1、g3.1067 空间角.空间距离综合一:高考真题:1.（2003 京春文 11，理 8）如图 91，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G，H，I ，J 分别为 AF，AD ，BE，DE 的中点.将ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数为（ ）A.90 B.60C.45 D.02.（2002 全国理，8）正六棱柱 ABCDEFA1B1C1D1E1F1 的底面边长为 1，侧棱长为 ，则2这个棱柱的侧面对角线 E1D 与 BC1 所成的角是（ ）A.90 B.60 C.45 D.303.（2001 全国，11）一间民房的屋顶有如图 94 三种不
2、同的盖法：单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为 P1、P 2、P 3.图 94若屋顶斜面与水平面所成的角都是 ，则（ ）A.P3P 2P 1 B.P3P 2P 1C.P3P 2P 1 D.P3P 2P 14.（2001 全国，9）在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 AB BB1，则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为（ ）A.60 B.90 C.105 D.755.（2000 全国文，12）如图 95，OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）A. B.32121C. D. 46.（1995
3、 全国文，10）如图 97，ABCDA 1B1C1D1 是正方体，B 1E1D 1F1 ，则 BE1 与 DF14BA所成角的余弦值是（ ）A. B.1752C. D.83图 917.（2003 上海春，10）若正三棱锥底面边长为 4，体积为 1，则侧面和底面所成二面角的大小等于 （结果用反三角函数值表示）.8.（2002 京皖春，15）正方形 ABCD 的边长是 2，E、F 分别是 AB 和 CD 的中点，将正方形沿 EF 折成直二面角（如图 911 所示）.M 为矩形 AEFD 内一点，如果 MBE =MBC，MB 和平面 BCF 所成角的正切值为 ，那么点 M 到直线 EF 的距离为 .
4、219.（2002 上海，4）若正四棱锥的底面边长为 2 cm，体积为 4 cm3，则它的侧面与底面所成的二3面角的大小是 .10.（2000 上海春，8）如图 913，BAD90的等腰直角三角形 ABD 与正三角形 CBD 所在平面互相垂直，E 是 BC 的中点，则 AE 与平面 BCD 所成角的大小为_.11.（2003 京春文，19）如图 919，ABCDA 1B1C1D1 是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为 2，E 是棱 BC 的中点.（）求三棱锥 D1DBC 的体积；（）证明 BD1平面 C1DE；（）求面 C1DE 与面 CDE 所成二面角的正切值.图 919 图 92012.（2
5、003 京春理，19）如图 920，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面边长为 2 ，侧棱长为4.E，F 分别为棱 AB，BC 的中点，EFBD= G.（）求证：平面 B1EF平面 BDD1B1；（）求点 D1 到平面 B1EF 的距离 d；（）求三棱锥 B1EFD1 的体积 V.13.（2002 京皖春文，19）在三棱锥 SABC 中，SAB=SAC=ACB=90，且 AC=BC=5，SB=5 .（如图 921）5（）证明：SCBC；（）求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小；（）求三棱锥的体积 VSABC .14.（2002 全国理，18）如图 926，正方形 ABCD、
6、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD、ABEF互相垂直.点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM=BN=a（0a ）.2（）求 MN 的长；（）当 a 为何值时，MN 的长最小；（）当 MN 长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角 的大小.图 913图 921图 926 图 92715.（2001 春季北京、安徽，19）如图 927，已知 VC 是ABC 所在平面的一条斜线，点 N 是 V 在平面 ABC 上的射影，且在 ABC 的高 CD 上.ABa，VC 与 AB 之间的距离为 h，点 MVC.（）证明MDC 是二面角 MABC 的平面角；（）当MD
7、CCVN 时，证明 VC平面 AMB；（）若MDCCVN （0 ，求四面体 MABC 的体积.2答案解析1.答案：B解析：将三角形折成三棱锥如图 943 所示.HG 与 IJ 为一对异面直线.过点 D 分别作 HG 与 IJ 的平行线，即 DF 与 AD.所以ADF 即为所求 .因此，HG 与 IJ 所成角为 60.评述：本题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系，在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键.通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向.2.答案：B解析：连结 FE1、FD ，则由正六
