距离为 ，所以直线 ： 截圆 所得弦长为.故选 A.【点睛】本题

7、主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式 ，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.7.执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：初始化数值 ，执行循环结构，判断条件是否成立，详解：初始化数值循环结果执行如下：第一次： 不成立；第二次： 成立，循环结束，输出 ，故选 B.点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.8.如

8、图，将矩形 沿对角线 把 折起，使 移到 点，且 在平面 上的射影恰好在 上，则 与 所成角是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由线面垂直的性质可得 ，由矩形的性质可得 ,由此可得 平面，从而可得 ，进而可得结果.【详解】因为 在平面 上的射影 恰好在 上，所以 平面 ，因为 在平面 内，所以 ，又因为 , 与 在平面 内相交，所以， 平面 ， 在平面 内，所以 ， 、 成的角为 ，故选 D.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，以及线面垂直的判定与性质，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正

9、确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.9.已知圆 ，圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析： 的圆心为 ，所以它关于直线 对称的点为 ，对称后半径不变，所以圆 的方程为 .考点：直线及圆的方程.10.三棱锥 中， ， 平面 ， ， ，则 和平面 所成角的正切值为（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在平面 内过 作 ，垂足为 ，连接 ，可证明 平面 ， 即是 和平面 所成的角，利用等腰三角形的性质与勾股定理求出 ， 的值，从而可得结果.【详解】在平面 内过 作 ，垂足为 ，连接 ，因为 ，所以 是 的中点，且

10、， ，平面 ， 平面 ，即是 和平面 所成的角，和平面 所成角的正切值是 ，故选 B.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，属于与中档题. 求线面角的方法：1、根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；2、对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解.11.若点 在圆 上运动，则 的最大值是（ ）A. B. 1 C. D. 2【答案】C【解析】【分析】设 ,则 ，利用辅助角公式可化为 ，由此可得，从而可得结果.【详解】因为点 在圆 上运动，所以可设 ，则 ,即 的最大值是 ，故选

11、 C.【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，以及利用换元法求最值,属于中档题. 求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法，利用不等式法求最值，有两个思路：一是根据题设中已知参数的范围列不等式求出所求参数范围，二是利用基本不等式求解.12.已知三棱锥 中， ，且 、 、 两两垂直， 是三棱锥 外接球面上一动点，则 到平面 的距离的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】是棱长为 1 的正方体 上具有公共顶点 的三条棱,以 为原点,分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系,三棱锥 外接球就是正方体的外接

12、球，由正方体及球的几何性质可得点 与 重合时，点 到平面 的距离最大，求出平面 的法向量，由点到直线的距离公式即可得结果.【详解】三棱锥 ，满足 两两垂直，且 ，如图 是棱长为 1 的正方体 上具有公共顶点 的三条棱,以 为原点, 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系,则 ，设平面 的法向量 ，则 ，取 ，得 ，三棱锥 外接球就是棱长为 1 的正方体 的外接球，是三棱锥 外接球上一动点，由正方体与球的几何性质可得，点 点与 重合时，点 到平面 的距离最大，点 到平面 的距离的最大值为 .故选 C.【点睛】求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程

13、组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.若直线 ： 和 ： 平行，则实数 _【答案】1【解析】【分析】根据两直线平行斜率相等列方程求解即可.【详解】 时不合题意，当 不等于 2 时，直线 的斜率为 1，直线 的斜率为 ，因为直线 ： 和 ： 平行，所以 ，解得 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，在斜率存在的前提下，（ ） ，这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜

14、率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.14.将一枚均匀的骰子抛两次，则“第一次所抛点数比第二次所抛点数大”的概率是_【答案】【解析】【分析】利用列举法，将一枚均匀的骰子抛两次，共有 36 种不同的结果；其中，第一次所抛点数比第二次所抛点数大的结果有 15 种，由古典概型概率公式可得结果.【详解】将一枚均匀的骰子抛两次，共有 36 种不同的结果；其中，第一次所抛点数比第二次所抛点数大的结果有 15 种不同的结果，由古典概型概率公式可得“第一次所抛点数比第二次所抛点数大”的概率是 ,故答案为 .【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数 ，其次求出概率事件中含有多少

