1、初二北师大版数学期末复习第六章 证明知识要点（一）关于命题、定理及公理1. 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。2. 判断一件事情的句子，叫做命题。3. 每个命题都由条件和结论两部分组成。4. 正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。5. 公认的真命题称为公理（书 P197 6 条公理） （等量代换）6. 推理的过程称为证明。7. 经过证明的真命题称为定理。例题1. 把命题“对顶角相等”改写成“如果那么”形式为_。答案：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等2. 请给出命题：“如果两个数的积是正数，那么这两个数一定都是正数”的一个反例：_。答案： 2121()
2、， 与 都 是 负 数3. 下列语句不是命题的是（ ）A. 2008 年奥运会的举办城是北京B. 如果一个三角形三边 a，b，c 满足 a2b 2c 2，则这个三角形是直角三角形C. 同角的补角相等D. 过点 P 作直线 l 的垂线答案：D4. 如图，线段 a 与 b 的大小关系是（ ）A. ab B. ab C. ab D. 无法确定答案：A5. 下列命题是真命题的是（ ）.a一 定 是 负 数B0C. 平行于同一条直线的两条直线平行D. 有一角为 80的等腰三角形的另两个角为 50与 50答案：C（二）平行线的性质及判定判定：（1）同位角相等，两直线平行。（2）同旁内角互补，两直线平行。（
3、3）内错角相等，两直线平行。性质：（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，同旁内角互补。（3）两直线平行，内错角相等。（三）三角形的内角和外角的定理1. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。acba ， 2. 如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行。 ， 3. 如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条。cabc ， 例题1. 如图，若直线 ab，且分别交直线 c 于点 A、B，170，则2（ ） c A 1 a b 3 2BA. 70 B. 20 C. 110 D. 40答案：A提示：231702. 如图，已知直线 a，b 与直
4、线 c 相交，下列条件中不能判定直线 a 与直线 b 平行的是（ ） c a 3 b 2 145 6 78 A. 23180B. 15180C. 47D. 18答案：A3. 如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是（ ）A. 同位角相等两直线平行B. 同旁内角互补，两直线平行C. 内错角相等两直线平行D. 平行于同一条直线的两直线平行答案：C4. 我们知道，平行四边形的对角相等，其证明过程如下，请在每一步括号内填写理由。已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形。求证：AC，BD A D B C 证明：四边形 ABCD 是平行四边形（ ）ADBC，ABCD（ ）AB
5、180，BC180（ ）A180B，C180B（ ）AC（ ）同理，可证BD答案依次为：已知；平行四边形对边平行；两直线平行，同旁内角互补；等式性质；同角的补角相等5. 尺规作图：如图，已知直线 BC 及其外一点 P，利用尺规过点 P 作直线 BC 的平行线。（用两种方法，不要求写作法，但要保留作图痕迹）P P B B C C 方法一：作同位角相等 P B C E Q A D 作法：（1）过 B 点作直线 BP；（2）以 B、P 为圆心，任意长为半径作弧交 BP 于 A、E，交 BC 于 D；（3）以 E 为圆心，AD 长为半径作弧交上弧于 Q；（4）连结 PQ。方法二：基本步骤同作法一，作内
6、错角相等即可。 P B C Q 4. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 1805. 三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。6. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。例题1. 如图，直线 ABMN，分别交直线 EF 于点 C、D，BCD、CDN 的角平分线交于点 G，求CGD 的度数。 E A C B G M D N F 1 2解：ABMN（已知）BCDCDN180（两直线平行，同旁内角互补）CG、DG 是角平分线 ， （ 角 平 分 线 定 义 ）1221BCDN129012CGD180（三角形内角和等于 180）CGD902. 如图，在 RtABC 中，CD 是斜边
7、AB 的高，求证：BCDA C A D B 证明：RtABC（已知）AB90（直角三角形两锐角互余）CDAB（已知）CDB90BCDB90（直角三角形两锐角互余）ABCD（同角的余角相等）3. 如图，在ABC 中，B、C 的平分线相交于点 P，BPC130，求A。 A P 1 2 B C 解：12BPC180（三角形内角和等于 180）BPC1301250BP、CP 是角平分线ABC21，ACB22ABCACB100ABCACBA180A80【模拟试题】一. 填空题1. 如图所示，已知 AB/CD，AD 和 BC 相交于点 O，若 AC4258， ，则AOB_。2. 如图所示， 123804，