8、棱柱相关性质得 FE1BC 1.在EFD 中，EF =ED=1， FED=120，FD = .3在 Rt EFE1 和 RtEE 1D 中，易得 E1F=E1D= .E 1FD 是等边三角形 . FE1D=60.BC 1 与 DE1 所成的角为 60.评述：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成的角的求法.3.答案：D解析：由 S 底 S 侧 cos 可得 P1P 2而 P3 cos)()sin(221S又2（S 1S 2）S 底 P 1P 2P 34.答案：B解析：如图 948，D 1、D 分别为 B1C1、BC 中点，连结 AD、D 1C，设BB11，则 AB ，则 AD 为 AB1 在
9、平面 BC1 上的射影，又32cos,2,311E图 943图 948DE 2BE 2BD 22BEBDcosC 1BC 6313而 BE2DE 2 BD 2BED90 AB 1 与 C1B 垂直5.答案：D解析：如图 950，由题意知， r2h R2h，36r 又ABO CAO，2R ，OA 2rR ，OA42,ROAcos 416.答案：A解析：这是两条异面直线所成角的问题，如图 951 将 DF1 平移至 AG1，A 1G1 ，再将 AG14B平移至 EE1，其中 AE ，B 1E1 ，BE 1E 即是异面直线 BE1 与 DF1 所成24A的角.设正方体棱长为 l，可求得 EE1BE
10、1 ，476EB ，在BEE 1 中由余弦定理得2cosBE1E 17542617121 BE故应选 A.评述：利用直线平移，将异面直线所成角转化为相交直线所成角，将空间图形问题转化为平面图形问题来解决.“转化”是一种重要的数学思想，这种思想在近几年的试题里明显地、有意识地进行了考查.7.答案：arctan 83图 949图 950图 951图 953解析：设棱锥的高为 h，如图 953，则 V= 44sin60h=1，31h= .43D 为 BC 中点，OD= AD= 4= .1323易证PDO 为侧面与底面所成二面角的平面角tan = .故 =arctan8324OP评述：本题考查三棱锥中
11、的基本数量关系，考查二面角的概念及计算.8.答案： 2解析：过 M 作 MOEF，交 EF 于 O，则 MO平面 BCFE.如图 954，作 ONBC，设 OM=x，又 tanMBO= ，21BO=2x又 SMBE = BEMBsinMBE= BEME2121SMBC = BCMBsinMBC= BCMNME=MN，而 ME= ，MN= ，解得 x= .152x12x29.答案：30解析：如图 960，作 BC 边中点 M，VMBC过 V 作 VO底面 ABCDVOMO ，MOBC， VMO 为其侧面与底面所成二面角的平面角V 锥 = SABCDVO314= （2 ） 2VO ，VO =1又O
12、M = ，VOMO，VMO =303图 954侧面与底面所成的二面角为 30.10.答案：45解析：过点 A 作 AFBD 于 F，则 AF面 BCD，AEF 为所求的角设 BDa，则 AF ，EF2， 在 RtAEF 中，AEF452a11.（）解： = 221= .DBCV133（）证明：记 D1C 与 DC1 的交点为 O，连结 OE.O 是 CD1 的中点，E 是 BC 的中点，EOBD 1，BD 1 平面 C1DE，EO 平面 C1DE.BD 1平面 C1DE.（）解：过 C 作 CHDE 于 H，连结 C1H.在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，C 1C平面 ABCD，C 1
13、HDE，C 1HC 是面 C1DE 与面 CDE 所成二面角的平面角.DC=2，CC 1=1，CE=1. CH= 5212EtanC 1HC= .即面 C1DE 与面 CDE 所成二面角的正切值为 .25评述：本题考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.12.（）证法一：连接 AC. 正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是正方形.ACBD，又 ACD 1D，故 AC平面 BDD1B1E，F 分别为 AB，BC 的中点，故 EFAC，EF平面 BDD1B1平面 B1EF 平面 BDD1B1.证法二：BE=BF，EBD =FBD=45，EFB D.平面 B1EF 平
14、面 BDD1B1.（）解：在对角面 BDD1B1 中，作 D1HB 1G，垂足为 H平面 B1EF 平面 BDD1B1，且平面 B1EF平面 BDD1B1=B1G，D 1H平面 B1EF，且垂足为 H，点 D1 到平面 B1EF 的距离 d=D1H.解法一：在 RtD 1HB1 中，D 1H=D1B1sinD1B1H，D 1B1= A1B1=4.2sinD1B1H=sinB1GB= ，17421Gd=D 1H=4 .764解法二：D 1HBB 1BG， GBDH11d=D 1H= .1762GB解法三：如图 964，连接 D1G，则三角形 D1GB1 的面积等于正方形 DBB1D1面积的一半.
