1、第 4 讲 直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1.(2017保定模 拟)有下列命题：若直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则直线 l ；若直线 a 在平面 外，则 a ；若直线 ab，b ，则 a；若直线 ab，b ，则 a 平行于平面 内的无数条直线.其中真命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 命题l 可以在平面 内，不正确；命 题直线 a 与平面 可以是相交关系，不正确；命题a 可以在平面 内，不正确；命题正确.答案 A2.设 m，n 是不同的直线， ， 是不同的平面，且 m，n ，则“”是“m 且 n ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D
2、.既不充分也不必要条件解析 若 m，n，则 m 且 n ；反之若 m，n，m 且 n，则 与 相交或平行，即“ ”是“m 且 n ”的充分不必要条件.答案 A3.(2017长郡中学 质检)如图所示的三棱柱 ABCA 1B1C1 中，过A1B1 的平面与平面 ABC 交于 DE，则 DE 与 AB 的位置关系是 ( )A.异面 B.平行C.相交 D.以上均有可能解析 在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABA 1B1，AB平面 ABC，A1B1平面 ABC，A1B1平面 ABC，过 A1B1 的平面与平面 ABC 交于 DE.DEA1B1，DEAB.答案 B4.下列四个正方体图形中，A，B 为正
3、方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB平面 MNP 的图形的序号是 ( )A. B. C. D.解析 中，易知 NPAA，MNAB，平面 MNP平面 AAB，可得出 AB平面 MNP(如图).中，NPAB，能得出 AB平面 MNP.在中不能判定 AB平面 MNP.答案 B5.已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是 ( )A.若 m，n ，则 mn B.若 m ，n ，则 mnC.若 m ，mn，则 n D.若 m，mn，则 n解析 若 m，n ，则 m，n 平行、相交或异面，A 错；若 m ，n，则mn，因 为直 线与平面垂直 时，它垂直于平面内任
4、一直线，B 正确；若m，mn，则 n 或 n，C 错；若 m， mn，则 n 与 可能相交，可能平行，也可能 n，D 错.答案 B二、填空题6.在四面体 ABCD 中，M，N 分别是ACD， BCD 的重心，则四面体的四个面中与 MN 平行的是_.解析 如图，取 CD 的中点 E.连接 AE，BE，由于 M，N 分别是ACD，BCD 的重心，所以AE，BE 分别过 M，N，则 EMMA12，ENBN12，所以 MNAB.因为 AB平面 ABD，MN平面 ABD，AB平面 ABC，MN平面 ABC，所以 MN平面 ABD，MN平面 ABC.答案 平面 ABD 与平面 ABC7.如图所示，正方体
5、ABCDA 1B1C1D1 中，AB2，点 E 为AD 的中点，点 F 在 CD 上.若 EF平面 AB1C，则线段 EF的长度等于_.解析 在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AB2，AC2 .2又 E 为 AD 中点，EF平面 AB1C，EF平面 ADC，平面 ADC平面AB1CAC， EFAC，F 为 DC 中点， EF AC .12 2答案 28.(2017承德模 拟)如图所示，在正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1中，E ， F，G，H 分别是棱 CC1，C 1D1，D 1D， DC 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件 _
6、时，就有 MN平面 B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析 连接 HN，FH，FN，则 FHDD 1，HNBD，平面 FHN平面 B1BDD1，只需 MFH，则 MN平面 FHN，MN平面B1BDD1.答案 点 M 在线段 FH 上(或点 M 与点 H 重合)三、解答题9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系，并证明你的结论.解 (1)点 F，G，H 的位置如图所示 .(2)平面 BEG平面 ACH，证明如下：因为
7、 ABCDEFGH 为正方体，所以 BCFG，BCFG，又 FG EH， FGEH，所以 BCEH，BCEH，于是四边形 BCHE 为平行四边形，所以 BECH.又 CH平面 ACH，BE平面 ACH，所以 BE平面 ACH.同理 BG平面 ACH.又 BEBGB，所以平面 BEG平面 ACH.10.(2014全国 卷)如图，四棱锥 PABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点.(1)证明：PB平面 AEC；(2)设 AP1，AD ，三棱锥 PABD 的体积 V3，求 A 到平面 PBC 的距离.34(1)证明 设 BD 与 AC 的交点为 O，连接 EO.因
8、为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点.又 E 为 PD 的中点，所以 EOPB .又因为 EO平面 AEC，PB平面 AEC，所以 PB平面 AEC.(2)解 V PAABAD AB.16 36由 V ，可得 AB .作 AHPB 交 PB 于 H.34 32由题设知 ABBC，PA BC，且 PAABA，所以BC平面 PAB.又 AH平面 PAB，所以 BCAH，又 PBBCB ，故 AH平面 PBC.PB平面 PBC，AHPB，在 Rt PAB 中，由勾股定理可得 PB ，132所以 AH .PAABPB 31313所以 A 到平面 PBC 的距离为 .3131311.给出下列
9、关于互不相同的直线 l，m，n 和平面 ， ， 的三个命题：若 l 与 m 为异面直线，l ，m ，则 ；若 ，l ，m ，则 lm；若 l， m， n，l ，则 mn.其中真命题的个数为( )A.3 B.2 C.1 D.0解析 中当 与 不平行时，也可能存在符合 题 意的 l，m；中 l 与 m 也可能异面；中Error!ln，同理，l m，则 mn，正确.答案 C12.在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，则在下列结论中，错误的是( )A.ACBDB.AC 截面 PQMNC.AC BDD.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45解析 因为截面 PQMN 是正方形，所以 MNQ
10、P，又 PQ平面 ABC，MN平面 ABC，则 MN平面 ABC，由 线面平行的性质知 MNAC ，又 MN平面PQMN，AC平面 PQMN，则 AC截面 PQMN，同理可得 MQBD，又MNQM ，则 ACBD，故 A，B 正确.又因为 BDMQ ，所以异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 QM 所成的角，即为 45，故 D 正确.答案 C13.如图所示，棱柱 ABCA 1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形，设 D 是 A1C1 上的点且 A1B平面 B1CD，则 A1DDC 1 的值为_.解析 设 BC1B1CO，连接 OD.A1B平面 B1CD 且平面 A1BC1平面 B
11、1CDOD，A1BOD，四边形 BCC1B1 是菱形，O 为 BC1 的中点，D 为A1C1 的中点，则 A1DDC11.答案 114.(2015江苏 卷)如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，已知ACBC，BCCC 1.设 AB1 的中点为 D，B 1CBC 1E .求证：(1)DE平面 AA1C1C；(2)BC1AB 1.证明 (1)由题意知， E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1 的中点，因此 DEAC.又因为 DE平面 AA1C1C，AC平面 AA1C1C，所以 DE平面 AA1C1C.(2)因为棱柱 ABCA 1B1C1 是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC.因为 AC平面 ABC，所以 ACCC 1.又因为 ACBC，CC 1平面 BCC1B1，BC平面 BCC1B1，BCCC 1C，所以 AC平面 BCC1B1.又因为 BC1平面 BCC1B1，所以 BC1AC.因为 BCCC 1，所以矩形 BCC1B1 是正方形，因此 BC1B 1C.因为 AC，B 1C平面 B1AC，ACB 1CC，所以 BC1平面 B1AC.又因为 AB1平面 B1AC，所以 BC1AB 1.