8、 ， 那 么 _。3. 如图所示，ABCDEBCFAD3640， ， 于 ， 则/_。4. 如图所示，AB/CD， 1531402， ， _。5. 一个三角形三个内角的比是 1：2：3，那么这个三角形是_三角形。6. 一个三角形的三个外角的度数比为 2：3：4，则与此对应的三个内角的比为_。7. 如图所示，在ABC 中，BF 平分 ABC，CF 平分 BA， 65，则BFC_。A F B C 8. “同角的余角相等”的题设是_，结论是_。9. 如图所示，AB/CD， 175245， ， 则 A_。 D C 1 2 A B 10. 如图所示，AB/EF/CD，且 BD1， ，则 BED 的度数为
9、_。11. 如果一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_。12. 过ABC 的顶点 C 作 AB 的垂线，如果这垂线将 ACB分为 40和 20的两个角，那么 AB、 中较大的角的度数是_。13. 三角形三内角的度数之比为 1：2：3，最大边边长是 8cm，则最小边长是_。二. 选择题14. 下列语句中，是命题的为（ ）A. 延长线段 AB 到 CB. 垂线段最短C. 过点 O 作直线 a/bD. 锐角都相等吗15. 下列命题中是真命题的为（ ）A. 两锐角之和为钝角B. 两锐角之和为锐角C. 钝角大于它的补角D. 锐角大于它的余角16. “两条直线相交，有且只有
10、一个交点”的题设是（ ）A. 两条直线B. 交点C. 两条直线相交D. 只有一个交点17. 如果 AB和 的两边分别平行，那么 A 和 B 的关系是（ ）A. 相等B. 互余或互补C. 互补D. 相等或互补18. 三角形三边长分别为 3， 12a，8，则 a 的取值范围是（ ）A. 6aB. 52C. 或D. a19. 三角形的一个外角等于与它不相邻的内角的 4 倍，等于与它相邻的一个内角的 2 倍，则三角形各角的度数为（ ）A. 45，45，90B. 30，60，90C. 25，25，130D. 36，72，7220. 如图所示， ABEFCDF， ， 130，那么与 FCD相等的角有（ ）
11、A. 1 个 B. 2 个C. 3 个 D. 4 个21. 下列四个命题中，真命题有（ ）（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等。（2）如果 2和 是对顶角，那么 1= 2。（3）一个角的余角一定小于这个角的补角。（4）如果 1 和 3 互余， 2 与 3 的余角互补，那么 1 和 2 互补。A. 1 个 B. 2 个C. 3 个 D. 4 个22. 如图所示， B= C，则 ADC 与 AEB 的大小关系是（ ）A. ADEBB. C. D. 大小关系不能确定23. 如图所示，AD 平分 CAE， B=30， CAD=65， ACD=（ ）A. 50 B. 65C. 80 D. 95三.
12、 解答题24. 如图所示， 1= 2，AE/BC，求证：ABC 是等腰三角形。25. 如图所示，BF/DE， 1= 2，求证：GF/BC。26. 如图所示，已知 AB/CD，FH 平分 EFD， FGHAEF， 62，求 GFC 的度数。27. 已知，如图所示，直线 AB/CD， AEPCFQ。求证： EPM= FQM。28. 求证：两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行（作图，写出已知，求证，证明） 。29. ABC 中，BE 平分 ABC，AD 为 BC 上的高，且 ABC=60， BEC=75，求DAC 的度数。30. 探索题如图所示， XOY=90，点 A、B 分别在射线
13、OX，OY 上移动，BE 是 ABY 的平分线，BE 的反向延长线与 OAB 的平分线相交于点 C，试问 ACB 的大小是否变化，如果保持不变，请给出证明，如果随点 A、B 的移动变化，请给出变化范围。【试题答案】一. 填空题1. 80 2. 80 3. 53204. 75 5. 直角 6. 5：3：17. 122.58. 两个角是同一个角的余角，这两个角相等。9. 60 10. 90 11. 9012. 70 13. 4cm二. 选择题14. B 15. C 16. C 17. D 18. B19. B 20. B 21. C 22. B 23. C三. 解答题24. 解：AE/BC（已知）
14、2=C（两直线平行，内错角相等）1=B（两直线平行，同位角相等）1=2（已知）B=C（等量代换）AB=AC，ABC 是等腰三角形（等角对等边）25. 解：BF/DE（已知）2=FBC（两直线平行，同位角相等）2=1（已知）FBC=1（等量代换）GF/BC（内错角相等，两直线平行）26. GFC=5927. 证明：AB/CD（已知）AEF=CFM（两直线平行，同位角相等）又PEA=QFC（已知）AEF+PEA=CFM+QFC（等式性质）即PEF=QFMPE/QF（同位角相等，两直线平行）EPM=FQM（两直线平行，同位角相等）28. 证明：已知，AB/CD，PQ 分别交直线 AB、CD 于点 E、F，且 EG 平分AEP，HF 平分CFE，求证：GE/HF。证明：AB/CD（已知）AEP=CFE（两直线平行，同位角相等）EG 平分AEP，HF 平分CFEPEGAEFHC1212，（ 等 量 代 换 ）GE/HF（同位角相等，两直线平行）29. 解：BE 平分 ABC，且 ABC=60BEC30BEDA18759015又 30. 解：不变 EBA 是ABC 的一个外角 EBA= C+ CAB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）CEBAYOBA12129045()