15、即 B1GD1H= BB12.2d= .76（） d .3111EFBDEFBV316721631 EFBS评述：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞察力.并进行一定的逻辑推理.在研究本题时，要注意摘出平面图形，便于计算.13.（）证明：SAB=SAC =90， SAAB ，SAAC.又 ABAC=A， SA平面 ABC.由于ACB=90 ，即 BCAC， 由三垂线定理，得 SCBC.（）解：BCAC，SCBCSCA 是侧面 SCB 与底面 ABC 所成二面角的平面角.在 Rt SCB 中，BC=5 ，SB=5 . 5得 SC= =102BCS在 Rt SA
16、C 中 AC=5，SC=10，cosSCA = 2105SCASCA=60 ，即侧面 SBC 与底面 ABC 所成的二面角的大小为 60.（）解：在 RtSAC 中，SA= .751022ACSSABC = ACBC= 55= .1V SABC = SACB SA= .36312573114.解：（）作 MPAB 交 BC 于点 P，NQAB 交 BE 于点 Q，连结 PQ，依题意可得 MPNQ，且 MP=NQ，即 MNQP 是平行四边形，如图 970MN=PQ.由已知，CM=BN =a，CB=AB= BE=1，AC=BF= ， .221,aBQC图 964图 970即 CP=BQ= .2aM
17、N=PQ= 222)(1()1( aBQCP（0a ）.)2(a（）由（） ，MN= ，21)(所以，当 a= 时，MN= .2即 M、N 分别移动到 AC、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为 .2（）取 MN 的中点 G，连结 AG、BG，如图 971AM=AN，BM= BN，G 为 MN 的中点AGMN，BGMN，AGB 即为二面角 的平面角，又 AG=BG= ，所以，由余弦定理有46cos = .31462)(22故所求二面角 =arccos（ ）.评述：该题考点多，具有一定深度，但入手不难，逐渐加深，逻辑推理和几何计算交错为一体；以两个垂直的正方形为背景，加强空间想象能力的考查.
18、体现了立体几何从考查、论证和计算为重点，转到既考查空间概念，又考查几何论证和计算.但有所侧重，融论证于难度适中的计算之中.反映教育改革趋势，体现时代发展潮流.此外解答过程中，必须引入适当的辅助线，不仅考查识图，还考查了基本的作图技能.充分体现了“注重学科之间的内在联系” ，较为深入和全面考查各种数学能力.15.（）证明：CDAB，VN平面 ABC，AB 平面 ABC，VNAB.又CDVNN 平面 VNCAB又MD 平面 VNC MDABMDC 为二面角 MMABC 的平面角.如图 972（）证明：VC 平面 VCN，AB VC又在VCN 和CDM 中，CVNMDC，VCN VCN DMCVNC
19、90.DMVC又ABDM D，AB、DM 平面 AMB VC平面 AMB图 971图 972（）解：MDAB 且 MDVC ，MD 为 VC 与 AB 的距离为 h.过 M 作 MECD 于 EV MABC ABCDME ah2tan21613四、作业 同步练习 g3.1067 空间角距离综合1、已知半径是B的球面上有A、B、C 三点，AB=6 ,BC=8, AC=10;则球心O 到截面ABC的距离为（ ）A、12 B、8 C、6 D、52、已知三棱锥P-ABC，PA 平面ABC， ,AB=1,D、E分别是PC、BC 的中点，30,90ACB则异面直线DE与AB的距离是（ ）A、 B、 C、
20、3 D、与PA的长有关3233、设两平行直线a、b间的距离为2m，平面 与a 、b都平行且与a、b的距离都为m，这样的平面 有（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个4、一个二面角的两个面分别与另一个二面角的两个面垂直，则这两个二面角（ ）A、相等 B、互补 C、相等或互补 D、不确定5、平面 CD，P 为这两个平面外一点，PA 于 A，PB 于 B，若 PA=2,PB=1平 面AB= 则二面角 的大小为（ ）7A、 B、 C、 D、1012090606、P 是平面 ABC 外一点，若 PA=PB=PC,且 则二面角 P-AB-C 的余弦值CPBP为 .7、正三棱锥的一个侧面的面积与底面面
21、积之比为 2：3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为 。8、已知 ,过 O 点引 所在平面的斜线 OC 与 OA、OB 分别成 、 角，则以 OC90A4560为棱的二面角 A-OC-B 的余弦值为 。9、平面 的一条垂线段OA（ O为垂足）的长为6，点B 、 C在平面 上，且 ACOBtan,3tan,那么B、C两点间距离的范围是 。2110、正方体 的棱长为a，点P 在棱 上运动，那么过P、B、D 1三点的截面面积的最1DCA1A图 973小值是 11、直三棱柱 中， ,AC=AA1=a，则点A到截面A 1BC的距离1CBA90是 12、 （05 湖南）如图 1，已知 ABCD 是
