1、小学生环境保护研究性学习所属年级：四年级 指导教师：XXX课题组成员：四年级学生一、研究性学习开展的背景背景说明 随着可持续发展概念的不断深入，人们的环保意识逐渐增强，加强对广大少年儿童的环保知识教育显得尤为重要。因此，从小培养他们的环保意识，指导他们从自我做起，投身到日常的环保行动中成为一个重要的课题。课题的意义与价值 研究学习主要是了解目前学生对环保知识的了解程度，分析学生在生活中存在哪些关于环保的误区和问题，并研究解决，促进更多的学生关注身边一些环保的小细节，同时学会如何参与研究性学习。二、研究性学习的教学目的知识与技能 增进小学生对环境保护的认识，教育其从身边日常生活做起，将环保落到实
2、处，在小学生中普及环保知识，呼吁更多人关注生活中的环保，起到宣传倡导的作用。过程与方法 通过自主、探索、观察，合作学习，查找资料，以知识竞赛、手抄报、演讲比赛等形式让学生体验研究性学习的整个过程。情感态度与价值观：激发学生对课外综合实践课程的兴趣，培养一定的自主查阅资料能力。三、资源设计教师提供的资源：环保竞赛题（附录）学生自行准备的资源： 网上查找、自行翻阅图书、报刊：如小学生环境保护手抄报资料。四、研究性学习的阶段设计第一阶段准备阶段：（时间一周）1、 激发学生学习兴趣，全班讨论决定研究内容及形式，并汇总。2、 指定任务，学生自由选择学习内容，随机组成学习小组，推选出小组负责人。任务一：以
3、小组为单位，每组做出一张关于环境保护手抄报一份任务二：以小组为单位，每组准备一篇关于环境保护的演讲稿，并推荐一位组员演讲。第二阶段收集资料阶段：（时间一周）通过书籍、报刊、电视、网络等途径收环保知识第三阶段整合阶段：（时间一周）将收集好的资料进行比对分析，讨论研究，整合资料。第四阶段展示阶段：（时间一周）1、 制定出环境保护手抄报。2、 撰写出关于环境保护演讲稿。3、 以小组为单位进行知识竞赛活动。第五阶段评价总结阶段：对这个活动进行分析总结。附录：知识竞赛题目1第 27 届联合国大会决定把每年的 6 月 5 日定为（ D ） A 地球日 B 节水日 C 爱鸟日 D 世界环境日 2一般认为，我
4、国酸雨形成的主要原因是（ C ）等酸性气体进入大所后，逐步形成 PH5.6 的酸性降水. A 盐酸 B 二氧化碳 C 二氧化硫 D 氯氟烃 3臭氧是一种天蓝色、有臭味的气体，在大气圈平流层中的臭氧层可以吸收和滤掉太阳光中大量的（ B ） ，有效保护地球生物的生存。A 红外线 B 紫外线 C 可见光 D 热量 4我国有许多世界珍稀动物，金丝猴就是其中之一，它是国家（ A ）保护动物。A 一级 B 二级 C 三级 D 四级 5噪声的来源主要有交通噪声、工业噪声、建筑施工噪声和社会噪声。人耳开始感到疼痛的声音叫痛阈，其声级为（ C ）分贝。A 60 B 90 C 120 D 140 6如果大气中没有
5、”温室气体” ，地球表面温度将降低至-23C，但是，如果温室气体量增加过多过快，就会造成（ A ） A 全球性气候变暖 B 海平面下降 C 植物生长缓慢 D 无线电通讯中断 7有一种头似马、角似鹿、尾似驴、蹄似牛，俗称“四不像”的珍奇动物，其野生种群 18 世纪在我国灭绝。1985 年我国分批引进 80 多只，建立自然保护区，进行在自然界恢复野生种群的研究，这种动物是（C ） 。A 羚羊 B 野鹿 C 麋鹿 D 马鹿 8 1956 年，发生在日本熊本县的水俣病是由于人们食用被（ B ）污染的鱼类后，在体内积累，逐渐引起的神经性疾病。A 铅 B 甲基汞 C 黄曲霉素 D 农药 DDT 9大量氮、
6、磷等植物性营养元素进入水体后，藻类大量繁殖，水质恶化，水生生物死亡，一般称为（ A ） 。 A 富营养化 B 湖泊酸化 C 湖泊氧化 D 重金属物质污染 10水体被污染的程度，可由溶解氧（DO ） 、生化需氧量（BOD） 、 （ D ） （COD） 、总需氧量（TOD ）和总有机碳（TOC）等多项指标综合表示。A 浊度 B 矿化度 C 酸碱度 D 化学需氧量 11造成温室效应的气体有（ A ） ，还有氯氟烃、甲烷、氮氧化合物、臭氧等气体。 A 二氧化碳 B 二氧化硫 C 氧气 D 氮气 12一氧化碳是一种可以使人致死的有毒气体。汽车在（ D ）状态下排放的一氧化碳量较多。A 高速行驶 B 中速
7、行驶 C 加速行驶 D 开着发动机停车等候 13重点城市空气质量周报，目前主要有污染指数、首要污染物、空气质量级别三项内容。当污染指数在（ C ）之间时，空气质量为 3 级，属轻度污染。 A 50 以下 B 50100 C 101200 D201300 14ISO14000 系列标准是国际标准化组织制定的有关（D）的系列标准.A 健康标准 B 食品工业 C 药品生产 D 环境管理 15我国水资源分布不平衡，南多北少、东多西少、夏多冬少，人均水资源仅为世界人均水平的（ B ） ，居世界第88 位。A 1/2 B 1/4 C 1/8 D 1/10 16为确保 2000 年我国环境保护目标的实现，国
8、家重点治理淮河、 （ A ） 、辽河（三河） ，太湖、巢湖、滇池（三湖）和酸雨控制区、二氧化硫控制区（两区）的污染。A 海河 B 黄河 C 汾河 D 大运河 171994 年 3 月，中国政府批准的 中国 21 世纪议程中国 21 世纪人口、环境与发展白皮书从具体国情出发，提出了中国（ B ）的总体战略、对策以及行动方案。A 2010 年远景目标纲要 B 可持续发展 C 生态保护 D 防治污染 18是联系有机物和无机物的中心环节，也是与人类关系最密切的一种环境要素。 （ D ） A、大气圈 B、水体圈 C、土壤圈 D、生物圈 19如果一个地区的 元素分布异常，可引起地方性甲状腺肿或克汀病。 （
