1、二元一次方程组专题复习目标：1 二元一次方程组的相关概念及解法2 掌握灵活运用代入消元法和加减消元法的基本思想，将“未知”转化为“已知”，把复杂的问题转化为简单问题的化归思想。3 能应用二元一次方程组解决实际问题。重点：1 能根据题目灵活选择消元法来求解二元一次方程组。2 探索用二元一次方程组解决有关的应用题。难点：分析题目中蕴含的数量关系。过程：一 知识结构图运 用 方 程 组 解 决 实 际 问 题 的 一 般 过 程二 元 一 次 方程 组 的 解 法二元一次方程组二元一次方程丰富的问 ?题情境 ?二 具体知识点复习1.二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1
2、的整式方程叫做二元一次方程理解二元一次方程时特别强调注意：二元一次方程左右两边的代数式必须是整式，二元一次方程必须含有两个未知数。2.二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解。在任何一个二元一次方程中，如果把其中的一个未知数任取一个数，都可以通过方程求得与之对应的另一个未知数的值。因此，任何一个二元一次方程都有无数解。3. 二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解4二元一次方程组的解法：（1） 代入消元法 （2）加减消元法代
3、入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法5.解决实际问题的过程：（1）审：审题，分析题中已知什么，求什么，理顺各数量之间的关系； （2）设：设未知数（一般求什么，就设什么为 x、y，设未知数要带好单位名称）； （3）找：找出能够表示应
4、用题全部意义的两个相等关系；（4）列：根据这两个相等关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列方程组，得未知数的值；（6）答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案（包括单位名称）。归纳为 6 个字：审，设，找，列，解，答。三 典例讲解例 1：判断下列方程是不是二元一次方程4).(2yx 22).(xyx6).3(y.46.5z81.x思路分析：判断一个方程是否是二元一次方程需满足以下几条要求含有两个未知数，未知项的次数是“1”，方程必须是整式方程。解：（1）不是，x 和 y 的次数都是 2 次，故不是。（2）是，经过化解变成了 2x-y=0，满足二元一次方程定义
5、。（3）不是， xy 的次数是 2；故不是。（4）是，经过化简为 x y0，即符合二元一次方程定义。（5）不是，含有三个未知数，同时未知项 次数为 2；故不是。（6）不是， 不是整式，像这样分母中含有未知数的方程都不属于二yx1,元一次方程。点评：要判断一个方程是不是二元一次方程要把它化解后是不是满足二元一次方程的定义。练习：判断下列方程是不是二元一次方程，并说明理由。（1） （2） （3）52yx6xy82yx（4） (5) (6) 11例 2.已知二元一次方程组 45axby 的解是 21xy,则 a+b 的值为_。思路分析：根据方程组的定义，把 x=2，y=1 代入方程组，转化为关于a、
6、b 的方程组，解出 a 与 b 的值，问题就解决了，也可应用整体思想，直接求出 a+b 的值。解：把 x=2，y=1 代入原方程组，得 24(1)5ab (1)+(2)得 3(a+b)=9，a+b=3点评：观察 24(1)5ab特点联系所求的问题，没必要求出 a,b 的值，而直接将（1）和（2）相加，提出公因数即可建立与问题相关的式子，从而使问题简单。这一类问题可以将问题与条件结合运用整体思想即可解决。练习：（1）已知 是方程组 的解，求 的值。10yx2byxaba（2）已知二元一次方程组 的解也满足方程组 ，试523154yx求 a、b 的值例 3 解方程组10625yx思路分析：由于-6
7、y 和-6y 相等，它们的差为 0，所以将两个方程左、右两边分别相减就可以消去 y，得 3x=-9,解得 x=-3,把 x=-3 代入（2），得 y=- 8/3.解： （1）-（2），得 3x=-9,得 x=-3，把 x=-3 代入（2），得 2 X (-3)-6y=10,得得 y=- 8/3，即原方程组的解 38yx点评：当二元一次方程组中的同一个未知数系数相等时两式相减；当系数互为相反数时两式相加，就可以消去这个未知数，从而转化成一元一次方程。练习：解方程组（1） （2）24618yx105623yx例 4 鸡兔同笼：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四只足，问鸡兔各几何？思路分析：首先
