1、1平衡问题与正交分解法题型 1物体在粗糙水平面上的匀速运动例 1如图所示，物体与水平面间的动摩擦因数为 0.3, 物体质量为 m=5.0kg现对物体施加一个跟水平方向成 =37斜向上的拉力F，使物体沿水平面做匀速运动求拉力 F 的大小解析：物体受四个力 ： mg 、 FN、 f、 F 建立坐标系如图所示将拉力 F 沿坐标轴分解Fx = F cos Fy = Fsin 根据共点力平衡条件，得X 轴： F x = 0 Fcos f = 0 Y 轴： Fy = 0 Fsin + FN mg = 0公式 f = FN 将代入 F cos= FN = ( mg Fsin ) 解得 F = = 归纳解题程
2、序：定物体，分sincomgN156.038.9析力建 坐标，分解力找依据，列方程解方程，得结果变式 1：如果已知 、 m、 F，求摩擦因数 。变式 2：如果将斜向上的拉力改为斜向下的推力 F， 、 m、 均不变，则推力需要多大，才能使物体沿水平面做匀速运动。结果 F = 23.71N6.038.95sincomg讨论：当 增大到某一个角度时，不论多大的推力 F,都不能推动物体。求这个临界角。这里的无论多大，可以看成是无穷大。则由上式变形为cos sin = 时Fg当 F 时， 则令 cos sin = 0 Fmg所以有 co t = 或 tan = = tan1 1变式 3如果先用一个水平拉
3、力 F0恰好使物体沿水平面做匀速运动则这个 F0有多大？现在用同样大小的力 F0推物体，使物体仍然保持匀速运动，则这个推力跟水平方向的夹角多大？解法一：物体受五个力： mg 、 FN、 f 、两个 F0。由共点力平平衡条件得当只有一个 F0沿水平方向作用时，物体匀速运动 F0 = f = mg 水平方向 Fx = 0 F0+ F0cos f = 0竖直方向 Fy=0 FN F0sin mg = 0解得 = cot = cot 1 .解法二：物体保持原来的速度匀速运动，则施加推力 F0后，增加的动力部分跟增加的阻力部分相等，则有 F0 cos = f = Fsin 所以得 co t = 题型 2
4、物体在粗糙斜面的匀速运动例 2 （见教材 P65例 2）物体 A 在水平力 F1=400N 的作用下，沿倾角 =60的斜面匀速下滑，如图所示，物体 A 受的重力 G =400N.求斜面对物体 A 的支持力和 A 与斜面间的动摩擦因数 解析：物体匀速下滑，摩擦力 f 沿斜面向上，物体受力： mg ， FN ， f F如图所示建立坐标系，分解 mg 和 F由共点力平衡条件得x 轴 mgsin60 fFcos60 = 0y 轴 FN mgcos60Fsin60 = 0 公式 f = FN 由 f = mg sin60 Fcos60 = 400 /2 34000.5 = 146N由 FN =mgcos
5、60 + Fsin60 = 546N由 = f / FN = 146 /546 = 0.27变式 1如果 m、 = 60、= 027 保持不变，要使物体沿斜面向上匀速运动，需要多大的水平推力？解析：物体沿斜面向上做匀速运动，只将动摩擦力 f 改为沿斜面向下。物体匀速下滑，摩擦力 f 沿斜面向上，物体受力： mg ， FN ， f F如图所示建立坐标系，分解 mg 和 F由共点力平衡条件得x 轴 Fcos60fmgsin60= 0y 轴 FN mgcos60Fsin60 = 0 公式 f = FN 来源:学|科|网 Z|X|X|K由以上三式得F = 1481.5Nmgoo60sincsi变式 2
6、如果物体 A 的质量 m， A 与斜面间的动摩擦因数 ，斜面倾角 =60是已知，假设物体的滑动摩擦力等于它的最大静摩擦力，则水平推力 F 多大时，物体能保持不动解析：用滑动摩擦力等于最大静摩擦力，当物体恰好不下滑时，最大静摩擦力 fmax= FN ,方向沿斜面向上，物体受力： mg ， FN ， fmax F如图所示建立坐标系，分解 mg 和 F由共点力平衡条件得x 轴 mgsin fmaxFcos = 0y 轴 FN mgcos Fsin = 0 公式 f = FN 由解得 F = mgsincoi当物体恰好不上滑时， fmax沿斜面向上，物体受力如图所示，在两坐轴上的方程如下x 轴 Fco
