1、初一数学有理数综合复习冀教版【本讲教育信息】一、教学内容：有理数综合复习1. 理解有理数及其分类，并能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小2. 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值3. 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算，理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算4. 能运用有理数及其运算解决简单的实际问题二、知识要点：1. 基本概念（1）有理数从数的正负性来分，有理数可以分为：正数、负数和零；从一个数是否为整数来分，可以分为：整数和分数如果将上述两个标准结合起来分类，有理数则可以分为：正整数、正分数、负整数、负分数和零（2）数轴数轴是我们认识数、研
2、究数的一个重要手段，它建立了数和直线上的点的对应关系，为研究数与形的问题拓展了新的思路，即可以借助图形的帮助来研究数的有关问题数轴有三大要素：原点、单位长度和正方向任何一个有理数在数轴上都有唯一的一个点和它对应（3）相反数相反数的特征：若 a 与 b 互为相反数，那么 a b0，反之，若 a b0，那么 a 和 b互为相反数从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点分别在原点的两旁，并且到原点的距离相等 a 的相反数是 a，0 的相反数是 0反之， a 的相反数是 a，即有（ a） A. （4）倒数倒数的特征：如果 a、 b 互为倒数，那么 ab1，反之亦然0 没有倒数（5）绝对值一个数的绝对值
3、，从数轴上看，就是这个数所对应的点到原点的距离即如果数 a 在数轴上的对应点是 A，那么，点 A 到原点 O 的距离就是 a 的绝对值，记作 a因此， a 绝对值具有这样的性质：对于任意的数 a，它的绝对值不小于a， 当 a 0时 ； a， 当 a 0时 )0，即 a02. 基本运算（1）运算的法则任何运算都是按照一定规则进行的在将非负数扩大到有理数后，有理数计算规则的制定应当使原来的运算律仍然适用，应当使新的规则用到原来的非负数上时，与原来计算规则运算的结果相同运算法则必须对所有可能的运算情况进行说明，同时，因为一个有理数由符号和绝对值两部分组成，因此，运算法则还应从符号和绝对值的确定两个方
4、面来说明有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为 0，绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同 0 相加，仍得这个数有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与 0 相乘，积为 0减法法则可用加法法则来规定： a b a（ b） 除法可转化为乘法来计算： ab a （其中除数不能为 0） 1b这里， “同号” 、 “异号”用符号表达是简洁的：如果 ab0，则 a、 b 同号，反之亦然；如果 ab0，则 a、 b 异号，反之亦然； ab0，有两种情况： a0， b0；和a0， b0
5、； ab0 也有两种情况： a0， b0 和 a0， b0正如连加可以用乘法来简化计算一样，连乘可以用乘方来表示乘方的意义： an （ n 为正整数） 其中当 a0 时， an0；当 a0 时， a个 an0；当 a0 时，若 n 为奇数， an0，若 n 为偶数， an0（2）运算律运算是整个代数的基础与核心，灵活运用运算律是正确、顺利、快速解决问题的法宝有理数的主要运算律有：加法交换律： a b b a；乘法交换律： ab ba；加法结合律： a（ b c）（ a b） c；乘法结合律： a（ bc）（ ab） c；加法对乘法的分配律： a（ b c） ab aC. 3. 运算的顺序进行有
6、理数的运算时，要遵循先乘方，再乘除，最后加减；对于同级运算，一般按从左到右的顺序进行；如果有括号的，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行三、重点难点：重点：有理数的混合运算，要正确理解和应用法则，适当运用运算律简化运算加法和乘法法则（着重是符号法则）先确定符号，然后进行绝对值的运算；减法与除法则主要是向加法与乘法转化难点：要从两个方面理解绝对值的意义：借助数轴理解它的意义；由定义求具体数的绝对值的方法四、考点分析：本部分所学习的内容是初中数学代数部分的基础内容，也是历年中考的必考内容单独考查本章知识的题型大多数为选择题、填空题分值不高，主要包括基本概念、有理数的运算、有理数大小比