8、要读懂这首诗，问题问的是鸡兔各有多少只，再分析题目，一只鸡一个头，一只兔子一个头，那么 35 个头说明鸡和兔子的总数是 35 只，一只鸡 2 条腿，一只兔子 4 条腿，那么 94 条腿说明鸡和兔子的腿的总数时 94条，从而确定等量关系建立方程求解。解：设鸡有 x 只，兔子有 y 只，根据题意列方程有解得94235y123x答：鸡有 23 只，兔子有 12 只。点评：分析问题读懂题意是解决问题的关键。例 5：出租车收费标准为行程不超过 3 千米受起步价若干元，超过部分每千米多收若干元，某天老李第一次乘坐了 8 千米，花去 12 元，第二天乘坐了11 千米，花去 15.6 元，问出租车的起步价是多
9、少元？超过 3 千米后每千米多少元？思路分析：等量关系是起步价+超过后的费用= 总费用解： 设出租车的起步价为 x 元，超过 3 千米后每千米 y 元。根据题意列出方程组，得 解得这个方程组，得2.16)3(8yx 2.16x答：出租车的起步价是 6 元？超过 3 千米后每千米 1.2 元。点评：不能认为老李第一次乘了 8 千米花去 12 元就是起步价。而应该两次都按上面的等量关系来列方程。也就是两个方程都用同一个等量关系来列方程组。例 6 甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板为获得利润，决定将甲服装按 50%的利润定价，乙服装按 40%的利润定价，在实际出售时，顾客要求，两件衣服均
10、9 折出售，这样商店共获利 157 元。求服装的成本各是多少元？思路分析：题中隐含两个等量关系，第一个等量关系是：两件衣服的成本共为 500 元，等二个等量关系为：售价=成本+利润。解： 设甲、乙两件衣服的成本分别是 x 元、y 元。根据题意，得1570%9)401()5(yxy解得这个方程组，得 23答：甲、乙两件衣服的成本分别是 300 元、200 元。点评：题中利用的等量关系有两个。售价=成本+利润；实际售价=售价X（打折数 X10%）。练习：（1）一台微波炉的成本是 a 元，销售价比成本多 20%，因库存积压严重，按销售价的 80%出售，则每台的实际售价为（ ）A a(1+22%)(1
11、+80%)元 B 80%a(1+22%)元C a(1+22%)(1-80%)元 D a(1+22%+80%)元 （2） 某工厂年产值为 150 万元，如果每增加 100 万元的投资，一年可增加产值 250 万元，设总产值为 y 万元，新增加的投资为 x 万元，则 x、y 之间的关系为_。（3）某商场购进甲、乙两种服装，都加价 40%的标价出售，春节期间商场搞优惠活动促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的 8 折合 9 折出售。某顾客购买甲、乙两种服装共付款 182 元，两种服装的标价之和为 210 元。问这两种服装的进价和标价各是多少元？例 7：小华到银行以两种形式分别存了 2000 元和 1
12、000 元，一年后全部取出，扣除利息后所得税后可得到利息 43.92 元，已知这两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：利息所得税=利息全额20%）。分析：利率问题：利息=本金利率时间。解：设 2000 元、1000 元的年利率分别为 x%和 y%，则根据题意，得方程组。解方程组，得 9.025yx答：2000 元的年利率为 2.25%，1000 元的年利率为 0.99%。点评：强调如果是教育储蓄不扣利息税.例 8 某公司有 A、B、C 三种型号的电脑，其价格为：A 型每台 6000 元，B型每台 4000 元，C 型每台 2500 元。某中学计划将 10050
13、0 元全部用于从该公司购买其中两种型号的电脑共 36 台。请你设计几种不同的方案供学校参考选择，并说明理由.思路分析：本题是因为三选二，所以要考虑分类思考。只能选其中的两种。而这两种的台数之和为 36 台，并且走售价为 100500，从而确定等量关系建立方程。解：方案一 ：可设 A 型电脑 x 台，B 型电脑 y 台。根据题意，得解得 （舍去）1054603yx75.21y方案二： 设 A 型电脑 m 台，C 型电脑 n 台，根据题意可得解得2nm3方案三： 设 B 型电脑为 p 台，C 型电脑为 q 台，根据题意有解得10524036qp297qp所以：不能买 A、B 型电脑，可以购买 A、
14、C 两种型号的电脑：A 型 3 台，C型 33 台；可以购买 B、C 两种型号的电脑：B 型 7 台，C 型 29 台。点评：共有三种不同的购买方案可供选择，即购买 A、B 型号，可购买A、C 型号，B、C 型号，然后逐一进行分析，得出与实际问题相符的结论。练习：（1）北京和上海都有某种仪器可供外地选购，其中北京有 10 台，上海有 4 台。已知重庆要 8 台，武汉要 6 台。从北京将仪器运往重庆需 800 元/台，运往武汉需 400 元/台；从上海将仪器运往重庆需 500 元/台，运往武汉需300 元/台。有关部门计划用 8000 元运送这些仪器，请你设计一种方案，使重庆、武汉能得到需要的仪
