1、课时提升作业 十九平面向量基本定理(15 分钟 30 分)一、选择题(每小题 4 分,共 12 分)1.若 e1,e2是平面内的一组基底 ,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是 ( )A.e1-e2,e2-e1 B.2e1-e2,e1- e212C.2e2-3e1,6e1-4e2 D.e1+e2,e1-e2【解析】选 D.选项 A,B,C 中的向量都是共线向量,不能作为平面向量的基底.2.如图,在ABC 中, = , =3 ,若 =a, =b,则 = ( )B12A E A A BA. a+ b B.- a+ b13 13 12 14C. a+ b D.- a+ b12 14 13 13【解
2、析】选 B.因为 =3 ,A E所以 - =3( - ).BB BB所以 4 = +3 ,因为 = ,B B B B12所以 = ,所以 4 = + ,B13 B B B所以 4 =- +( - ).B A AA所以 4 =-2 + ,所以 =- + ,所以 =- a+ b.B A A B 1214 B 12 143.已知 A,B,D 三点共线,且对任一点 C,有 = + ,则 = ( )C43 CA. B. C.- D.-23 13 13 23【解析】选 C.因为 A,B,D 三点共线,所以存在实数 t,使 =t ,A A则 - =t( - ).CC CC所以 = +t( - )=(1-t)
3、 +t .CC CC C C所以 解得 =- .1=43,=, 13【误区警示】本题容易出现未能利用共线导出系数关系,从而无法求值的问题,应充分利用共线条件进行转化.二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)4.设向量 m=2a-3b,n=4a-2b,p=3a+2b,若用 m,n 表示 p,则p=_. 【解析】设 p=xm+yn,则 3a+2b=x(2a-3b)+y(4a-2b)=(2x+4y)a+(-3x-2y)b,得 2+4=3,32=2 x=74,=138.所以 p=- m+ n.74 138答案:- m+ n74 1385.如图,在平行四边形 ABCD 中,点 O 为 AC 的中点,点
4、N 为 OB 的中点,设 =a, =b,若用 a,b 来表示向量 ,则 =_.A A A A【解析】以 =a, =b 作为以 A 点为公共起点的一组基底,则 =A A A+ = + = + ( - )= + = a+ b.A DA34A34AA143434 14答案: a+ b34 14三、解答题6.(10 分)设 e1,e2是不共线的非零向量 ,且 a=e1-2e2,b=e1+3e2. (1)证明:a, b 可以作为一组基底 .(2)以 a,b 为基底 ,求向量 c=3e1-e2的分解式.(3)若 4e1-3e2=a+b,求 , 的值.【解析】(1)若 a,b 共线 ,则存在 R,使 a=b
5、,则 e1-2e2=(e1+3e2).由 e1,e2不共线,得 =1,3=2 =1,=23.所以 不存在 ,故 a 与 b 不共线,可以作为一组基底.(2)设 c=ma+nb(m,nR),则 3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以 m+=3,2+3=1 m=2,=1.所以 c=2a+b.(3)由 4e1-3e2=a+b,得 4e1-3e2=(e1-2e2)+(e1+3e2)=(+)e1+(-2+3)e2.所以 +=4,2+3=3 =3,=1.故所求 , 的值分别为 3 和 1.(15 分钟 30 分)一、选择题(每小题 5 分,共 10
6、 分)1.如图,AB 是O 的直径,点 C,D 是半圆弧 的两个三等分点, =a,A A=b, = A A( )A.a- b B. a-b12 12C.a+ b D. a+b12 12【解析】选 D.连接 CD,OD,因为点 C,D 是半圆弧 的两个三等分点,所A以 = ,AB所以 CDAB,CAD=DAB=30,因为 OA=OD,ADO=DAO=30,所以CAD=ADO=30,所以 ACDO.所以四边形 ACDO 为平行四边形, = + ,A AA因为 = = a, =b,所以 = a+b.A1212 A A122.已知点 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足
7、 = + (0,+), 则点 P 的轨迹一定通OO (A|+|)过ABC 的 ( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【解析】选 B. 为 上的单位向量,A| A为 上的单位向量,则 + 的方向为BAC 的角平分线A| AA|A|的方向 .A又 (0,+),所以 的方向与 + 的方向相同.(A|+|)A|A|而 = + ,所以点 P 在 上移动,所以点 P 的轨迹O O (A|+|) A一定通过ABC 的内心.二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)3.已知 e1,e2不共线,a=e 1+2e2,b=2e1+e 2,要使 a,b 能作为平面内的一组基底,则实数 的取值范围为_.【解析】若
8、能作为平面内的一组基底,则 a 与 b 不共线.a=e1+2e2,b=2e1+e 2,由 akb 即得 4.答案:(-,4) (4,+)4.如图,平面内三个向量 , , ,其中AOB=120,AOC=30,OOO且| |=| |=1,| |=2 ,若 = + (,R),则 +O O O 3 O O O的值为_.【解析】作平行四边形 OECF,如图所示.则 = + = + .O O O O O即 = , = .O OO O因为AOB=120, AOC=30,所以BOC=90.所以在 RtCOF 中,| |=2 ,OCF=30,O 3所以| |=2,| |=4,所以| |=4.O F O因为| |
9、=| |=1.O O所以 =4 , =2 .所以 =4 +2 .O OO O O O O所以 =4,=2,所以 +=6.答案:6三、解答题5.(10 分)如图所示,已知 E,F 分别是矩形 ABCD 的边 BC,CD 的中点,EF 与 AC 交于点 G,若 =a, =b,用 a,b 表示 . A A A【解析】易知 = , = ,C12C12设 = ,C C则由平行四边形法则,得 =( + )C C C=2 +2 ,C C由于 E,G,F 三点共线,则 2+2=1,故 = .14从而 = , = = (a+b).C14A3434【补偿训练】如图,在ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两点 M,N,若 =m , =n ,求 m+n 的A AA A值. 【解析】设 =a, =b,A A则 = ( + )= a+ b,A12A A 12 12又 = + = +A AM A M= +( - )A AA=(1-) + = a+ b.A A1 根据平面向量基本定理得1=12,=12, 消去 整理得 m+n=2.
