1、课时提升作业 二十二平面向量数量积的物理背景及其含义(15分钟 30 分)一、选择题(每小题 4分,共 12分)1.(2018商洛高一检测)在等腰ABC 中,BC=4,AB=AC,则 = B B( )A.-4 B.4 C.-8 D.8【解析】选 D.在等腰ABC 中,BC=4,AB=AC,则 =| | |cosB= |BC|2=8.BB B B 122.若|a|=2,| b|=4 且( a+b)a,则 a 与 b 的夹角是 ( )A. B. C. D.-23 3 43 23【解析】选 A.设 a 与 b 的夹角是 .因为|a|=2,|b|=4 且( a+b)a,所以(a +b)a=a2+ab=
2、22+24cos=0,所以 cos=- .12因为 0,所以 = .23【误区警示】求向量夹角时容易出现忽视夹角范围的错误,向量夹角的范围为0,.3.(2018嘉峪关高一检测)已知向量 a,b 为非零向量,(a -2b)a,(b-2a)b,则 a,b 的夹角为 ( )A. B. C. D.6 3 23 56【解析】选 B.设 a 与 b 的夹角为 .(a-2b)a,(b-2a)b;所以(a -2b)a=a2-2ab=0,(b-2a)b=b2-2ab=0.所以 a2=2ab,b2=2ab,所以 a2=b2,所以|a|=|b|,所以因为 0,所以 = .3所以 a,b 夹 角为 .3二、填空题(每
3、小题 4分,共 8分)4.已知|a|=2,| b|=4,ab=3,则(2a-3b)(2a+b)=_.【解析】原式=4a 2-4ab-3b2=44-43-316=-44.答案:-445.若|a|=1,| b|=2,c=a+b 且 ca ,则向量 a 与 b 的夹角为_.【解题指南】利用垂直条件,构造向量夹角公式.【解析】由 ca 得,a c=0,所以 ac=a(a+b)=0,即 a2+ab=0.设向量 a与 b 的夹角为 ,则 cos= =- ,0,所以向12量 a 与 b 的 夹角 = .23答案:23三、解答题6.(10分)(2018福州高一检测)已知非零向量 a,b 满足|a |=1,且(
4、a-b)(a+b)= . 34(1)求|b|.(2)当 ab=- 时,求向量 a 与 a+2b 的夹角 的值.14【解析】(1) 因 为(a- b)(a+b)= ,即 a2-b2= ,即|a| 2-|b|2= ,34 34 34所以|b |2=|a|2- =1- = ,故|b|= .34 3414 12(2)因为 |a+2b|2=|a|2+4ab+|2b|2=1-1+1=1,故|a+2b|=1.又因为 a(a+2b)=|a|2+2ab=1- = ,1212所以又 0,故 = .3【补偿训练】已知|a|= ,|b|=1.2(1)若 a,b 的夹角 为 45,求|a -b|.(2)若(a-b) b
5、,求 a 与 b 的夹角 .【解析】(1) 因 为 ab=|a|b|cos45= 1 =1,222所以|a-b|= = =1.( 2)221+12(2)因为 (a-b)b,所以(a -b)b=ab-b2= 1cos-1=0,2所以 cos= ,又因为 0,所以 = .22 4(15分钟 30 分)一、选择题(每小题 5分,共 10分)1.已知平面上三点 A,B,C,满足| |=3,| |=4,| |=5,则 +A B C A B + 的值等于 ( )B C C AA.-7 B.7 C.25 D.-25【解析】选 D.由条件知ABC=90,所以原式=0+45cos(180-C)+53cos(18
6、0-A)=-20cosC-15cosA=-20 -1545 35=-16-9=-25.【补偿训练】已知 e 为一单位向量,a 与 e 之间的夹角是 120,而 a在 e 方向上的投影为 -2,则|a|=_.【解析】因为|a |cos120=-2,所以|a| =-2,所以| a|=4.(-12)答案:42.(2018惠州高一检测)若 O为ABC 所在平面内任一点,且满足(- )( + -2 )=0,则ABC 的形状为 ( )OO O O OA.等腰三角形 B.直角三角形C.正三角形 D.等腰直角三角形【解析】选 A.因为( - )( + -2 )=0,OO OO O即 ( + )=0,又因为 -
7、 = ,C AA AA C所以( - )( + )=0,即| |=| |,AA AA A A所以ABC 是等腰三角形 .二、填空题(每小题 5分,共 10分)3.在ABC 中,A=60,AB=3,AC=2.若 =2 , =B DA - (R),且 =-4,则 的值为_.AA A A【解析】 =32cos60=3,AA= + ,A1323 =AA(13+23)()= 3+ 4-3-2=-4,3 23所以 = .311答案:3114.已知向量 a,b 的夹角为 120,且|a |=2,|b|=3,则向量 2a+3b 在向量 2a+b 方向上的投影为_. 【解析】向量 a,b 的夹角 为 120,且
8、| a|=2,|b|=3,所以|2a+3b| 2=4a2+12ab+9b2=16+12|a|b|cos120+81=61,|2a+3b|= .61又|2 a+b|2=4a2+4ab+b2=16+423cos120+9=13,所以|2a+b|= ,13则 cos=(2+3)(2+)|2+3|2+|= = ,1682312+276113 196113所以向量 2a+3b 在向量 2a+b 方向上的投影为|2a+3b|cos= = .611961 13191313答案:191313三、解答题5.(10分)如图,在ABCD 中, =a, =b, = , = . A A C13C23(1)用 a,b 表
9、示 .E(2)若|a|=1,| b|=4,DAB=60, 分别求| |和 的值.E A F【解析】(1) = - = -ECC2313=- +2313=- a+ b.23 13(2)因为 |a|=1,|b|=4,DAB=60,所以| |2=E= |b|2- ab+ |a|219 49 49= - 14cos60+ = .16949 4943所以| |= .E233 =(a+b)AF= |a|2+ ab- |b|223 13 13= + 14cos60- =-4.2313 163【补偿训练】已知|a|=1,| b|=4,且向量 a 与 b 不共线.(1)若 a 与 b 的夹角为 60,求(2a -b)(a+b).(2)若向量 ka+b 与 ka-b 互相垂直,求 k的值 .【解析】(1)|a|=1,|b|=4,a 与 b 的夹角为 60,即有 ab=14 =2,12(2a-b)(a+b)=2a2-b2+ab=21-16+2=-12.(2)由于 (ka+b)(ka-b),则(k a+b)(ka-b)=0,即有 k2a2-b2=0,则 k2-16=0,解得 k=4.