9、C ）A、铁 B、硒 C、碘 D、钙 20生态系统中的“ ”包括绿色植物、光能细菌和化能细菌，是构成生态系统的基础。 （ C ） A、生产者 B、消费者 C、分解者 D、还原者速算与巧算（一）巧算是四则计算中的一个重要组成部分，学会一些巧算的方法，对提高计算能力有很大的帮助。加、减法的巧算方法很多，主要是利用加法、减法的运算定律和运算性质使计算简便。例 1 四年级一班第一小组有 10 名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。求这 10 名同学的总分。分析与解：通常的做法是将这 10 个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。
10、观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这 10 个数与 80 的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比 80 小。于是得到总和=8010（6-2-3311-8009809。实际计算时只需口算，将这些数与 80 的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为 9，再加上 8010，就可口算出结果为 809。例 1 所用的方法叫做加法的基准数法。这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。作为“基准”的数（如例 1 的 80）叫做基准数，各数
11、与基准数的差的和叫做累计差。由例 1 得到：总和数=基准数加数的个数+累计差，平均数=基准数+累计差加数的个数。在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。例 2 某农场有 10 块麦田，每块的产量如下（单位：千克）：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每块麦田的产量。分析与解：选基准数为 450，则累计差=123073023211811251150，平均每块产量=4505010455（千克）。答：平均每块麦田的产量为 455
12、 千克。求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如 7749（七七四十九）。对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了 1020 的平方，而 2199 的平方就不大熟悉了。有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？这里向同学们介绍一种方法凑整补零法。所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一方法。例 3 求 292和 822的值。分析与解：29 2=2929（291）（29-1）1230281840+1841。82 28282（822）（822）2 2808446720+46724。
13、由上例看出，因为 29 比 30 少 1，所以给 29“补”1，这叫“补少”；因为 82 比 80多 2，所以从 82 中“移走”2，这叫“移多”。因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。本例中，给一个 29 补 1，就要给另一个 29 减 1；给一个 82 减了 2，就要给另一个 82 加上 2。最后，还要加上“移多补少”的数的平方。由凑整补零法计算 352，得353540305 2=1225。这与三年级学的个位数是 5 的数的平方的速算方法结果相同。这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。练习与思考1.求下面 10
14、个数的总和：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出 12 株麦苗的高度分别为（单位：厘米）：26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求这批麦苗的平均高度。3.某车间有 9 个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：68，91，84，75，78，81，83，72，79。他们共加工了多少个零件？4.计算：131610+1117121512161312。5.计算下列各题：（1）37 2； （2）53 2； （3）91 2；（4）68 2： （5）108 2； （6）397 2。速算与巧算
15、（二）这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。两个数之和等于 10，则称这两个数互补。在整数乘法运算中，常会遇到像7278，2686 等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。7278 的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；2686 的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。例 1 （1）7674？ （2）3139？分析与解：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。（1）由乘法分配律和结合律，得到76
