1、5 二项式定理A 组1.(x+2)n 的展开式共有 12 项, 则 n 等于( )A.9 B.10C.11 D.8解析: (a+b)n 的展开式共有 n+1 项,而( x+2)n 的展开式共有 12 项, n=11.故选 C.答案:C2. 的展开式中 x2y3 的系数是( )A.-20 B.-5C.5 D.20解析:由已知,得 Tr+1= (-2y)r= (-2)rx5-ryr(0 r5,rZ ),令 r=3,得 T4= (-2)3x2y3=-20x2y3.故选 A.答案:A3.在(1+x) 6(1+y)4 的展开式中, 记 xmyn 项的系数为 f(m,n),则 f(3,0)+f(2,1)+
2、f(1,2)+f(0,3)=( )A.45 B.60C.120 D.210解析: (1+x)6 展开式的通项公式为 Tr+1= xr,(1+y)4 展开式的通项公式为 Th+1= yh, (1+x)6(1+y)4 展开式的通项可以为 xryh. f(m,n)= . f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)= =20+60+36+4=120.故选 C.答案:C4.已知 展开式的第 4 项等于 5,则 x 等于( )A. B.- C.7 D.-7解析:T 4= x4 =- x=-35x=5,所以 x=- .答案:B5.(2- )8 的展开式中不含 x4 项的系数的和为( )A.-1
3、B.0 C.1 D.2解析:采用赋值法,令 x=1,得(2- )8 的展开式的系数和为 1,x4 项系数为 20(-1)8=1,所以(2- )8的展开式中不含 x4 项的系数和为 0.答案:B6.设 a= sin xdx,则二项式 的展开式中的常数项等于 . 解析:a= sin xdx=(-cos x) =2,二项式 展开式的通项为 Tr+1= (2 =(-1)r26-r x3-r,令 3-r=0 得,r= 3, 常数项为(- 1)323 =-160.答案:-1607.已知(2x-3) 7=a0(x-1)7+a1(x-1)6+a6(x-1)+a7.(1)求 a0+a1+a2+a7;(2)求 a
4、0-a7.解(1)令 x=2,得 a0+a1+a2+a7=(4-3)7=1.(2)令 x=1,得 a7=(21-3)7=-1,x7 的系数 a0= 27(-3)0=128, a0-a7=129.8.(1)求(1 +2x)7 的展开式中第四项的系数;(2)求 的展开式中 x3 的系数及二项式系数.解(1)(1+2x) 7 的展开式的第 4 项为T3+1= (2x)3=280x3, (1+2x)7 的展开式中第四项的系数是 280.(2) 的展开式的通项为Tr+1= x9-r =(-1)r x9-2r.令 9-2r=3,r=3, x3 的系数为(-1) 3 =-84.x3 的二项式系数为 =84.
5、9.在 的展开式中,求:(1)第 5 项的二项式系数及第 5 项的系数;(2)倒数第 3 项.解(1)二项式 展开式的通项为 Tr+1= (2x2)8-r ,所以 T5= (2x2)8-4 24 ,则第 5 项的二项式系数是 =70,第 5 项的系数是 24=1 120.(2)展开式中的倒数第 3 项即为第 7 项,T 7= (2x2)8-6 =112x2.B 组1.若(1+ )5=a+b (a,b 为有理数), 则 a+b 等于 ( )A.45 B.55C.70 D.80解析:由二项式定理得(1+ )5=1+ ( )2+ ( )3+ ( )4+ ( )5=1+5 +20+20 +20+4 =
6、41+29 ,即 a=41,b=29,所以 a+b=70.答案:C2.(2016江西临川一中等九校联考) 二项式 的展开式的第二项的系数为- ,则x2dx 的值为 ( )A. B.3C.3 或 D.3 或-解析:二项展开式的第二项 T2= (ax)5 ,则由题意有 a5=- ,解得 a=-1,所以x2dx= x3 =- .答案:A3.(2016河南郑州一中联考)若在 的展开式中含有常数项,则正整数 n 取得最小值时的常数项为 ( )A.- B.-135 C. D.135解析: 的展开式的通项为 Tr+1= (3x2)n-r 3n-r x2n-5r,展开式中含有常数项需满足 2n-5r=0,即
7、n= ,rN .所以当 r=2 时,正整数 n 取得最小值为 n=5,此时常数项为,故选 C.答案:C4.(x2+2) 的展开式中的常数项是( )A.2 B.3 C.-2 D.-3解析:二项式 的展开式的通项为 Tr+1= (-1)r= (-1)rx2r-10,易知(x 2+2) 的展开式中的常数项为 (-1)4+2 (-1)5=3.答案:B5.若 的展开式中 x3 项的系数为 20,则 a2+b2 的最小值为 . 解析: 的展开式的通项为 Tr+1= (ax2)6-r a6-rbrx12-3r,令 12-3r=3,得 r=3.由 a6-rbr= a3b3=20,得 ab=1.所以 a2+b2
8、2ab=21=2.答案:26.求 的展开式中的有理项.解 的展开式的通项为 Tr+1= )8-r (r=0,1,2,8),为使为有理项,r 必须是 4 的倍数,所以 r=0,4,8,故共有 3 个有理项 ,分别是 T1= x4=x4,T5=x= x,T9= x-2= .7.导学号 43944018 已知 的展开式中偶数项的二项式系数的和比( a+b 展开式中奇数项的二项式系数的和小 120,求第一个展开式的第三项.解(a+b )2n 展开式中奇数项的二项式系数的和为 22n-1, 展开式中偶数项的二项式系数的和为 2n-1.依题意,有 2n-1=22n-1-120,即(2 n)2-2n-240=0.解得 2n=16,或 2n=-15(舍). n=4.于是,第一个展开式中第三项为T3= )2 =6 .