7、s fmaxmgsin = 0y 轴 FN mgcos Fsin = 0 公式 f = FN 由以上三式解得 F = mgsincoi要使物体能在斜面上保持静止，则水平推力 F 的取值范围是 Fmgsincoimgsincoi变式练习：如果推力 F 沿斜面向上，要使物体在斜面上保持静止，则这个推力的取值范围如何？题型 3物体沿竖直墙壁运动例 3物体与竖直墙壁之间的动摩擦因数为 ，用一个斜向上的推力 F 可以使物体沿竖直墙壁做匀速运动，物体质量为m求 F 的大小解析：题中没有指明运动方向，所以有两种可能情况。物体沿墙壁向上做匀速运动，受力情况及力的分解如图所示。由共点力平衡条件得x 轴 F1si
8、n = FN1 y 轴 F1cos = mg + f1 公式 f1 = FN1 由得 F1 = sincomg变式 1如图所示，物体重 10N，物体与竖直墙的动摩擦因数为 0.5，用一个与水平成 45角的力 F 作用在物体上，要使物体 A静止于墙上，则 F 的取值是_。 来源:Z&xx&k.Com变式2重为30N的物体与竖直墙壁的动摩擦因数为0.4，若用斜向上与水平面成 =53的推力 F=50N托住物体。物体处于静止，如图所示。这时物体受到的摩擦力是多少？ 题型 4质量为 5kg 的木块放在木板上，当木板与水平方向的夹角为 37时,木块恰能沿木板匀速下滑当木板水平放置时，要使木块能沿木板匀速滑
9、动，给木块施加的水平拉力应多大？（sin37=0.6, cos37=0.8,g=10N/kg）.解析：木块沿木板匀速下滑时，有 mgsin = f = mgcos 得 = tan = 0.75当木板在水平状态时，要木块沿木板匀速运动，所施加的水平拉力F = f = mg = 0.75510 N = 37.5N变式题质量为 3kg 的物体，放在倾角为 30的斜面上恰能匀速下滑，若要使该物体物体能否保持匀速运动解析：物体自由地匀速下滑时，有 mgsin mgcos = 0或变为 sin cos = 0当对物体施加一个竖直向下的力 F 时，将 F 和 mg 等效为一个竖直向下的作用力 G = F +
10、 mg 则物体沿斜面方向受的合力为 F = Gsin Gcos = ( F + mg )sin (F+ mg)cos 将式代入得 F = F (sin cos ) = 0即物体仍然做匀速运动。变式题：如图所示，一个空木箱恰好能沿斜面匀速下滑现将质量为 m 的球放到箱子中，这时木箱能否保持匀速运动，这时球与木箱之间的相互作用力有多大？解析：设木箱的质量为 M，木箱匀速下滑时，有： gsin gcos = 0在木箱中放一质量为 m 的小球后，整体受合力为 F =( M +m) g sin ( M+m) g cos = mg ( sin cos ) = 0木箱仍然能保持匀速运动 。小球与木箱前壁之间
11、存在弹力，对小球有 FN = mgsin 题型 6如图所示，质量为 m5kg 的物体，置于倾角为 30的粗糙斜面块上，用小等于 3N 的力推物块，物块仍保持静止，如图（原图所示，则物块所受的摩擦力大小等于( )A5N B4N C3N D N3解答：在斜面平面内物体的受力分析如图 1-33 所示，根据平衡条件得，其中 F3N， m0.8kg， =30，代入得 f=5N。22sinfFmg本题的正确选项为（A） 。题型 7如图所示， OA、 OB、 OC 三条轻绳共同连接于 O 点，A、 B 固定在天花板上，C 端系一重物，绳的方向如图。OA、 OB、 OC 这三条绳能够承受的最大拉力分别为 15
12、0N、100N 和 200N，为保证绳子都不断，OC 绳所悬重物不得超过多重？解析：结点 O 受三个力： FAO 、 FBO、 FCO 而平衡，根据任两 个力的合力与第三个力等大反向完成矢量图设 BO 绳恰好拉断，即 FBO =100N，则FAO = FBO cot 30 = 100 N150N， FCO= FBO / sin30= 2 FBO = 200N, CO 绳也恰3好拉断。所以，在 BO 和 CO 还达到承受限度之前， AO 绳已被拉断。应设 AO 绳恰好被拉断，由此得到悬持的重物的最大重力为G = FAO / cos30 = 150 / /2 = 100 N3/ 0.8=250N3