16、74（76）（70+4）（706）70（76）470706707046470（7064）6470（7010）647（7+1）10064。于是，我们得到下面的速算式：（2）与（1）类似可得到下面的速算式：由例 1 看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补 0，如 1909），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加 1 的乘积。“同补”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾尾”，前面是“头（头+1）”。我们在三年级时学到的 1515，2525，9595 的速算，实际上就是“同补”速算法。例 2 （1）7838？ （2）436
17、3？分析与解：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。（1）由乘法分配律和结合律，得到7838（708）（308）（708）30（708）87030+8307088870308（3070）8873100810088（738）10088。于是，我们得到下面的速算式：（2）与（1）类似可得到下面的速算式：由例 2 看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补 0，如 3309），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。“补同”速算法简单地说就是：积的末两位数是“尾尾”，前面是“头头+尾”。例 1 和例 2 介绍了两位
18、数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是 10，100，1000，时，这两个数互为补数，简称互补。如 43 与 57 互补，99 与 1 互补，555 与 445 互补。在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。例如 ， 因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是 70，后两位数互补，7723100，所以是“同补”型。又如，等都是“同补”型。当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补
19、，尾相同”型。例如，等都是“补同”型。在计算多位数的“同补”型乘法时，例 1 的方法仍然适用。例 3 （1）702708=？ （2）17081792？解：（1）（2） 计算多位数的“同补”型乘法时，将“头（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。注意：互补数如果是 n 位数，则应占乘积的后 2n 位，不足的位补“0”。在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相同，那么例 2 的方法仍然适用（见例 4）；如果“补”与“同”的位数不相同，那么例 2 的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。练习与思考：计算下列各题：1.686
20、2； 2.9397；3.2787； 4.7939；5.4262； 6.603607；找规律（一）这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题。什么是周期性变化规律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的夏季过后就是秋天，果实累累的秋季过后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了春天。年复一年，总是按照春、夏、秋、冬四季变化，这就是周期性变化规律。再比如，数列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，是按照 0，1，2 三个数重复出现的，这也是周期性变化问题。下面，我们通过一些例题作进一步讲解。例 1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照 5 盏红灯、再接 4 盏蓝灯、再接 3 盏
21、黄灯，然后又是 5 盏红灯、4 盏蓝灯、3 盏黄灯、这样排下去。问：（1）第 100 盏灯是什么颜色？（2）前 150 盏彩灯中有多少盏蓝灯？分析与解：这是一个周期变化问题。彩灯按照 5 红、4 蓝、3 黄，每 12 盏灯一个周期循环出现。（1）1001284，所以第 100 盏灯是第 9 个周期的第 4 盏灯，是红灯。（2）15012=126，前 150 盏灯共有 12 个周期零 6 盏灯，12 个周期中有蓝灯41248（盏），最后的 6 盏灯中有 1 盏蓝灯，所以共有蓝灯 481=49（盏）。例 2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于 25。已知第 1 个数是 3，第 6 个数是 6，第
