1、第二章测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.下列曲线中离心率为 的是( )A. =1 B. =1C. =1 D. =1解析:双曲线 =1 的离心率 e= .答案:B2.平面上有两个定点 A,B 及动点 P,命题甲:“|PA|-|PB|是定值”,命题乙:“点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的双曲线”,则甲是乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当|PA|-|PB|=|AB|时,点 P 的轨迹是一条射线,故甲 乙,而乙甲,故选 B.答案:B3.已知椭圆与双曲线 =1 有共同的
2、焦点,且离心率为 ,则椭圆的标准方程为( )A. =1 B. =1C. =1 D. =1解析:双曲线 =1 中, =3, =2,则 c1= ,故焦点坐标为(- ,0),( ,0),故所求椭圆 =1(ab0)的 c= ,又椭圆的离心率 e= ,则 a=5,a2=25,b2=a2-c2=20,故椭圆的标准方程为 =1.答案:B4.已知双曲线 C: =1 的焦距为 10,点 P(2,1)在双曲线 C 的渐近线上,则双曲线 C 的方程为( )A. =1 B. =1C. =1 D. =1解析:根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解 . =1 的焦距为 10, c=5= .又双曲线渐近线方程为 y= x,
3、且 P(2,1)在渐近线上, =1,即 a=2b.由 解得 a=2 ,b= ,故选 A.答案:A5.(2017 全国 高考)已知 F 是双曲线 C:x2- =1 的右焦点,P 是 C 上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3),则APF 的面积为( )A. B. C. D.解析:由 c2=a2+b2=4,得 c=2,所以点 F 的坐标为(2,0).将 x=2 代入 x2- =1,得 y=3,所以|PF|= 3.又点 A 的坐标是(1,3),故APF 的面积为 3(2-1)= ,故选 D.答案:D6.已知双曲线 =1(a0,b0)的一条渐近线方程是 y= x,它的一个焦点在抛物线
4、 y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )A. =1 B. =1C. =1 D. =1解析:抛物线 y2=24x 的准线方程为 x=-6,故双曲线中 c=6.由双曲线 =1 的一条渐近线方程为 y= x,知 ,且 c2=a2+b2.由 解得 a2=9,b2=27.故双曲线的方程为 =1,故选 B.答案:B7.P 是长轴在 x 轴上的椭圆 =1 上的点,F 1,F2 分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为 c,则|PF 1|PF2|的最大值与最小值之差一定是 ( )A.1 B.a2 C.b2 D.c2解析:由椭圆的几何性质得|PF 1| a-c,a+c,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF
5、 1|PF2| =a2,当且仅当|PF 1|=|PF2|时取等号 .|PF1|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2-c 2+a2=b2,所以|PF 1|PF2|的最大值与最小值之差为 a2-b2=c2.答案:D8.若直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两个不同的点,且 AB 的中点的横坐标为 2,则 k 等于( )A.2 或-1 B.-1 C.2 D.1解析:由 消去 y,得 k2x2-4(k+2)x+4=0,故 =-4(k+2)2-4k24=64(1+k)0,解得 k-1,由 x1+x2= =4,解得 k=
6、-1 或 k=2,又 k-1,故 k=2.答案:C9.设双曲线 =1 的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )A. B.5 C. D.解析:双曲线 =1 的一条渐近线方程为 y= x,由方程组 消去 y,得 x2- x+1=0 有唯一解,所以 = -4=0,所以 =2,所以 e= ,故选 D.答案:D10.在抛物线 y2=8x 中,以(1,-1)为中点的弦的方程是 ( )A.x-4y-3=0 B.x+4y+3=0C.4x+y-3=0 D.4x+y+3=0解析:设弦的两端点坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2)(x1x2),则 =8x1, =8x2,两式相
7、减得(y 1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2),又 y1+y2=-2, =-4, 弦所在直线的斜率为-4,又过点(1,- 1), 所求直线方程为 4x+y-3=0.答案:C11.如图,南北方向的公路 L,A 地在公路正东 2 km 处,B 地在 A 北偏东 60方向 2 km 处,河流沿岸曲线 PQ 上任意一点到公路 L 和到 A 地距离相等.现要在曲线 PQ 上某处建一座码头,向A,B 两地运货物,经测算,从 M 到 A,B 修建公路的费用都为 a 万元/km,那么,修建这两条公路的总费用最低是( )A.(2+ )a 万元 B.(2 +1)a 万元C.5a 万元 D.6a 万元解析:本
8、题主要考查抛物线的实际应用 .依题意知曲线 PQ 是以 A 为焦点、L 为准线的抛物线,根据抛物线的定义知,欲求从 M 到 A,B 修建公路的费用最低,只需求出 B 到直线 L 的距离即可. B 地在 A 地北偏东 60方向 2 km 处, B 到点 A 的水平距离为 3 km, B 到直线 L 的距离为 3+2=5(km),那么,修建这两条公路的总费用最低为 5a 万元 ,故选 C.答案:C12.(2017 全国 高考)设 A,B 是椭圆 C: =1 长轴的两个端点 .若 C 上存在点 M 满足AMB=120,则 m 的取值范围是( )A.(0,19, +) B.(0, 9,+)C.(0,1
9、 4,+) D.(0, 4,+)解析:由题意,可知当点 M 为短轴的端点时,AMB 最大.当 03时,椭圆 C 的焦点在 y 轴上,要使椭圆 C 上存在点 M 满足AMB=120,则 tan 60= ,即,解得 m9,综上 m 的取值范围为(0,19,+), 故选 A.答案:A二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.(2017 北京高考)若双曲线 x2- =1 的离心率为 ,则实数 m= . 解析:由题意知 a=1,b= ,m0,c= ,则离心率 e= ,解得 m=2.答案:214.设椭圆 =1(ab0)的左、右焦点分别是 F1,F2,线段 F1F2 被点 分成 3
