1、阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程考试时间 ：120 分钟 试卷总分：160 分二题 号 一15 16 17 18 19 20总 分得 分一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分将答案填在题中的横线上)1(江苏高考)双曲线 1 的两条渐近线的方程为_x216 y292抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x2 1 的渐近线的距离是_y233方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 a 的取值范围是x2a 12 y2a2_4(辽宁高考)已知 F 为双曲线 C： 1 的左焦点， P，Q 为 C 上的点若 PQ 的x29 y216长等于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ
2、 上，则PQF 的周长为_5设点 P 是双曲线 1(a0，b0) 与圆 x2y 22a 2 的一个交点，F 1，F 2 分别是x2a2 y2b2双曲线的左、右焦点，且 PF13PF 2，则双曲线的离心率为_6已知动圆 P 与定圆 C：(x2) 2y 21 相外切，又与定直线 l：x1 相切，那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是_7已知双曲 C1 1(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线 C2：x 22py(p0)的焦x2a2 y2b2点到双曲线 C1 的渐进线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为 _8过抛物线 x28y 的焦点 F 作直线交抛物线于 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)两
3、点，若y1y 28，则 P1P2 的值为_ 9椭圆 1 的右焦点到直线 y x 的距离是_x24 y23 3310已知椭圆 C： 1(ab0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两x2a2 y2b2点，连接 AF， BF.若 AB10 ，BF8，cos ABF ，则 C 的离心率为_4511(新课标全国卷改编)已知椭圆 E： 1(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 Fx2a2 y2b2的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为_12抛物线 y212x 截直线 y2x1 所得弦长等于_13以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的
4、点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为_14给出如下四个命题：方程 x2y 22x 10 表示的图形是圆； 椭圆 1 的离心率 e ；抛物线 x2y 2 的准线的方程是 x ；双曲线x23 y22 53 18 1 的渐近线方程是 y x.y249 x225 57其中所有不正确命题的序号是_二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 14 分)求与椭圆 1 有共同焦点，且过点 (0,2)的双曲线方程，x2144 y2169并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程16(本小题满分 1
5、4 分)已知抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若 |AB|8，求直线 l 的方程17.(本小题满分 14 分) 如图，F 1，F 2 分别是椭圆C： 1(a b0)的左、右焦点，A 是椭圆 C 的顶点， B 是直线x2a2 y2b2AF2 与椭圆 C 的另一个交点，F 1AF260.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)已知AF 1B 的面积为 40 ，求 a，b 的值318(浙江高考)( 本小题满分 16 分)如图，点 P(0，1) 是椭圆C1： 1(a b0)的一个顶点，C 1 的长轴是圆 C2：x 2y 24 的x2a2 y2b2直径l
6、 1，l 2 是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1 交圆 C2 于A，B 两点，l 2 交椭圆 C1 于另一点 D.(1)求椭圆 C1 的方程；(2)求ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程9(陕西高考)( 本小题满分 16 分)已知动点 M(x，y )到直线 l：x4 的距离是它到点N(1,0)的距离的 2 倍(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程；(2)过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A，B 两点，若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率20(湖南高考)( 本小题满分 16 分)过抛物线 E：x 22py (p0)的焦点 F 作斜率分别为k1，k 2 的两条不同
7、直线 l1，l 2，且 k1k 22，l 1 与 E 相交于点 A，B，l 2 与 E 相交于点C，D，以 AB，CD 为直径的圆 M，圆 N(M，N 为圆心) 的公共弦所在直线记为 l.(1)若 k10，k 20，证明： 0，b0)的率心率为 2. 2， b a.x2a2 y2b2 ca a2 b2a 3双曲线的渐近线方程为 xy0.抛物线 C2：x22py(p0)的焦点 到双曲线的渐近线的3 (0，p2)距离为 2.| 30p2|2p 8.所求的抛物 线方程为 x216y.答案：x 216y8解析：由题意知 p4，由抛物 线的定义得P1P2P 1FP 2F (y 1y 2)p8412.(y