22、11 个数是 7。问：这串数中第 24 个数是几？前 77 个数的和是多少？分析与解：因为第 1，2，3，4 个数的和等于第 2，3，4，5 个数的和，所以第 1 个数与第5 个数相同。进一步可推知，第 1，5，9，13，个数都相同。同理，第 2，6，10，14，个数都相同，第 3，7，11，15，个数都相同，第4，8，12，16个数都相同。也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。所以，第 2 个数等于第 6个数，是 6；第 3 个数等于第 11 个数，是 7。前三个数依次是 3，6，7，第四个数是25-（3+6+7）=9。这串数按照 3，6，7，9 的顺序循环出现。第 24 个数
23、与第 4 个数相同，是 9。由77491 知，前 77 个数是 19 个周期零 1 个数，其和为 2519+3=478。例 3 下面这串数的规律是：从第 3 个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。问：这串数中第 88 个数是几？628088640448分析与解：这串数看起来没有什么规律，但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个相邻数字相同，那么根据这串数的构成规律，这两个相邻数字后面的数字必然与前面那两个相邻数字后面的数字相同，也就是说将出现周期性变化。我们试着将这串数再多写出几位：当写出第 21，22 位（竖线右面的两位）时就会发现，它们与第 1，2 位数相同，所以这串数按每 20 个
24、数一个周期循环出现。由 8820=48 知，第 88 个数与第 8 个数相同，所以第 88 个数是 4。从例 3 看出，周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋。练习与思考：1有一串很长的珠子，它是按照 5 颗红珠、3 颗白珠、4 颗黄珠、2 颗绿珠的顺序重复排列的。问：第 100 颗珠子是什么颜色？前 200 颗珠子中有多少颗红珠？2将 1，2，3，4，除以 3 的余数依次排列起来，得到一个数列。求这个数列前 100个数的和。3有一串数，前两个数是 9 和 7，从第三个数起，每个数是它前面两个数乘积的个位数。这串数中第 100 个数是几？前 100 个数之和是多少？4有一列数，第一个数
25、是 6，以后每一个数都是它前面一个数与 7 的和的个位数。这列数中第 88 个数是几？5小明按 13 报数，小红按 14 报数。两人以同样的速度同时开始报数，当两人都报了 100 个数时，有多少次两人报的数相同？找规律（二）整数 a 与它本身的乘积，即 aa 叫做这个数的平方，记作 a2，即 a2aa；同样，三个a 的乘积叫做 a 的三次方，记作 a3，即 a3aaa。一般地，n 个 a 相乘，叫做 a 的 n 次方，记作 an，即本讲主要讲 an的个位数的变化规律，以及 an除以某数所得余数的变化规律。因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以 an 的个位数只与 a 的个位数
26、有关，而 a 的个位数只有 0，1，2，9 共十种情况，故我们只需讨论这十种情况。为了找出一个整数 a 自乘 n 次后，乘积的个位数字的变化规律，我们列出下页的表格，看看 a，a 2，a 3，a 4，的个位数字各是什么。从表看出，a n的个位数字的变化规律可分为三类：（1）当 a 的个位数是 0，1，5，6 时，a n的个位数仍然是 0，1，5，6。（2）当 a 的个位数是 4，9 时，随着 n 的增大，a n的个位数按每两个数为一周期循环出现。其中 a 的个位数是 4 时，按 4，6 的顺序循环出现；a 的个位数是 9 时，按 9，1 的顺序循环出现。（3）当 a 的个位数是 2，3，7，8
27、 时，随着 n 的增大，a n的个位数按每四个数为一周期循环出现。其中 a 的个位数是 2 时，按 2，4，8，6 的顺序循环出现；a 的个位数是 3 时，按 3，9，7，1 的顺序循环出现；当 a 的个位数是 7 时，按 7，9，3，1 的顺序循环出现；当 a 的个位数是 8 时，按 8，4，2，6 的顺序循环出现。例 1 求 67999的个位数字。分析与解：因为 67 的个位数是 7，所以 67n的个位数随着 n 的增大，按 7，9，3，1 四个数的顺序循环出现。99942493，所以 67999的个位数字与 73的个位数字相同，即 67999的个位数字是 3。例 2 求 291+3291
28、的个位数字。分析与解：因为 2n的个位数字按 2，4，8，6 四个数的顺序循环出现，914223，所以，2 91的个位数字与 23的个位数字相同，等于 8。类似地，3 n的个位数字按 3，9，7，1 四个数的顺序循环出现，2914723，所以 3291与 33的个位数相同，等于 7。最后得到 291+3291的个位数字与 8+7 的个位数字相同，等于 5。例 3 求 28128-2929的个位数字。解：由 128432 知，28 128的个位数与 84的个位数相同，等于 6。由 292141 知，2929的个位数与 91的个位数相同，等于 9。因为 69，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字
