1、智康高中数学.板块一. 合情推理与演绎推理. 题库.学生版 1典例分析题型一:合情推理【例 1】迄今为止,人类已借助“网格计算”技术找到了 630 万位的最大质数。小王发现由 8 个质数组成的数列 41,43,47,53,61,71,83,97 的一个通项公式,并根据通项公式得出数列的后几项,发现它们也是质数。小王欣喜万分,但小王按得出的通项公式,再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是 ( )A1643 B1679 C1681 D1697【例 2】下面给出了关于复数的四种类比推理:复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则;由向量 A 的性质| A|2=A2 类比得到复数
2、 z 的性质|z| 2=z2;方程 有两个不同实数根的条件是),(02 Rcbacbxa可以类比得到:方程 有两个不同复42b ),(02 Ccbacz数根的条件是 ;42c由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比错误的是 ( )A. B. C. D. 【例 3】定义 的运算分别对应下图中的(1)、(2) 、(3)、(4),ADCBA,那么下图中的(A) 、 (B )所对应的运算结果可能是 ( )(1) (2) (3) (4) (A) (B)A. B. C. D.DAB, CAB, DB, DAC,板块一 .合情推理与演绎推理智康高中数学.板块一. 合情推理与演绎推理. 题
3、库.学生版 2【例 4】在平面几何里,有勾股定理:“设 ABC 的两边 AB,AC 互相垂直,则AB2+AC2=BC2”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理, “设三棱锥 ABCD 的三个侧面 ABC、AC D、AD B 两两相互垂直,则可得 ” ( )(A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (B) BCDACBSS222(C) (D)AB2AC2AD2=BC2 CD2 BD2BCDACDABSS【例 5】已知 ,猜想 的表达式为 ( )2()(1),1fxfx*xN( ) (fx)A. B. C. D.4xf2()f1)f21fx【例 6】观察下列数:1,3,2,6,5,
4、15,14,x,y,z,122,中 x,y,z 的值依次是 ( )(A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.【例 7】观察下列数的特点1,2,2,3,3,3,4,4,4,4, 中,第 100 项是( )(A) 10 (B) 13 (C ) 14 (D) 100【例 8】设 ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得21)(xf的值为 ( ))6(5)0(45ffff A、 B、2 C、3 D、42 22【例 9】平面上有 n 个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,它们将平面分成 块区域,有 ,则 的表
5、达式为 ( ))(f 8)3(,4)2(,)1(fff )(nfA、 B、 C、 D、n22n321n 410523n【例 10】在数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,中,第 25 项为 ( )A25 B6 C7 D8 智康高中数学.板块一. 合情推理与演绎推理. 题库.学生版 3【例 11】如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当 时,其离心率为 ,此FBA512类椭圆被称为“黄金椭圆”. 类比 “黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率 e等于 ( )A. B. C. D. 5125125151O xABFy【例 12】观察式子: ,则可归纳出式子为471321,5321,
6、2( )A、 B、12312n 12321nC、 D、 【例 13】公比为 的等比数列 中,若 是数列 的前 项积,则有4nbnTnb也成等比数列,且公比为 ;类比上述结论,相应地在公差为30210,T104的等差数列 中,若 是 的前 项和,则数列 nanSa也成等差数列,且公差为 。 【例 14】考察下列一组不等式:.将,5252,52,525 333343 上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的特例,则推广的不等式可以是_.【例 15】如下图,第(1)个多边形是由正三角形“扩展 “而来,第(2)个多边形是由正四边形“ 扩展 ”而来, 如此类推.设由
7、正 边形“扩展” 而来的多边形的边n智康高中数学.板块一. 合情推理与演绎推理. 题库.学生版 4数为 ,则 ; .na6345911aa【例 16】古希腊数学家把数 1,3,6,10,15,21,叫做三角数,它有一定的规律性,第 30 个三角数与第 28 个三角数的差为 。【例 17】数列 是正项等差数列,若 ,则数列na naabn 321也为等差数列. 类比上述结论,写出正项等比数列 ,若 = nb cnd,则数列 也为等比数列.nd【例 18】在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二件首饰是由 6 颗珠宝构成如图 1 所示的正六边形, 第三件首饰是由
8、 15 颗珠宝构成如图 2 所示的正六边形, 第四件首饰是由 28 颗珠宝构成如图 3 所示的正六边形, 第五件首饰是由 45 颗珠宝构成如图 4 所示的正六边形, 以 后 每 件 首饰 都 在 前 一 件 上 ,按 照 这 种 规 律 增 加 一 定 数 量 的 珠 宝 ,使 它 构 成 更 大 的正 六 边形 ,依 此 推 断 第 6 件 首饰上应有_颗珠宝;则前 件 首n饰 所 用 珠 宝 总 数 为 _颗.(结果用 表示)n图 1 图 2图 3 图 4【例 19】在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有: .22bac设想正方
9、形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条智康高中数学.板块一. 合情推理与演绎推理. 题库.学生版 5侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN,如果用 表示三个侧面面积, 表321,s4s示截面面积,那么你类比得到的结论是 .【例 20】对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直 ,那么这两个角相等或互补”, 在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: 。【例 21】依次有下列等式: ,按此规律下去,222 57643,1第 8 个等式为 。【例 22】在等差数列 中,若 ,则有等式na01 naa21成立,类比上述性质,相应地:在等比),9(1921 Nn数列 中,若 ,则有