8、1 p2) (y2 p2)答案：129解析：椭圆 1 的右焦点 为(1,0)，x24 y23右焦点到直线 x3y 0 的距离 d .333 9 12答案：1210解析：在ABF 中，AF2AB 2BF 22AB BFcosABF10 28 22108 36，则 AF6.由45AB2AF 2BF 2 可知，ABF 是直角三角形， OF 为斜边 AB 的中线，cOF 5.设椭圆AB2的另一焦点为 F1，因为点 O 平分 AB，且平分 FF1，所以四边形 AFBF1为平行四边形，所以BFAF 18.由椭圆的性质可知 AFAF 1142aa7，则 e .ca 57答案：5711解析：因为直线 AB 过
9、点 F(3,0)和点(1， 1)，所以直线 AB 的方程为 y (x3) ，12代入椭圆方程 1 消去 y，得 x2 a2x a2a 2b20，x2a2 y2b2 (a24 b2) 32 94所以 AB 的中点的横坐标为 1，即 a22b 2，32a22(a24 b2)又 a2b 2c 2，所以 bc3.所以 E 的方程为 1.x218 y29答案： 1x218 y2912解析：令直线与抛物线交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)由Error! 得 4x28x 10，x 1x 22， x1x2 ，AB 14 1 22x1 x22 .5x1 x22 4x1x2 15答案： 1513解析：如图
10、，设椭圆的方程 为 1(ab0)，焦半径为 c.x2a2 y2b2由题意知F 1AF290，AF2F160. AF2c ，AF12csin 60 c.3AF1AF 22a( 1) c.3e 1.ca 23 1 3答案： 1314解析：表示的图形是一个点(1,0) ；e ；33渐近 线的方程 为 y x.75答案：15解：椭圆 1 的焦点是(0，5)，(0,5)，焦点在 y 轴上，x2144 y2169于是设双曲线方程是 1(a0 ，b0)，y2a2 x2b2又双曲线过点(0,2)， c5，a2，b2 c2a 225421，双曲 线 的标准方程是 1， 实轴长为 4，y24 x221焦距为 10
11、，离心率 e ，ca 52渐近线方程是 y x.2212116解：抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，当直 线 l 斜率不存在时，|AB| 4，不合题意设直线 l 的方程为 yk (x1) ，代入 y24x，整理得 k2x2(2 k24)xk 20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知 k0，则 x1x 2 .2k2 4k2由抛物线定义知，|AB| AF|BF|x 11x 21x 1x 22，x1x 228 ，即 28.2k2 4k2解得 k1.所以直线 l 的方程为 y( x1)，即 xy10，xy 10.17解：(1)由题意可知， AF1F2为等边三角形， a2c ，所以
12、 e .12(2)法一：a 24c 2，b23c 2，直线 AB 的方程为 y (xc)3代入椭圆方程 3x24y 212c 2，得 B .(85c， 335c)所以|AB| | c0| c.1 385 165由 SAF1B |AF1|AB|sin F1AB a c a240 ，解得 a10，b5 .12 12 165 32 235 3 3法二：设 ABt.因为|AF 2|a ，所以|BF 2|ta.由椭圆定义 BF1BF 22a 可知，BF 13at .由余弦定理得(3at) 2a 2t 22atcos 60可得，t a.85由 SAF1B a a a240 知，12 85 32 235 3
13、a10，b5 .318解：(1)由题意得Error!所以椭圆 C1 的方程为 y 21.x24(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线 l1 的斜率存在，不妨设其为 k，则直线 l1 的方程为 ykx 1.又圆 C2：x2y 24，故点 O 到直线 l1 的距离 d ，1k2 1所以 AB2 2 .4 d24k2 3k2 1又 l2l1，故直线 l2 的方程为 xky k 0.由Error! 消去 y，整理得(4k 2)x28kx0，故 x0 ，y0 1.8k4 k2 84 k2所以 PD .8k2 14 k2设ABD 的面积为 S，则 S ABPD ，12
14、84k2 34 k2所以 S ，324k2 3 134k2 3322 4k2 3 134k2 3 161313当且仅当 k 时取等号102所以所求直线 l1 的方程为 y x1.10219解：(1)设 M 到直线 l 的距离为 d，根据题意 d2| MN|.由此得|4x| 2 ，x 12 y2化简得 1，x24 y23所以，动点 M 的轨迹方程为 1.x24 y23(2)法一：由题意， 设直线 m 的方程 为 ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)将 ykx3 代入 1 中，x24 y23有(34k 2)x2 24kx240，其中 (24k)2424(34k 2)96(2 k23)0，故
15、 k2 .32由根与系数的关系得，x1x 2 ，24k3 4k2x1x2 .243 4k2又因为 A 是 PB 的中点，故 x22x 1，将代入 ，得x1 ，x ，8k3 4k2 21 123 4k2可得 2 ，且 k2 ，( 8k3 4k2) 123 4k2 32解得 k 或 k ，32 32所以直线 m 的斜率为 或 .32 32法二：由题意，设直线 m 的方程为 ykx3， A(x1，y1)，B(x2，y2)A 是 PB 的中点，x1 ，x22y1 .3 y22又 1，x214 y213 1，x24 y23联立 ，解得Error!或Error!即点 B 的坐标为(2,0)或(2,0)，所
16、以直线 m 的斜率为 或 .32 3220解：(1)证明：由题意，抛物线 E 的焦点为 F ，(0，p2)直线 l1 的方程为 yk 1x .p2由Error! 得 x22pk 1xp 20.设 A，B 两点的坐 标分别为( x1，y1)，(x2，y2)，则 x1，x2 是上述方程的两个实数根从而 x1x 22pk 1，y1y 2k 1(x1x 2)p2pk p.21所以点 M 的坐标为 ， ( pk1，pk )(pk1，pk21 p2) FM21同理可得点 N 的坐标为 ， ( pk2，pk )(pk2，pk2 p2) N2于是 p 2(k1k2k k )F212因为 k1k 22，k 10，k20，k1k 2，所以 00，所以点 M 到直线 l 的距离d |2pk21 pk1 p|5 p|2k21 k1 1|5 .p2(k1 14)2 785故当 k1 时，d 取最小值 .14 7p85由题设， ，解得 p8.7p85 755故所求的抛物线 E 的方程为 x216y .