22、上、下底边长分别为 2 和 6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴3OO1 折成直二面角，如图 2。（）证明：ACBO 1；（）求二面角 OACO 1的大小。13、 （05 湖北）如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2 ， CC1=3，BE=1.（）求 BF 的长；（）求点 C 到平面 AEC1F 的距离.A BCDOO1ABOCO1D参考答案A B C D D 3160314,026a12、解法一（I）证明 由题设知 OAOO 1，OBOO 1.所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OAOB. 故可以 O 为原点， OA、O
23、B、OO 1所在直线分别为 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，x如图 3，则相关各点的坐标是 A（3，0，0） ，B（0，3，0） ，C（0，1， ）O1（0，0， ）.从而 .03),3,0(),3( 11 BOACBOA所以 ACBO 1. （II）解：因为 所以 BO1 OC，,C由（I）ACBO 1，所以 BO1平面 OAC， 是平面 OAC 的一个法向量.设 是 0 平面 O1AC 的一个法向量，),(zyxn由 得 . ,3.,031 zzyxCA取 )3,01(n设二面角 OACO1 的大小为 ，由 、 的方向可知 ， ，n1B1BO所以 cos ， =cosnB.43|1即
24、二面角 OACO1 的大小是 .arcos解法二（I）证明 由题设知 OAOO 1，OBOO 1，所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OAOB. 从而 AO平面 OBCO1，OC 是 AC 在面 OBCO1 内的射影.因为 ，3tan1OB3tan11OC所以OO 1B=60，O 1OC=30，从而 OCBO 1由三垂线定理得 ACBO 1.（II）解 由（I）ACBO 1，OCBO 1，知 BO1平面 AOC.设 OCO 1B=E，过点 E 作 EFAC 于 F，连结 O1F（如图 4） ，则 EF 是 O1F 在平面 AOC图 3ABOCO1D图 4内的射影，由三垂线定理得 O1F
25、AC.所以O 1FE 是二面角 OACO1 的平面角. 由题设知 OA=3，OO 1= ，O 1C=1，3所以 ，13,221221 CAA从而 ， 又 O1E=OO1sin30= ，311CFO所以 即二面角 OACO1 的大小是.4sin11E .43arcsin13本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法 1：（）过 E 作 EH/BC 交 CC1 于 H，则 CH=BE=1，EH/AD，且 EH=AD.又AFEC 1， FAD= C1EH.RtADFRtEHC 1. DF=C 1H=2622DFB（）延长 C1E 与 CB 交于 G，连
26、 AG，则平面 AEC1F 与平面 ABCD 相交于 AG.过 C 作 CMAG，垂足为 M，连 C1M，由三垂线定理可知 AGC 1M.由于 AG面 C1MC，且AG 面 AEC1F，所以平面 AEC1F面 C1MC.在 RtC 1CM 中，作 CQMC 1，垂足为 Q，则 CQ 的长即为 C 到平面 AEC1F 的距离. .134723 ,17243coscs, .,1 21 MCQGABGABE知由 从 而可 得由解法 2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则 D（0 ，0，0） ，B （2，4，0） ，A （2，0，0） ，C（0，4，0） ，E（2，4，1） ，C 1（0，4，3）.设 F（0，0，z）.AEC 1F 为平行四边形，.62,62|).4(,0. ),0(,(1的 长 为即于 是 得由 为 平 行 四 边 形由 BFEFzzCA（II）设 为平面 AEC1F 的法向量，1n)1,(,1yxnAD故 可 设不 垂 直 于 平 面显 然 02240,1 yxFnE得由 .41,024xy即的夹角为 a，则11),3(nC与设又 .346|cos1C 到平面 AEC1F 的距离为 .143cos| d