13、00N， CO 绳不会被拉断。所以， CO 绳悬挂的重物的最大质量为 m， mg = FCO m = FCO / g = 25 kg变式 2如图，不计重力的细绳 AB 与竖直墙夹角为 60，轻杆 BC 与竖直墙夹角为 30，杆可绕 C 自由转动，若细绳承受的最大拉力为 200N，轻杆能承受的最大压力为 300N，则在 B 点最多能挂多重的物体？题型 8（整体法也隔离法的应用）例题如图所示，光滑的金属球 B 放在纵截面为等腰三角形的物体 A 与竖直墙壁之间，恰好匀速下滑，已知物体 A 的重力是 B 的重力的 6 倍，不计球跟斜面和墙壁之间摩擦，问：物体 A 与水平面之间的动摩擦因数 是多少？（
14、）7/3变式 1如图所示，质量为 M 的直角三棱柱 A 放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为 。质量为 m 的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间， A 和 B 都处于静止状态，求地面对三棱柱支持力和摩擦力各为多少？变式 2如图所示，一个质量为 m、顶角为 的直角劈和一个质量为 M的正方体放在两竖直墙壁之间，若不计摩擦，求地面对正方体的支持力F1，左右墙壁对正方体的压力 F2、 F3分别是多大？变式 3如图所示，直角劈 A 插在墙壁和物体 B 之间，劈跟竖直墙壁的夹角为 37，劈的质量为 m1，表面光滑，物体 B 的质量为 m2，两物体均处于静止状态，求 B 受到的静摩擦力变式如图
15、所示，一个底面粗糙，质量为 m 的斜面体静止在水平地面上，斜面体的斜面部分是光滑的，倾角为 30。现用一端固定的轻绳系一质量也为 m 的小球，小球静止时轻绳与斜面的夹角也是30。试求：当斜面体静止时绳的拉力大小？若地面对斜面 体的最大静摩擦力等于地面对斜面体支持力的 k 倍，为了使整个系统始终保持静止状态， k 值必须满足什么条件？题型 9例题如图所示，在水平地面上放一木板 B，重力为 G2=100N，再在木板上放一货箱 A，重力为 G1=500N，设货箱与木板、木板与地面的动摩擦因数 均为 0.5，先用绳子把货箱与墙拉紧，如图所示，已知 tg =3/4，然后在木板上施一水平力 F，想把木板从
16、货箱下抽出来，F 至少应为多大？（ Fmin= 413.6N）来源:Zxxk.Com变式 1如图所示，物体 A、 B 叠放在倾角为 37的斜面上，并通过细线跨过光滑滑轮相连，细线与斜面平行，两物体质量分别为mA5kg， mB10kg， A、 B 间动摩擦因数为 10.1， B 与斜面间的动摩擦因数为 20.2，现对 A 施一平行于斜面向下的拉力 F，使 A 平行于斜面向下匀速运动，求 F 的大小。10 解答 A、 B 的受力分析如图所示，对于 A 根据平衡条件可得F+ mAgsina T+ f1 ， N1=mAgcosa ， f1= 1N1 ， 对于 B 有 f1 + f2 + mBgsina
17、=T ， N2= N1 + mBgcosa ， f2= 2 N2 ， 由以上各式可解得F =2 2mAgcos + 2(mA+mB)gcos +(mBmA)gsin代入数据可得 F=62N。所以沿斜面向下拉力 F 的大小为 62N。变式 2如图， A、 B 两物体质量相等， B 用细绳拉着，绳与倾角 的斜面平行。 A 与 B， A 与斜面间的动摩擦因数相同，若 A 沿斜面匀速下滑，求动摩擦因数的值。题型9固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一小定滑轮，细线一端拴一小球 A，另一端绕过定滑轮，今将小球从图示的位置缓慢地拉至 B点，在小球到达B点前的过程中，小球对半球的压力 N，细线的拉力
