1、专题二 二次函数的应用二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的常见的数学模型将实际问题中的变量关系转化成二次函数后,就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型一、以现实的生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等“抛物线”的探究，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数确定二次函数的表达式例 1 如图 7，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同正常水位时，大孔水面宽度 AB20 米，顶点 M 距水面 6 米（即 MO6 米） ，小孔顶点 N 距水面4.5 米（NC4.5 米） 当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图 8 中的直角坐标系，
2、求此时大孔的水面宽度 EF分析：如图 8，由这个实际问题抽象出的数学模型题目已经给出，观察图象可知抛物线的对称轴为 y 轴，顶点为（0，6） ，故可设函数关系式为 y=ax2+6又因为 AB20，所以OB10，故 B（10，0）又在抛物线上，可代入求值解：设抛物线所对应的函数关系式为 y=ax2+6依题意，得 B（10，0） 所以 a10260解得 a=-0.06即 y=-0.06x2+6当 y=4.5 时，-0.06x 2+6=4.5，解得 x=5所以 DF5，EF 10即水面宽度为 10 米例 2 如图 9 所示，一位运动员在距篮圈中心水平距离 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球
3、运动的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米求抛物线的关系式分析：函数图象的对称轴为 y 轴，故设篮球运行的路线所对应的函数关系式为y=ax2+k（a0， k0） 解：设函数关系式为 y=ax2+k（a0） ，由题意可知，A、B 两点坐标为（1.5，3.05） ， （0，3.5） 则 解得 a=-0.2，21.53.0k，所以抛物线对应的函数关系式为 y=-0.2x2+3.5二、在几何图形中，利用图形的面积、相似三角形等有关知识获得 y 与 x 的关系式例 3 如图 10，在矩形 ABCD 中，AD12，AB8，在线段 B
4、C 上任取一点 P，连接DP，作射线 PEDP，PE 与直线 AB 交于点 E（1）设 CPx ，BE y，试写出 y 关于 x 的函数关系式（2）当点 P 在什么位置时，线段 BE 最长？析解：在几何图形中，求函数关系式时，通常把两个变量放入两个图形，利用两个图形相似，或者在一个图形中利用面积建立它们之间的数量关系本题要求 y 与 x 之间的关系式，通过观察可以发现 y、x 分别是 BPE、CDP 的边，而且由 EPBDPC90，DPCPDC90 ，可得EPBPDC，又由B C90，容易得到BPECDP所以有 即 BECDP128故 y 关于 x 的函数关系式为 23yx当 时，y 有最大值
5、， 62ba249acb最 大即当点 P 距点 C 为 6 时，线段 BE 最长例 4 某班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大小组讨论后，同学们设计了三种铝合金框架，图案如图 11（1） 、11（2） 、11（3） ，请你根据以下图案回答下列问题：（题中的铝合金材料总长度均各指图 11 中所有黑线的长度和）（1）在图案（1）中，如果铝合金材料总长度为 6m，当 AB 为 1m 时，长方形框架ABCD 的面积是_m 2；（2）图案（2）中，如果铝合金总长度为 6m，设 AB 为 xm，长方形框架 AB
6、CD 的面积为 Sm2，那么 S_（用含 x 的代数式表示） ；当 AB_m 时，长方形框架ABCD 的面积 S 最大，在图案（3）中，如果铝合金材料总长度为 lm，当 AB_m 时，长方形框架 ABCD 的面积 S 最大（3）在经过这三种情况的试验后，他们发现对于图案（4）这样的情形也存在着一定的规律探索：如图（4） ，如果铝合金材料长度为 lm，共有 n 条竖档，那么当竖档 AB 长为多少时，长方形框架 ABCD 的面积 S 最大分析：解此类问题通常是建立面积与线段长的函数关系式，然后利用二次函数的图象或性质求最大值（或最小值） ，在这类问题中常用到下列图形的面积公式：三角形、矩形、正方形
7、、平行四边形、梯形和圆等解：（1） ；43（2） ，1， ；2x8l（3）设 AB 长为 xm，那么 AD 为 ，3lnx233lnxlSxA当 时，S 最大注：关于二次函数的实际应用，体现在生活中的方方面面，在此我们不再一一列举，关键是同学们掌握这种处理实际问题的思路，达到举一反三的效果，不管题目背景如何变化，但它万变不离其宗，只要我们有了这种方法，任何问题都可以迎刃而解专题训练（二）1如图 12 所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位 AB 时，宽 20m，水位上升 3m 就达到警戒线 CD，这时水面宽度为 10m（1）在如图 12 的坐标系中求抛物线所对应的函数关系式；（2）若洪水到
8、来时，水位以每小时 0.2m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥顶？2工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利 45 元；按标价的八五折销售该工艺品 8 件与将标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品 100 件若每件工艺品降价 1 元，则每天可多售出该工艺品 4 件问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？3如图 13，足球场上守门员在 O 处开出一高球，球从离地面 1 米的 A 处飞出（A 在y 轴上） ，
9、运动员乙在距 O 点 6 米的 B 处发现球在自己头的正上方达到最高点 M，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数关系式（2）足球第一次落地点 C 距守门员多少米？（取 ） 437（3）运动员乙要抢到第二个落点 D，他应再向前跑多少米？（取 ） 2654如图 14，在边长为 6cm 的正方形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别按 ，AB， ， 的方向同时出发，以 1cm/s 的速度匀速运动BCDA（1）在运动中，点 E、F、G 、H 所形成的四边形 E
10、FGH 为（ ）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形（2）四边形 EFGH 的面积 S（cm 2）随运动时间 t（s）变化的图象大致是（ ）（3）写出四边形 EFGH 的面积 S（cm 2）关于运动时间 t（s）变化的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小？最小值是多少？5南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为 25 万元，市场调研表明：当销售价为 29 万元时，平均每周能售出 8 辆，而当销售价每降低 0.5 万元时，平均每周能多售出 4 辆如果设每辆汽车降价 x 万元，每辆汽车的销售利润为 y 万元 （销售利润销售价进货价）（1）求 y 与 x 的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下
11、，写出 x 的取值范围；（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为 z 万元，试写出 z 与 x 之间的函数关系式；（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？参考答案：1解：（1）设所求抛物线的函数关系式为： ，2yax设 ， ，(56)D， (103)Bb，把 的坐标分别代入 ，得， 2yax5103.b，解得 所以 125.ab， 25（2）因为 ，所以 （小时） 0.所以再持续 5 小时到达拱桥顶2解：（1）设工艺品每件的进价是 元出售，每天获得的利润为 元根据题意，得xy(4)4)yx2805 (1)9x故每件工艺品降价 10 元出售，每天获得的利润最大，
12、获得的最大利润是 4 900 元3解：（1）如图，设第一次落地时，抛物线所对应的函数关系式为 2(6)yax由已知：当 时， 0x1y即 所以 1364a2所以 （或 ） ()2yx21yx（2）令 ， 021640所以 2(6)48x即 ， （舍去） 131 23x所以足球第一次落地距守门员约 13 米（3）如图，第二次足球弹出后的距离为 ，根据题意，得 （即相当于将抛物GDCDEF线 向下平移了 2 个单位） AEMFC所以 12(6)4x解得 ， 126所以 ， 10Dx所以 （米） 367B4解：（1）D；（2）B；（3） ， AEtHt222(6)136St所以 (3)18t当运动 3 秒钟时， 有最小值为 18cm2S5解：（1）因为 ，295yx所以 4(0)yx （2） 8(84).5zyx432x23850x（3）因为当 时， 50z最 大所以当定价为 万元时，有最大利润，最大利润为 50 万元291.7.