29、为 1697。练习与思考：1求下列各数的个位数字：（1）38 38； （2）29 30；（3）64 31； （4）17 215。2求下列各式运算结果的个位数字：（1）92 2257 31； （2）61 5+487+349；（3）46 9-6211； （4）3 748+59610。3求下列各除法算式所得的余数：（1）5 1004； （2）8 1116；（3）4 887年龄问题年龄问题是一类以“年龄为内容”的数学应用题。年龄问题的主要特点是：二人年龄的差保持不变，它不随岁月的流逝而改变；二人的年龄随着岁月的变化，将增或减同一个自然数；二人年龄的倍数关系随着年龄的增长而发生变化，年龄增大，倍数变小。
30、根据题目的条件，我们常将年龄问题化为“差倍问题”、“和差问题”、“和倍问题”进行求解。例 1 儿子今年 10 岁，5 年前母亲的年龄是他的 6 倍，母亲今年多少岁？分析与解：儿子今年 10 岁，5 年前的年龄为 5 岁，那么 5 年前母亲的年龄为 5630（岁），因此母亲今年是305=35（岁）。例 2 今年爸爸 48 岁，儿子 20 岁，几年前爸爸的年龄是儿子的 5 倍？分析与解：今年爸爸与儿子的年龄差为“4820”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当爸爸的年龄为儿子的 5 倍时，两人的年龄差还是这个数，这样就可以用“差倍问题”的解法。当爸爸的年龄是儿子年龄的 5 倍时，儿子的年
31、龄是（4820）（51）7（岁）。由 20713（岁），推知 13 年前爸爸的年龄是儿子年龄的 5 倍。例 3 兄弟二人的年龄相差 5 岁，兄 3 年后的年龄为弟 4 年前的 3 倍。问：兄、弟二人今年各多少岁？分析与解：根据题意，作示意图如下：由上图可以看出，兄 3 年后的年龄比弟 4 年前的年龄大 53412（岁），由“差倍问题”解得，弟 4 年前的年龄为（534）（31）6（岁）。由此得到弟今年 6410（岁），兄今年 10515（岁）。练习与思考：1父亲比儿子大 30 岁，明年父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍，那么今年儿子几岁？2王梅比舅舅小 19 岁，舅舅的年龄比王梅年龄的 3 倍多
32、1 岁。问：他们二人各几岁？3小明今年 9 岁，父亲 39 岁，再过多少年父亲的年龄正好是小明年龄的 2 倍？4父亲年龄是女儿的 4 倍，三年前父女年龄之和是 49 岁。问：父女两人现在各多少岁？5一家三口人，三人年龄之和是 74 岁，妈妈比爸爸小 2 岁，妈妈的年龄是儿子年龄的 4 倍。问：三人各是多少岁？盈亏问题与比较法（一）人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。例 1 小朋友分糖果，若每人分 4 粒则多 9 粒；若每人分 5 粒则少 6 粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是
33、不变的。比较两种分配方案，第一种方案每人分 4 粒就多 9 粒，第二种方案每人分 5 粒就少 6 粒，两种不同的方案一多一少相差 9615（粒）。相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分 4粒，第二种方案每人分 5 粒，两次分配数之差为 541（粒）。每人相差 1 粒，多少人相差 15 粒呢？由此求出小朋友的人数为 15115（人），糖果的粒数为415969（粒）。解：（96）（5-4）15（人），415969（粒）。答：有 15 个小朋友，分 69 粒糖。例 2 小朋友分糖果，若每人分 3 粒则剩 2 粒；若每人分 5 粒则少 6 粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖果？分析：本题与
34、例 1 基本相同，例 1 中两次分配数之差是 5-4=1（粒），本题中两次分配数之差是 5-32（粒）。例 1 中，两种分配方案的盈数与亏数之和为 9615（粒），本题中，两种分配方案的盈数与亏数之和为 26=8（粒）。仿照例 1 的解法即可。解：（62）（42）4（人），34214（粒）。答：有 4 个小朋友，14 粒糖果。由例 1、例 2 看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额两次分配数之差
35、。需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。例 3 小朋友分糖果，每人分 10 粒，正好分完；若每人分 16 粒，则有 3 个小朋友分不到糖果。问：有多少粒糖果？分析与解：第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏 16348（粒），所以盈亏总额是048=48（粒），而两次分配数之差是 16106（粒）。由盈亏问题的公式得有小朋友（0163）（1610）8（人），有 糖 10880（粒）。练习与思考：1小朋友分糖果，每人 3 粒，余 30 粒；每人 5 粒，少 4 粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖？2一个汽车队运输一