18、 T的大小变化情况 CA N变大， T变大 BN变小， T变大C N不变， T变小 D.N变大， T变小解析：小球受三个力： mg、 T、 N ,如图所示。由于 T 与 N 的合力与 mg 等大反向，画矢量图如图所示。力三角形与空间三角形相似，有大, RhLmgRhgmg、 R、 h 是不变量，小球沿大球面缓慢向上移动， L 减小，所以 T 减小， N 不变。变式 1质量为 m 的小球（半径不计）用一根细绳悬挂在 A 点，放在半径为 R 的光滑大球体表面上，悬点 A 恰好在大球体的球心 O 的正上方，且悬点到大球面的最小距离为 d， d 小于细绳的长度若细绳恰与球面相切，求小球对大球面的压力为
19、多大？细绳的张力是多大？变式 2如图所示，轻杆 AC 和 BC 固定在墙上， AC=90cm， BC =120cm， AB=60cm，在 C 处挂一个 G =10N 的路灯，求 AC 和 BC 杆所受的力各是多大？变式 3一球重为 G，固定的竖直大圆环半径为 R，轻弹簧原长为L(L2 R)，其劲度系数为 k，一端固定在圆环最高点，另一端与小球相连，小球套在环上，所有接触面均光滑，则小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角 为多少？ 变式 4如上图，如果已知 m、大球半径 R、弹簧原长 L，求当球静止时弹簧的长度题型 10例题（临界问题）3跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A 和 B，物体 A 放在倾角
20、为 的斜面上，如图。已知物体 A 的质量为m，物体 A 与斜面间的动摩擦因数为 （tan ），滑轮的摩擦不计，要使物体 A 静止在斜面上，求物体 B 的质量取值范围。来源:Z&xx&k.Com变式 1如图所示，物体的质量为 2kg，两根轻绳 AB 和 AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成 =600的拉力 F，若要使两绳都能伸直，求拉力 F 的大小范围。题型11如图所示，长为5m的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距为4m的两杆的顶端A、 B，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N的物体，平衡时，问：绳中的张力 T 为多少? A 点向上移动少许，
21、重新平衡后，绳与水平面夹角，绳中张力如何变化?分析与解：例 6 中因为是在绳中挂一个轻质挂钩，所以整个绳子处处张力相同。而在例 7 中， OA、 OB、 OC 分别为三根不同的绳所以三根绳子的张力是不相同的。对于例 6 分析轻质挂钩的受力如图所示，由平衡条件可知，T1、 T2合力与 G 等大反向，且 T1=T2。所以 T1sin +T2sin =T3= G即 T1=T2= ，而 AOcos+ BO.cos= CD，所以 cos sin=0.8sin =0.6， T1=T2=10N同样分析可知： A 点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹角，绳中张力均保持不变。变式 1如图所示， A、 B 两
22、物体重均为 G =100N， A拴在绕过定滑轮 O1的细绳一端， B 吊在动滑轮 O2上。整个装置静止不动，两个滑轮和细绳的重量及摩擦不计。求绕过动滑轮 O2的两细绳间的夹角 。解：动滑轮两边细绳的拉力 F1、 F2大小相等，动滑轮在三个力作用下平衡（两边绳子的拉力 F1、 F2和重物向下的拉力 F3） 。 F 竖直向下， F1、 F2以竖直线为对称轴。由后力与分力的关系，得2 F1cos( /2) = F3= G ， F1 = GA =100N， F1 = F2= 100N，所以 cos( /2) = 1/2 =120。变式 2如图（ a）所示，将一条轻而柔软的细绳一端固定在天花板上的 A点
23、，另一端固定在竖直墙上的 B 点， A、 B 两点到 O 点的距离相等，绳的长度为OA 的两倍。图（ b）所示为一质量和半径中忽略的动滑轮 K，滑轮下悬挂一质量为 m 的重物，设摩擦力可忽略。现将动滑轮和重物一起挂到细绳上，在达到平衡时，绳所受的拉力是多大？解：将滑轮挂到细绳上，对滑轮进行受力分析如图，滑轮受到重力和 AK 和 BK 的拉力 F，且两拉力相等，由于对称，因此重力作用线必过 AK 和 BK 的角平分线。延长 AK 交墙壁于 C 点，因 KB =KC，所以由已知条件AK+ KC = AC=2AO，所以图中的角度 =30，此即两拉力与重力作用线的夹角。两个拉力的合力 R 与重力等值反