15、个基本事件 ，然后根据公式 求得概率.15.已知命题 ： ， 为真命题，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】分两种情况讨论，结合抛物线的图象，列不等式求解即可.【详解】当 时， 为真命题，符合题意；当 时，要使 ， 为真命题，则对应的抛物线开口向上且与 轴没有交点，可得 ，综上可得实数 的取值范围是 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查全称命题的定义，以及一元二次不等式恒成立问题，属于简单题. 一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.16.正三角形 边长为 ，其所在平面上有点

16、、 满足： ， ，则 的最大值为_【答案】【解析】【分析】如图所示，建立直角坐标系 ，点 的轨迹方程为，令 ，又 ，可得，代入 ，即可得出结果.【详解】如图所示，建立直角坐标系 ，满足 ，点 的轨迹方程为 ，令 ，又 ， 则 ，的最大值是 .【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及换元法的应用、三角函数求最值，属于难题. 求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：化成 的形式利用配方法求最值；形如 的可化为 的形式利用三角函数有界性求最值；型，可化为 求最值 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知三角形的三个顶点 ， ， .（1）求

17、 边所在直线方程；（2）求 边上中线所在直线方程.【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）直接利用截距式求得直线方程，化为一般式即可；（2）由 ， .知 中点为，利用两点式求得直线方程，化为一般式即可.【详解】 （1） 的直线方程为: ，即：（2）由 B（4，-4） ，C（0,2）知 中点为（2，-1） ，故 边上中线所在的直线方程为 ，即： .【点睛】本题主要考查直线的方程，属于中档题. 直线方程主要有五种形式，每种形式的 直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标

18、轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.18.半期考试后，班长小王统计了 50 名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示.（1）根据频率分布直方图，估计这 50 名同学的数学成绩的众数；（2）用分层抽样的方法从成绩低于 115 的同学中抽取 6 名，再在抽取的这 6 名同学中任选2 名，求这两名同学数学成绩均在 中的概率.【答案】 （1）130（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中最高矩形中点横坐标，可估计这 50 名同学的数学成绩的众数；（2）用分层抽样抽取 6 人中，分数在 中的有 1 人，分数在 中的有 5 人，利用列举法可得基本事件有 15 个，满足条件的基本事件

19、有 10 个，利用古典概型概率公式可得结果.【详解】 （1）根据频率分布直方图，估计这 50 名同学的数学成绩的众数为 130（2）由直方图可知，分数低于 115 分的同学有 人，则用分层抽样抽取 6 人中，分数在95,105)有 1 人，用 表示，分数在105,115)中的有 5 人，用表示，则基本事件有 ，共 15 个，满足条件的基本事件为，共 10 个，所以这两名同学分数均在105,115)中的概率为： .【点睛】本题主要考查直方图与古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少

20、且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先 ， . ，再 ， 依次 . 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19.如图，四棱锥 中， 底面 ，底面 中， ， ，又， ， 为 中点.（1）求证： 平面 ；（2）求证： 平面 .【答案】 （1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由 底面 ，可得 ，结合 ，利用线面垂直的判定定理即可得结果；（2）取 的中点为 ,连接 ,则在 中， ,可证明四边形 是平行四边形，可得 ,利用线面平行的判定定理可得结果.【详解】（1）由题意知：PD底面 ABCD，且 ,则 PDBC又

21、 CBPB，且 ,所以 ；（2）取 PD 的中点为 F,连接 EF,AF,则在 中， , AB=AD=3,则 BD= ，且 , ABAD,所以， ,则 CB = BD,所以，AB = BD;则 AB/ CD,则 AB/ EF,则四边形 ABEF 为平行四边形；所以 BE/ AF, 而 , ,所以 .【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，属于中档题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质

