1、第二十二章一元二次方程小结一、本章知识结构框图二、本章知识点概括1、相关概念（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（2）一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0(a0)，其中 ax2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程整式方程 二次方程：一元二次方程，二元二次方程*（4）有理方程 高次方程：分式方程2、降次解一元
2、二次方程（1） 配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解其步骤是:方程化为一般形式；移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；化二次项系数为 1；配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，从而原方程化为（mx+n） 2=p 的形式；如果 p0 就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果 p0，则原方程无实数根。（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法其方法为：先将一元二次方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当b 24ac0 时，将 a、b、c 代入求根公式 x= ac
3、4b2（b 2-4ac0）就得到方程的根（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0,从而降次这种解法叫做因式分解法步骤是：通过移项将方程右边化为 0；通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。3、一元二次方程根的判别式（1）b 24ac 叫一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式。（2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况：=b 24ac 0 方程有两个不相等实数根；=b 24ac =0 方程有两个相等实数根；=b 24ac 0
4、 方程没有实数根；=b 24ac 0 方程有两个实数根。（3）应用：不解方程，判别方程根的情况；已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法） ；注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a0。*4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容）（1）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根是 21,x，那么 acxbx12,（2）应用：验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围；不解
5、方程可以求某些关于 21,x的对称式的值，通常利用到：121)(x21224)( x|ax| 212121 x当 21=0 且 210，两根互为相反数；当0 且 21x=1，两根互为倒数。（重点强调：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数 a0，0 前提条件下应用的，解题中一定要注意检验）用公式法因式分解二次三项式 ax2+bx+c(a0)：ax2+bx+c=a（x-x 1） （x-x 2）其中 1,x是方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根。5、实际问题与一元二次方程传播式分支问题；平均变化率问题；数字问题；利润问题；图形的面积问题；匀变速问题；握手、写信问题；银行利率问题；浓度问
6、题；方案设计问题等。三、典型例题辨析1、在下列方程中，是一元二次方程的有_个3x 2+7=0 ax 2+bx+c=0 （x-2） （x+5）=x 2-1 3x 2- 5x=02、当 m 时,关于 x 的方程(m+2)x |m|+3mx+1=0 是一元二次方程.3、方程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_4、根据下列表格的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09判断关于 x 的方程 ax2+bx+c=0(a0)的一个根 x 的取值范围是_。5、已知方程 5x2+mx-6=0 的一个根是 x=3，
7、则 m 的值为_6、已知三角形两边长分别为 2 和 4，第三边是方程 x2-4x+3=0 的解，则这个三角形的周长是_7、已知 x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则 x+y+z 的值是_8、已知 2 和 1是关于 x的方程 02nx的两个根，则 的值为 ， n的值为 .9、已知方程 的两根为 ，则 的值为 。10、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，则这个小组共_人11、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大 3，则这个两位数为_12、解下列方程： 0642x x72 1 25313、若关于 x的一元二次方程 062xa有两个实数根，求 a的取值
8、范围.14、已知方程 x2+(2k+1)x+k2-2=0 的两实根的平方和等于 11,求 k 的值。15、 k 为何值时，方程 x2-（k+1）x+(k-2)=0（1 ）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.16、如图，在 RtACB 中， C=90，AC=8m，CB=6m，点 P、Q 同时由 A，B 两点出发分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1m/s， 几秒后PCQ 的面积为 RtACB 面积的一半BCAQP17、某电脑公司 2001 年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、 二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每
9、月营业额的增长率相同，求这个增长率 （50% ）18、在一块长 12m，宽 8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为 8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?19、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元， 为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现， 如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出 2 件若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？（x 1=10，x 2=20）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案 （1250 元）20、一辆汽车以 20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况， 紧急刹车后汽车又滑行25m 后停车（1 ）从刹车到停车用了多少时间?（2 ） 从刹车到停车平均每秒车速减少多少?（3 ）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）?作业：必做：P23：1-10 选做：P24 ：11 、12教 学 反 思