36、批货物，如果每辆汽车运 3500 千克，那么货物还剩下 5000 千克；如果每辆汽车运 4000 千克，那么货物还剩下 500 千克。问：这个汽车队有多少辆汽车？要运的货物有多少千克？3学校买来一批图书。若每人发 9 本，则少 25 本；若每人发 6 本，则少 7 本。问：有多少个学生？买了多少本图书？4参加美术活动小组的同学，分配若干支彩色笔。如果每人分 4 支，那么多 12 支；如果每人分 8 支，那么恰有 1 人没分到笔。问：有多少同学？多少支彩色笔？5红星小学去春游。如果每辆车坐 60 人，那么有 15 人上不了车；如果每辆车多坐 5 人，那么恰好多出一辆车。问：有多少辆车？多少个学生
37、？盈亏问题与比较法（二）有些问题初看似乎不像盈亏问题，但将题目条件适当转化，就露出了盈亏问题的“真相”。例 1 某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐 6 人；如果减少一条船，那么每条船就要坐 9 人。问：学生有多少人？分析：本题也是盈亏问题，为清楚起见，我们将题中条件加以转化。假设船数固定不变，题目的条件“如果增加一条船”表示“如果每船坐 6 人，那么有 6 人无船可坐”；“如果减少一条船”表示“如果每船坐 9 人，那么就空出一条船”。这样，用盈亏问题来做，盈亏总额为 69=15（人），两次分配的差为 963（人）。解：（69）（96）5（条），656=36（人）。答：有 36 名
38、学生。例 2 少先队员植树，如果每人挖 5 个坑，那么还有 3 个坑无人挖；如果其中 2 人各挖 4 个坑，其余每人挖 6 个坑，那么恰好将坑挖完。问：一共要挖几个坑？分析：我们将“其中 2 人各挖 4 个坑，其余每人挖 6 个坑”转化为“每人都挖 6 个坑，就多挖了 4 个坑”。这样就变成了“典型”的盈亏问题。盈亏总额为 437（个）坑，两次分配数之差为 651（个）坑。解：3（6-4）2（6-5）7（人）57338（个）。答：一共要挖 38 个坑。例 3 在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，则余 8 米；若把绳子三折垂到水面，则余 2 米。问：桥有多高？绳子有多长？分析与解
39、：因为把绳子对折余 8 米，所以是余了 82=16（米）；同样，把绳子三折余 2米，就是余了 326（米）。两种方案都是“盈”，故盈亏总额为 166=10（米），两次分配数之差为 3-21（折），所以桥高（82-23）（3-2）10（米），绳子的长度为 2108236（米）。练习与思考：1.筑路队计划每天筑路 720 米，实际每天比原计划多筑 80 米，这样在完成规定任务的前三天，就只剩下 1160 米未筑。问：这条路共有多长？2.小红家买来一篮桔子，分给全家人。如果其中二人每人分 4 只，其余每人分 2 只，那么多出 4 只；如果一人分 6 只，其余每人分 4 只，那么缺 12 只。问：小红
40、家买来多少只桔子？小红家共有几人？3.食堂采购员小李去买肉，如果买牛肉 18 千克，那么差 4 元；如果买猪肉 20 千克，那么多 2 元。已知牛肉、猪肉每千克差价 8 角，求牛肉、猪肉每千克各多少钱。4.李老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的 2 倍。桔子每人分 3 个，多 4 个；苹果每人分 7 个，少 5 个。问：有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？5.用绳子测量井深。如果把绳子三折垂到水面，余 7 米；如果把绳子 5 折垂到水面，余 1 米。求绳长与井深。数阵图（一）本讲和下一讲，我们学习三阶方阵，就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图，解题的关键仍然是“重叠数”。我们先从
41、一道典型的例题开始。例 1 把 19 这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。我们可以这样去想：因为 19 这九个数字之和是 45，正好是三个横行数字之和，所以每一横行的数字之和等于 453=15。也就是说，每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于 15。在 19 这九个数字中，三个不同的数相加等于 15 的有：951，942，861，852，843，762，753，654。因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。因为中心方格
42、中的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在两对角线上，所以它应同时出现在上述的四个算式中，只有 5 符合条件，因此应将 5 填在中心方格中。同理，四个角上的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在一条对角线上，所以它应同时出现在上述的三个算式中，符合条件的有 2，4，6，8，因此应将 2，4，6，8 填在四个角的方格中，同时应保证对角线两数的和相等。经试验，有下面八种不同填法：上面的八个图，都可以通过一个图的旋转和翻转得到。例如，第一行的后三个图，依次由第一个图顺时针旋转 90，180，270得到。又如，第二行的各图，都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。所以，这八个图本质上是相同的，可以看作是一种填