24、向，所以：2 F cos30 = R =G， 所以 F = mg/2cos30 = mg/3 。3点评：本题中的动滑轮如果换为光滑挂钩，则结果相同。设绳子长度为L=AC，两悬点之间的水平距离为 d = AO ，sin = d /L ，所以，当 L、 d 不变时，任由 B 点在竖直墙壁的一条竖直线上下移动，则角度 为定值。滑轮两边绳子拉力F 也为定值。对于可以改变两悬点 A、 B 的水平距离的情况，拉力的变化也可由sin = d/L 先分析角度，然后由平衡条件求解。变式 3如图所示，一根柔软的轻绳两端分别固定在两竖直的直杆上，绳上用一光滑的挂钩悬挂一重物， AO 段中张力大小为 T1， BO 段
25、张力大小为 T2。现将右固定端由 B 沿杆慢移到 B点的过程中，关于两绳中张力大小的变化情况为（ ）A T1变大， T2减小 B T1减小， T2变大C T1、 T2均变大 D T1、 T2均不变变式 4如图所示的装置中，绳子与滑轮的质量不计，滑轮轴上的摩擦不计。 A、 B 两物体的质量分别为 m1和 m2 ，处于静止状态，则以下说法不正确的是（ ）A m2一定等于 m1 B m2一定大于 m1g/2 C 1角与 2角一定相等D当 B 的质量 m2稍许增加时， 1+ 2一定增大，系统仍能达到平衡状态变式 5如图（原图所示，相距 4m 的两根柱子上拴着一根 5m 长的细绳，细绳上有一光滑的小滑轮
26、，吊着 180N 的重物，静止时 AO， BO 绳所受的拉力各是多少？解答 同一条绳子拉力处处相等，所以 T1=T2=T，且与竖直线夹角均为 ，如图所示，根据平衡条件得,2T cos = mg 延长 BO 至墙于 C 点，过 C 作水平线交右墙于 D 点，根据几何关系得 AO=OC，而 AO+BO=5m，所以 BC=OB+OC=5m，在 BCD 中，有cos =3/ 5 由式得 T = 5 mg /6 =150N 所以静止时 AO、 BO 绳子所受拉力各是“150N，150N” 。题型 12例题如图所示，水平横梁一端 A 插在墙壁内，另一端装有小滑轮 B，一轻绳一端 C 固定于墙壁上，另一端跨
27、过滑轮后悬挂一质量为 m=10kg 的重物， ，则滑轮受到绳子作用力为：30BA50N B C100N DN5N310变式 1 （对称原理与隔离法）如图所示，重为 G 的均匀链条。两端用等长的细线连接，挂在等高的地方，绳与水平方向成 角。试求：绳子的张力。链条最低点的张力。变式 2如图所示，质量为 m 的小球被三根相同的轻质弹簧 a、 b、 c拉住， c 竖直向下， a、 b 、 c 伸长的长度之比为 331，则小球受 c 的拉力大小为（=120）A mg B0.5 mg C1.5 mg D3 mg.题型 12例题如图所示， A、 B 两小球固定在水平放置的细杆上，相距为 l，两小球各用一根长
28、也是 l 的细绳连接小球 C，三个小球的质量都是 m求杆对小球 A 的作用力的大小和方向来源:Zxxk.Com解答： C 球受力如图所示，根据平衡条件有2Tcos30 =mg 得 T = mg /3 3A 球受力如图所示，根据平衡条件有Tsin60=mg=N , Tcos60 =f, 由可得 N= 3mg/ 2, f= mg /63因此杆 对小球 A 的作用力 F= ，代入可得2F= m g, 与竖直方向成 a 角， tan /7/= f / N = /9 。 3所以杆对小球 A 的作用力大小为 mg,，方向为竖直向上偏左 a 角，其中 = arctan 3/9。变式 1 （对称原理与整体法、隔离法）如图所示。在光滑的水平杆上，穿着两个重均为2N 的球 A、 B，在两球之间夹着一弹簧，弹簧的劲度系数为 10N/m，用两条等长的线将球 C 与 A， B 相连，此时弹簧被压缩短 10cm，两条线的夹角为 60。求。杆对 A 球的支持力多大？ C 球的重力多大?