15、器，而且运费正好够用。（2）某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价格分别为甲种 1500 元/台，乙种 2100 元/台，丙种 2500 元/台。（1）如果商场同时购进其中两种不同型号的电视机共 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案；（2）如果商场销售一台甲种电视机可获利 150 元，销售一台乙种电视机可获利 200 元，销售一台丙种电视机可获利 250 元，在同时购进两种不同型号的电视机的方案，为使销售时获利最多，该选择哪种进货方案？例 9：项王故里的门票价格规定如下：150 人每人门票 5 元，51100 人每人门票
16、4.5 元，100 元以上每人门票 4 元。某校初一甲、乙两个班共103 人（其中甲班人数多于乙班人数）去游项王故里，如果两个班都以班为单位购票，一共需付 486 元。（1）如果两个班联合起来，作为一个团体，则可以节约多少钱，（2）两个班各有多少学生？思路分析：本题根据学生总人数和花去门票费用可以建立两个等量关系建立方程组求解两个班各有多少人。解：（1）根据题意有 元，486-412=74 元 41203所以可以节约 74 元。（2）设甲班有 x 人，乙班 y 人，根据题意有 4865.103yx解得 458y答：甲班有 58 人，乙班有 45 人。 练习(1)甲、乙两个团体共 100 人去风
17、景区旅游，风景区规定超过 60 人的团体可购买团体票，已知每张团体票比个人票优惠 20%，而甲、乙两个团体的人数都不足 60 人，而两个团体合起来则优惠 160 元，那么团体票每张多少元？总结：由二元一次方程或二元一次方程组的解法，求方程或方程组中的字母系数，是大部分省市中考的热点，主要以填空题或选择题的题型出现，它既考查了方程或方程解的定义，又考查了二元一次方程组的解法。列二元一次方程组解简单的应用题，是每年中考中几乎不可缺少的题目，主要根据当前各种形式进行命题，对二元一次方程组的应用的考查以解答题居多，难度不大。同时也是期中期末考试前的经典复习资料。过关测验一、 选择题：1、二元一次方程
18、27xy的正整数解有（ ）个。A. 1 B. 2 C. 3 D. 42、如果方程组 的解是 的一个解，则 m 的值为（ ）。95yx3myxA 1 B 2 C 3 D 43、如果 是方程组 的解，则（a+b）(a-b)的值为（ ）.YX71aybxA B C -16 D 16534、今年甲的年龄是乙年龄的 3 倍，6 年后甲的年龄就是乙的年龄的 2 倍，则甲今年的年龄是（ ）。A 15 岁 B 16 岁 C 17 岁 D 18 岁5、一种蜂王精有大小两种包装，3 大盒 4 小盒共装 108 瓶，2 大盒 3 小盒共装76 瓶，大盒与小盒各装多少瓶？A. 大盒装 20 瓶，小盒装 12 瓶 B.
19、 大盒装 21 瓶，小盒装 12 瓶 C. 大盒装 20 瓶，小盒装 15 瓶 D. 大盒装 22 瓶，小盒装 12 瓶6、用加减消元法解方程组 2310xy时，有下列四种变形，正确的是（ ）A. 41960xy B. 6320xy C. 462930xy D. 693410xy二、填空题 。的 值 是那 么满 足 方 程 组、 已 知 3275643,1 yaxyaxyx 2、一台彩电的进价为 1600 元，原标价为 2200 元，因市场原因对此商品调价，使商品利润率保持 10%，那么在原标价的基础上打 折。3、诗词“而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个是十位正两倍”。问周瑜的
20、年龄是 。4、已知 是二元一次方程组 的解，求 的值 1ymxnyx4235206)(nm。三、计算题（1） 14xy（2） 120346xy四、简答题1、已知 a+b=9,a-b=1,求 的值。ab)(222、已知方程组 试探究 m，n 取何值时，使方程组：ymx9（1）有惟一解；（2）有无数解；（3）无解。五、综合应用题1、甲、乙两车分别以均匀的速度在周长为 600 米的圆形轨道上运动。甲车的速度较快，当两车反向运动时，每 15 秒钟相遇一次，当两车同向运动时，每 1 分钟相遇一次，求两车的速度？2、某运输队送一批货物，计划 20 天完成，实际每天多运送 5 吨，结果不但提前 2 天完成并
21、多运了 10 吨，求这批货物有多少吨？原计划每天运多少吨？3、安排 28 人去车间生产某种螺栓和螺母，已知每人每天能生产螺栓 12 个或螺母 18 个，为了合理分配劳动力，使生产的产品配套（一个螺栓套两个螺母），应该怎样分配？4、某校 2008 年秋季七年级和高一年级招生总数为 500 人，计划 2009 年秋季七年级招生数增加 20%，高一年级招生数增加 15%，这样 2009 年秋季招生总数比 2008 年将增加 18%，求 2009 年秋季七年级、高一年级计划招生数各为多少？5、某车间有甲、乙两种硫酸溶液，质量分数分别为 90%和 70%，现将两种溶液混合配成质量分数为 80%的硫酸溶液 500 千克，问：甲、乙两种溶液各取多少千克？