7、较等，其中有理数运算、大小比较等内容有时也出现在解答题中【典型例题】例 1. （1）已知有理数 a、 b 在数轴上对应点如图所示，则下列式子正确的是（ ）A. ab0 B. a b C. a b0 D. a b01-1（2）比较 ， ， 的大小，下列选项中正确的结果是（ ）12 13 14A. B. 12 13 14 12 14 13C. D. 14 13 12 13 12 14分析：（1）由数轴上 a、 b 对应点的位置可知 0 a1， b1，故 a、 b 异号，即ab0，否定 A 选项；又 a1， b1，即 a b，选项 B 错误；因为a0 b，所以 a b0，选项 C 正确；由 a b且
8、 a0， b0，得 a b0，选项D 错误 （2）因为正数大于一切负数，所以三个数中 最大又因为14 ， ， ，所以 ，即 12 12 36 13 13 26 12 13 12 13 12 13 14解：（1） C（2） A评析：借助数轴可以加深对绝对值等知识的理解，使用数轴比较有理数的大小更直观例 2. 计算：（1）93（ ）123 2；12 23（2） （9） （18） ；713 713 713（3）69 81516分析：（1）中涉及有理数的加、减、乘、除与乘方，用运算法则进行运算，其中可以运用分配律简化运算， （ ）12 12 12682；（2）中各部分含有相同12 32 12 23因数
9、 ，所以可想到逆用分配律计算；（3）题先确定符号，然后把绝对值 69 化成713 1516（70 ）再与 8 相乘比较简便116解：（1）93（ ）123 212 233 12 12912 2336894（2） （9） （18）713 713 713 （9181）713 （26）71314（3）69 81516（70 ）8116（708 8）11655912评析：在进行有理数的计算时，切记要灵活在拿到题目之前先要看看题目的特点，选择恰当的运算性质，尤其是分配律的正向和反向应用正确应用运算律会起到事半功倍的效果例 3. 若 ab0，则 的取值不可能是（ ） aa bbA. 0 B. 1 C. 2
10、 D. 2分析：本题可利用分析的方法考虑因为 ab0，所以 ab0 或 ab0若 ab0，则可能有两种情况： a0， b0 或 a0， b0当 a0， b0 时， 112； aa bb当 a0， b0 时， 112； aa bb若 ab0，则可能有两种情况： a0， b0 或 a0， b0当 a0， b0 时， 110； aa bb当 a0， b0 时， 110 aa bb可能出现的结果有 0，2，2，所以应选 B. 解： B评析：将有理数的基本概念及运算结合，综合考虑注意分类思想在解题中的应用例 4. 一条小虫沿一根东西方向放着的长杆向东以 2.5 米/分的速度爬行 4 分钟后，又向西爬行
11、6 分钟问此时它距出发点的距离是多少？分析：我们一般规定向东为正，即向东速度为 2.5 米/分；向西为负，即向西速度为2.5 米/分解：设向东速度为 2.5 米/分，向西为2.5 米/分2.54（2.5）610155（米）答：它在距出发点西边 5 米的地方评析：本题是一道有理数乘法与数轴知识综合运用的应用题，可以利用数轴的直观性使问题变得简单例 5. 有以下两个结论：任何一个有理数和它的相反数之间至少有一个有理数；如果一个有理数有倒数，则这个有理数与它的倒数之间至少有一个有理数则（ ）A. ，都不对 B. 对，不对C. ，都对 D. 不对，对分析：中的说法我们可以想象在一条数轴上原点的两边如1
12、，2，这样的两个非零有理数之间存在“间隙” ，也就是说它们之间一定有另外的有理数但是 0 的相反数是 0，0 和它的相反数 0 之间就没有“间隙”了，所以错；中按照的分析方法，如果一个数的倒数等于它本身，那么说法就是错的，我们知道 1 的倒数是 1，1 的倒数是1，显然这种说法也不对解： A评析：此题非常巧妙地考查了有关相反数和倒数的知识，解决这类问题时要先考虑普通数，再考虑特殊数，如 0，1，等这一章有不少是用特殊值解答的题，要求同学们把几项特殊值牢固地装在心里，如：绝对值最小的数是 0；最小的自然数是 0，最小的正整数是 1，最大的负整数是1，倒数等于本身的数是 1 和1，相反数等于本身的
13、数是 0；互为相反数的两个数的和是 0，互为倒数的两个数的积是 1 等例 6. 23，3 3和 43分别可以按如图所示方式“分裂”成 2 个、3 个和 4 个连续奇数的和，63也能按此规律进行“分裂” ，则 63“分裂”出的奇数中最大的是（ ）A. 41 B. 39 C. 31 D. 29 43157937235分析：观察数字排列规律发现：一个数能“分裂”成的奇数中最大的那个奇数在最下面，且这个奇数与这个数的关系是：5231；11341；19451；那么63能“分裂”出的最大的奇数应是：67141解： A评析：解此类题要认真观察、分析、探究数字的排列规律，找出所求数字的位置的有关数据【方法总结