10、 1 的两段,则此椭圆的离心率为 . 解析:由题意,得 =3 +c=3c- bb=c,因此 e= .答案:15.已知抛物线 C:y2=2px(p0),过焦点 F 且斜率为 k(k0)的直线与 C 相交于 A,B 两点,若 =3,则 k= . 解析:设直线 l 为抛物线的准线,过 A,B 分别作 AA1,BB1 垂直于 l,A1,B1 为垂足,过 B 作 BE 垂直于AA1 于 E,则|AA 1|=|AF|,|BB1|=|BF|,由 =3 , cosBAE= , BAE=60, tanBAE= ,即 k= .答案:16.以下四个关于圆锥曲线的命题: 设 A,B 为两个定点,k 为非零常数,| |
11、-| |=k,则动点 P 的轨迹为双曲线; 过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB,O 为坐标原点,若 ),则动点 P 的轨迹为椭圆; 方程 2x2-5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; 双曲线 =1 与椭圆 +y2=1 有相同的焦点.其中正确命题的序号是 . 解析:双曲线的定义是:平面上与两个定点 A,B 的距离的差的绝对值为常数 2a,且 00,b0),又双曲线过点(0,2), c=5,a=2, b2=c2-a2=25-4=21, 双曲线的标准方程是 =1,实轴长为 4,焦距为 10,离心率 e= ,渐近线方程是 y= x.18.(本小题满分 12 分)若已知椭圆 =1
12、 与双曲线 x2- =1 有相同的焦点,又椭圆与双曲线交于点 P ,求椭圆及双曲线的方程.解由椭圆与双曲线有相同的焦点,得 10-m=1+b,即 m=9-b,由点 P 在椭圆、双曲线上,得 y2= m,y2= ,解由 组成的方程组得 m=1,b=8, 椭圆方程为 +y2=1,双曲线方程为 x2- =1.19. 导学号 01844027(本小题满分 12 分)(2017 全国 高考)设 O 为坐标原点,动点M 在椭圆 C: +y2=1 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足 .(1)求点 P 的轨迹方程;(2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且 =1.证明:过点 P 且垂直于 O
13、Q 的直线 l 过 C 的左焦点 F.(1)解设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0), =(x-x0,y), =(0,y0).由 得 x0=x,y0= y.因为 M(x0,y0)在 C 上,所以 =1.因此点 P 的轨迹方程为 x2+y2=2.(2)证明由题意知 F(-1,0).设 Q(-3,t),P(m,n),则 =(-3,t), =(-1-m,-n), =3+3m-tn, =(m,n), =(-3-m,t-n).由 =1 得-3m-m 2+tn-n2=1.又由(1)知 m2+n2=2,故 3+3m-tn=0.所以 =0,即 .又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点
14、P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.20. 导学号 01844028(本小题满分 12 分)(2017 北京高考)已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(-2,0),B(2,0),焦点在 x 轴上,离心率为 .(1)求椭圆 C 的方程;(2)点 D 为 x 轴上一点,过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M,N,过 D 作 AM 的垂线交BN 于点 E.求证:BDE 与BDN 的面积之比为 4 5.(1)解设椭圆 C 的方程为 =1(ab0).由题意得 解得 c= .所以 b2=a2-c2=1.所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.(2)证明设 M(m,n),则 D(m
15、,0),N(m,-n).由题设知 m2,且 n0.直线 AM 的斜率 kAM= ,故直线 DE 的斜率 kDE=- .所以直线 DE 的方程为 y=- (x-m),直线 BN 的方程为 y= (x-2).联立解得点 E 的纵坐标 yE=- .由点 M 在椭圆 C 上,得 4-m2=4n2.所以 yE=- n.又 SBDE= |BD|yE|= |BD|n|,SBDN= |BD|n|,所以BDE与 BDN 的面积之比为 4 5.21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C1: +y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率.(1)求椭圆 C2 的方程;(2)设 O 为坐标
16、原点 ,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, =2 ,求直线 AB 的方程.解(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 =1(a2),其离心率为 ,故 ,解得 a=4.故椭圆 C2 的方程为 =1.(2)设 A,B 两点的坐标分别为(x A,yA),(xB,yB),由 =2 及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx.将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k 2)x2=4,所以 .将 y=kx 代入 =1 中 ,得(4+k 2)x2=16,所以 .又由 =2 ,得 =4 ,即 ,解得 k=1.故直线 AB 的方程为 y=x
17、或 y=-x.22. 导学号 01844029(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: =1(ab0)的短轴长为 2,离心率为 ,直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且线段 AB 的垂直平分线通过点 .(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)求AOB(O 为坐标原点)面积的最大值.解(1)由已知可得 解得 a2=2,b2=1,故椭圆 C 的标准方程为 +y2=1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程消去 y 得(1 +2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.当 =8(2k2-m2+1)0,即 2k2m2-1 时,x 1+x2= ,x1x2= ,所以 .当 k=0 时,线段 AB 的垂直平分线显然过点 ,SAOB= |AB|m|= |m|2.因为 m(- 1,0)(0,1),所以 m2(0,1) .SAOB ,当 m2= 时,取到等号.当 k0 时,因为线段 AB 的垂直平分线过点 ,所以 =- ,化简整理得 2k2+1=2m.由 得 0m2.又原点 O 到直线 AB 的距离 d= ,|AB|= |x1-x2|=2 ,所以 SAOB= |AB|d= ,而 2k2+1=2m 且 0m2,则 SAOB= ,0m2.所以当 m=1,即 k2= 时,S AOB 取得最大值 .综上,S AOB 最大值为 .
