1、阶段质量检测(二) 柯西不等式与排序不等式及其应用(时间：90 分钟，满分 120 分)一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分)1已知 a，b 均为正实数，且 a2b10，则 a2b 2 的最小值为( )A5 B10C20 D 302已知 x0，y 0，且 4x3y 12，则 xy 的最大值是( )A1 B2C3 D 43函数 ylog 2 (x1) 的最小值为( )(x 1x 1 5)A3 B3C4 D 44设 x1，x 2，x 3 取不同的正整数，则 m 的最小值是( )x11 x24 x39A1 B2C. D.116 49365已知(x1) 2(y 2) 24.
2、则 3x4y 的最大值为( )A1 B10C11 D 216已知不等式(xy) a 对任意正实数 x，y 恒成立，则实数 a 的最大值为( )(1x 1y)A2 B4C. D 1627已知 x3y5z6，则 x2y 2z 2 的最小值是( )A. B.65 635C. D 636358已知 3x22y 22，则 3x 2y 的取值范围是( )A0， B ，05 5C ， D 5,510 109设 a，b，c 为正数，ab4c1，则 2 的最大值是( )a b cA. B.5 3C2 D.33210若 a0，b0 ，c0 ，且 a(abc )bc42 ，则 2abc 的最小值为( )3A. 1
3、B. 13 3C2 2 D 2 23 3二、填空题(本大题共有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)11函数 y2 的最大值是_2 x 2x 312(湖南高考)已知 a，b，cR，a2b3c6，则 a24b 29c 2 的最小值为_13已知 x22y 21，则 x2y41 的最大值是_14函数 y 2 的最大值是_x 5 6 x三、解答题(本大题共有 4 小题，共 50 分)15(本小题满分 12 分)设 a，b，cR ，求证： .1a3 b3 abc 1b3 c3 abc 1c3 a3 abc 1abc16(本小题满分 12 分)已知 x22y 23z 2 ，求 3x2yz 的最小值18
4、1717(本小题满分 12 分)( 福建高考 )已知定义在 R 上的函数 f(x)| x1|x2|的最小值为 a.(1)求 a 的值；(2)若 p，q，r 是正实数，且满足 pqra，求证：p 2q 2r 23.18.(本小题满分 14 分)设非负实数 1， 2， n满足 1 2 n1，求 y n 的最小值22 1 22 2 22 n答 案1选 C 根据柯西不等式有(a2b 2)(12 2)(a2b) 2100.a2 b220，当且 仅当 a 2 时取等号b22选 C 由 4x3y 2 ， 6，12xy 12xyxy3，故选 C.3选 B x1x 10，y log 2 (x 1x 1 5)lo
5、g2 log 2(26) log 283.(x 1 1x 1 6)4选 C 设 a1，a2，a3 是 x1，x2，x3 的一个排列且满足a1a 2a 3.a11，a 22，a 33，又 1 ，122 132x1 1 当且仅当 x11，x 22， x23 时取等号x24 x39 12 13 1165选 D (x1) 2(y 2) 2(324 2)3( x1) 4(y2) 2，即(3x 4y11) 2100.3x4y11 10,3x4y21.当且仅当 时取等号x 13 y 246选 B 因为(x y) (1 1) 24，当且仅当 xy1 时等号成立，(1x 1y)因此若不等式(xy) a 对任意正
6、实数 x，y 恒成立，则 a4，故 应选 B.(1x 1y)7选 C 由柯西不等式，得x2y 2z 2(1 23 25 2)(x2 y2z 2) (1x3y5z) 2 6 2 112 32 52 135 135当且仅当 x 时取等号3635 y3 z5 6358选 C |3x2y | 3x2 2y2 32 22 10 3x2y .10 109选 B 1ab4c( )2( )2(2 )2a b c ( )2( )2(2 )2(121 21 2)13 a b c( 2 )2 ，a b c13( 2 )23，a b c即所求最大值为 .310选 D a(abc )bc (ab)(ac)42 ，3且
7、ab0，a c0，2ab c( ab) (ac)2 a ba c2 2 2( 1)(当且仅当 abac，即 bc 时等号成立)，4 23 3 12 32ab c 的最小值为 2 2，故 选 D.311解析：y 2 4 2x 2x 3 ， 22 14 2x 2x 3 3当且仅当 x 时取等号53答案： 312解析：由柯西不等式，得 (a24b 29c 2)(121 21 2)(a1 2b13c1) 236，故a24b 29c 2 12，从而 a2 4b29c 2 的最小值为 12.答案：1213解析：x 22y 21， x2y 2y 21.又 x2y41x 2y2y21，x2y2y2 3 ，(x
8、2 y2 y23 ) 127x2y41 1 .127 2627即 x2y41 当且仅当 x2y 2 时取等号2627 13x2y41 的最大 值是 .2627答案：262714解析：根据柯西不等式，知 y1 2 x 5 6 x 12 22 .x 52 6 x2 5答案： 515证明：设 abc0，则 a3b 3，a3 b3a 2ab 2ba 2bb 2aab(ab) ，同理：b 3c 3bc (bc )，c3a 3ac( ca) ， 1a3 b3 abc 1b3 c3 abc 1c3 a3 abc 1aba b abc 1bcb c abc1cac a abc .1a b c(1ab 1bc
9、1ca) 1abc16解：(x 22y 23z 2)32 22 (13)2 2(3x2yz) 2，(3x 2y 2 3z13)(3x2 yz )2(x 2 2y23z 2) 12.32 22 (13)2 2 3x2y z2 .3 3当且仅当 x ，y ，z 时 3x2yz 取最小值，最小 值为2 .9317 3317 317 317解：(1)因为| x1| |x2| |( x1) (x2)|3，当且仅当1x2 时，等号成立，所以 f(x)的最小值等于 3，即 a3.(2)由(1)知 pqr3，又因为 p，q，r 是正实数，所以(p 2q 2r 2)(121 21 2)( p1q1r1) 2(pqr) 29，即 p2q 2r 23.18解：为了利用柯西不等式，注意到(2 1) (2 2)(2 n)2n( 1 2 n)2n 1，所以(2n1) (12 1 12 2 12 n)(2 1)(2 2)(2 n)Error!Error! Error!Error!2 n2，所以 yn ，y n .2n22n 1 2n22n 1 n2n 1当且仅当 1 2 n 时等号成立，从而 y 有最小值 .1n n2n 1