43、法。例 1 中的数阵图，我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。一般地，将九个不同的数填在33（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为三阶幻方。在例 1 中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等，而不要求两条对角线上的三数之和也相等，则解不唯一，这是因为在例 1 的解中，任意交换两行或两列的位置，不影响每行或每列的三数之和，故仍然是解。例 2 用 11，13，15，17，19，21，23，25，27 编制成一个三阶幻方。分析与解：给出的九个数形成一个等差数列，对照例 1，19 也是一个等差数列。不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第
44、五个数，即应填 19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即 13，17，21，25，而且对角两数的和相等，即 1325=1721；余下各数就不难填写了（见右图）。与幻方相反的问题是反幻方。将九个数填入 33（三行三列）的九个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方。例 3 将前 9 个自然数填入右图的 9 个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻。分析与解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻，所以这 9 个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线。经试验有下
45、图所示的三种情况：按照从 1 到 9 和从 9 到 1 逐一对这三种情况进行验算，只有第二种情况得到下图的两个解。因为第二种情况是螺旋形，故本题的解称为螺旋反幻方。练习与思考：1.将九个连续自然数填入 33 的方格内，使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于 66。2.将 1，3，5，7，9，11，13，15，17 填入 33 的方格内，使其构成一个幻方。3.用 2，4，6，12，14，16，22，24，26 九个偶数编制一个幻方。4.在下列各图空着的方格内填上合适的数，使每行、每列及每条对角线上的三数之和都等于 27。5.将右图中的数重新排列，使得每行、每列及两条对角线上的三个
46、数之和都相等。数阵图（二）例 1 在右图的九个方格中填入不大于 12 且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于 21。解：由上一讲例 4 知中间方格中的数为 7。再设右下角的数为 x，然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于 21，如下图所示填上各数（含 x）。因为九个数都不大于 12，由 16x12 知 4x，由 x+212 知 x10，即 4x10。考虑到 5，7，9 已填好，所以 x 只能取 4，6，8 或 10。经验证，当 x6 或 8 时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当 x4 或 10 时可得两个解（见下图）。
47、这两个解实际上一样，只是方向不同而已。例 2 将九个数填入右图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有证明：设中心数为 d。由上讲例 4 知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于 3d。由此计算出第一行中间的数为 2db，右下角的数为 2d-c（见下图）。根据第一行和第三列都可以求出上图中处的数由此得到3d-c-（2d-b）3d-a-（2d-c），3d-c-2db3d-a-2dc，dcbdac，2cab，abc2。值得注意的是，这个结论对于 a 和 b 并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。例 3 在下页右上图的空格中填入七个自然
48、数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于 90。解：由上一讲例 4 知，中心数为 90330；由本讲例 2 知，右上角的数为（2357）240（见左下图）。其它数依次可填（见右下图）。练习与思考：1.在左下图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。 2.在右上图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于 24。3.下列各图中的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，求 x。4.在左下图的空格中填入七个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于 48。5.在右上图的每个空格中填入一个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。数阵图（三）数阵问题是多种多样的，解题方法也是多种多样的，这就需要我们根据题目条件灵活解题。例 1 把 20 以内的质数分别填入下图的一个中，使得图