14、】1. 在运用分类思想讨论有理数时要注意有特殊地位的数“0” 绝对值是一个重要概念，在求一个具体数的绝对值时，要运用分类思想2. 运用数形结合思想，借助数轴可以帮助对关于绝对值、有理数大小的比较等问题的理解及解答【模拟试题】 （答题时间：60 分钟）一. 选择题1. 小怡家的冰箱冷藏室温度是 5，冷冻室的温度是2，则她家冰箱冷藏室温度比冷冻室温度高（ ）A. 3 B. 3 C. 7 D. 72. 如果3 吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出 5 吨大米表示为（ ）A. 5 吨 B. 5 吨 C. 3 吨 D. 3 吨3. 4等于（ ）A. 2 B. 2 C. 4 D. 44. 如果 a 与 2
15、的倒数互为相反数，那么 a 是（ ）A. 2 B. 2 C. D. 12 125. 计算（2） 3所得结果是（ ）A. 6 B. 6 C. 8 D. 86. 如果 a a，下列成立的是（ ）A. a0 B. a0 C. a0 D. a0*7. 下列说法正确的是（ ）A. 23等于 23 的积B. 有理数分为正有理数和负有理数C. 一个数的平方是它本身，则这个数是 1D. 3 2和（3） 2是互为相反数8. 计算（2） 11（2） 10的值是（ ）A. 2 B. （2） 21 C. 0 D. 2 10*9. 有理数 a、 b 在数轴上的对应的位置如图所示：则（ ） 1-1abA. a b0 B.
16、 a b0 C. a b0 D. a b010. 如图，两温度计读数分别为我国某地今年 2 月份某天的最低气温与最高气温，那么这天的最高气温比最低气温高（ ）A. 5 B. 7 C. 12 D. 12二. 填空题1. 2008 年 7 月 1 日是星期二，那么 2008 年 7 月 16 日是星期_2. 在数8.3、4、0.8、 、0、90、 、24中，15 343_是正数，_不是整数3. 的倒数的绝对值是_534. 用“” 、 “” 、 “”号填空：（1）0.02_1； （2） _ ；45 34（3）（ ）_（0.75） ；34（4） _3.142275. 计算：（1） 2008_；（1）
17、20092 23 3_6. 奥运会体操比赛中，十名裁判为某体操运动员打分如下：10、9.7、9.85、9.93、9.6、9.8、9.9、9.95、9.87、9.6，去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余 8 个分数的平均分即为该运动员的得分，则此运动员的得分是_*7.一个数的平方恰好等于这个数的相反数，则这个数为_*8. 如图，按英语字母表 A， B， C， D， E， F， G， H，的顺序有规律排列而成的鱼状图案中，字母“ G”出现的个数为_ DBC三. 解答题 1. 列式计算：（1）4、5、7 三个数的和比这三个数绝对值的和小多少？（2）从1 中减去 ， ， 的和，所得的差是多少？512
18、78 342. 计算下列各题（1） （ ）34 59 712 136（2） （ ）（4） 279 23 15（3）1 21 （12）6 2（ ） 337 74（4）13599（24698） 3. 某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位： km）依先后次序记录如下：9、3、5、4、8、6、3、6、4、10（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发地多远？在鼓楼的什么方向？（2）若每千米的价格为 2.4 元，司机一个下午的营业额是多少？*4. 已知 x14， （ y2） 24，求 x y 的值*5. 如果规定符号“”的意义是 a b ，求 2（3）
19、4 的值aba b试题答案一. 选择题1. C 2. A 3. D 4. C 5. C 6. D 7. D 8. D 9. A 10. C二. 填空题1. 三 2. 8.3 、90；8.3 、0.8、 、 3. 4. （1） （2） （3）15 343 35 （4） 5. 1；22 6. 9.825 7. 0，1 8. 13三. 解答题1. （1） 18267)5(4|)7|5|4( （2）1（ ）1（ ）512 78 34 4924 25242. （1）26（2） （3） （4）原式803123456979899（1）4999503. （1）0 km，就在鼓楼；（2）139.2 元4. 由 x14， （ y2） 24 可得： x14， y22即 x3 或 x5； y0 或 y4，当 x3，若 y0，则 x y3；若 y4，则 x y1；当 x5 时，若 y0，则 x y5；若 y4，则 x y9所以 x y 的值有四个：3 或1 或5 或95. 2*（3） 6 6*4 2.42（ 3）2 （ 3） 646 4