22、，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.20.对某城市居民家庭年收入 （万元）和年“享受资料消费” （万元）进行统计分析，得数据如表所示.6 8 10 122 3 5 6（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 .（2）若某家庭年收入为 18 万元，预测该家庭年“享受资料消费”为多少？（参考公式： ， ）【答案】 （1） （2）10.3 万元【解析】【分析】(1)根据所给的数据，做出变量 的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数 ,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出 的值，写出线性回归方程； (2)根据上一问做出的线性回归方程和

23、家庭年收入为 18 万元,代入线性回归方程求出对应的的值，即可预测该家庭年“享受资料消费”.【详解】 （1）由数据求得 ，故 y 关于 x 的线性回归方程为： .（2）当 x=18 时，由线性回归方程求得 ，故家庭年收入为 18 万元时，预测该家庭年“享受资料消费”为 10.3 万元【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；计算 的值；计算回归系数 ；写出回归直线方程为 ； 回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.21.如图，在以 、 、 、 、 、 为顶

24、点的五面体中， 是平行四边形， ，平面 平面 ， .（1）求证： ；（2）若 ， ， 与平面 所成角为 ，求该五面体的体积.【答案】 （1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）过 作 于 ，连接 ，根据面面垂直的性质可证明 平面 ，可得，利用全等三角形以及等腰直角三角形的性质可得 即 ，由线面垂直的判定定理可得 平面 ，从而可得结果；（2）由（1）知 为 与平面 所成角，可得 ，由 可得结果.【详解】 （1）过 作 ，连接 ，平面 平面 ，且交线为平面 ，而，又，而，又，而.（2）由 知 ，而由（1）知 为等腰直角三角形，而 ， ，又由（1）知 为 与平面 所成角，0而 ，【点睛】本题主要考查

25、线面垂直的判定与性质及空间几何体的体积，属于中档题. 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.22.已知圆 : ,直线 .(1)若直线 与圆 相切,求 的值; (2)若直线 与圆 交于不同的两点 ,当AOB 为锐角时,求 k 的取值范围;(3)若 , 是直线 上的动点,过 作圆 的两条切线 ,切点为 ,探究:直线 是否过定点。【答案】 （1） ； （2） 或 ； （3） .【解析】【分析】（1）由直线 l 与

26、圆 O 相切，得圆心 O（0，0）到直线 l 的距离等于半径 r= ，由此能求出k（2）设 A，B 的坐标分别为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，将直线 l：y=kx2 代入 x2+y2=2，得（1+k 2）x 24kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出 k 的取值范围（3）由题意知 O，P，C，D 四点共圆且在以 OP 为直径的圆上，设 P（t， ） ，其方程为，C，D 在圆 O：x 2+y2=2 上，求出直线 CD：（x ）t2y2=0，联立方程组能求出直线 CD 过定点（ ） 【详解】(1)由圆心 O 到直线 l 的距离 ，可得 k=1。(2)设 A,B 的

27、坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2),将直线 l:y=kx-2 代入 x2+y2=2,整理,得(1+k 2)x2-4kx+2=0,所以 ,=(-4k) 2-8(1+k2)0,即 k21 当AOB 为锐角时,则,可得 k21,故 k 的取值范围为 或 。(3)设切点 C,D 的坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2),动点 P 的坐标为(x 0,y0),则过切点 C 的切线方程为:xx 1+yy1=2,所以 x0x1+y0y1=2同理,过切点 D 的切线方程为:x 0x2+y0y2=2,所以过 C,D 的直线方程为:x 0x+y0y=2又 ,将其代入上式并化简整理,得 ,而 x0R,故 且-2y-2=0,可得 ,y=-1,即直线 CD 过定点 。【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题