10、等式 成立.nb【例 23】将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图所示的 0-1 三角数表从上往下数,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行,第 次全行的数都为 1 的是第 行;第 61 行中 1 的个数是n_第 1 行 1 1第 2 行 1 0 1第 3 行 1 1 1 1 第 4 行 1 0 0 0 1 第 5 行 1 1 0 0 1 1 【例 24】在平面几何里,可以得出正确结论:“正三角形的内切圆半径等于这正三角形智康高中数学.板块一. 合情推理与演绎推理. 题库.学生版 6的高的 ”。拓展到空间,类比平面几何的上述结论,则正
11、四面体的内切球半13径等于这个正四面体的高的 。【例 25】已知: ; 通23150sin9i0sin222 2315sin6i5sin222 过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题: _=( * )并给出( * )式的证明。【例 26】观察以下各等式: 202003sin3cos6in3cos6455,分析上述各式的共同特点,猜想出20200si1cs4i1cs反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明。【例 27】在ABC 中,若 C=90,AC=b,BC=A,则ABC 的外接圆的半径,把上面的结论推广到空间,写出相类似的结论。2bar【例 28】请你把不等式“若 是正实数,则有
12、”推广到一般情形,并12,a2112aa证明你的结论。【例 29】二十世纪六十年代,日本数学家角谷发现了一个奇怪现象:一个自然数,如果它是偶数就用 2 除它,如果是奇数,则将它乘以 3 后再加 1,反复进行这样两种运算,必然会得到什么结果,试考查几个数并给出猜想。智康高中数学.板块一. 合情推理与演绎推理. 题库.学生版 7【例 30】圆的垂径定理有一个推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,这一性质能推广到椭圆吗?设 AB 是椭圆 的任一弦,M 是 AB 的中)0(12bayx点,设 OM 与 AB 的斜率都存在,并设为 KOM、K AB,则 KOM 与 KAB 之间有何关系?并证明你的结论
13、。【例 31】已知椭圆 C: 具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两12byax点,点 P 是椭圆 C 上任意一点,当直线 PM、 PN 的斜率都存在,并记为KPM、KPN 时,那么 KPM 与 KPN 之积是与点 P 位置无关的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质,并加以证明。12byax【例 32】观察下面由奇数组成的数阵,回答下列问题:()求第六行的第一个数()求第 20 行的第一个数()求第 20 行的所有数的和13579 【例 33】 (2004 年上海春招高考题)在 DEF 中有余弦定理:. 拓展到空间,类比三角形的余弦DEEFDcos22定理,写出斜三棱柱 AB
14、C- 的 3 个侧面面积与其中两个侧面所成二面1CBA角之间的关系式,并予以证明.智康高中数学.板块一. 合情推理与演绎推理. 题库.学生版 8【例 34】已知数列 ,其中 是首项为 1,公差为 1 的等差数列;3021,a 1021,a是公差为 的等差数列; 是公差为 的等差数010,a d302, 2d列( ).d(1)若 ,求 ;420(2)试写出 关于 的关系式,并求 的取值范围;3ad30a(3)续写已知数列,使得 是公差为 的等差数列,依4310,a 3d次类推,把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题(2)应当作为特例) ,并进行研究,你能得到什么样的结论?【例 35】
15、已知椭圆具有性质:若 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭MN,圆上任意一点,当直线 的斜率都存在,并记为 、 时,那么P, PMkN与 之积是与点 P 的位置无关的定值试对双曲线 写出具有PMkN 21xyab类似特性的性质,并加以证明【例 36】已知数列 ( 为正整数) 的首项为 ,公比为 的等比数列na1aq求和: ; 012123C02313234CC由的结果,概括出关于正整数 的一个结论,并加以证明n智康高中数学.板块一. 合情推理与演绎推理. 题库.学生版 9题型二:演绎推理【例 37】由正方形的对角线相等; 平行四边形的对角线相等; 正方形是平行四边形,根据“三段论”
16、 推理出一个结论,则这个结论是 ( )(A) 正方形的对角线相等 (B) 平行四边形的对角线相等(C) 正方形是平行四边形 (D)其它【例 38】下列表述正确的是( ) 。归纳推理是由部分到整体的推理; 归纳推理是由一般到一般的推理;演绎推理是由一般到特殊的推理; 类比推理是由特殊到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理。(A); (B); (C);(D)。【例 39】有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数” 结论显然是错误的,是因为( ) 。A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误【例 40】 (4) 有一段演绎推理是这样的:“
17、直线平行于平面 ,则平行于平面内所有直线;已知直线 平面 ,直线 平面 ,直线 平面 ,则直线 直线 ”babba的结论显然是错误的,这是因为 ( ) 。A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误【例 41】小王、小刘、小张参加了今年的高考,考完后在一起议论。小王说:“我肯定考上重点大学。 ”小刘说:“重点大学我是考不上了。 ”小张说:“要是不论重点不重点,我考上肯定没问题。 ”发榜结果表明,三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个,并且他们三个人的预言只有一个人是对的,另外两个人的预言都同事实恰好相反。可见:( )(A)小王没考上,小刘考上一般大学,小张考上重
18、点大学(B)小王考上一般大学,小刘没考上,小张考上重点大学(C)小王没考上,小刘考上重点大学,小张考上一般大学(D)小王考上一般大学,小刘考上重点大学,小张没考上【例 42】已知直线 l、m,平面 、,且 l,m ,给出下列四个命题:(1)若 ,则 lm; (2)若 lm,则 ;(3)若 ,则 lm; (4)若 lm,则 ;智康高中数学.板块一. 合情推理与演绎推理. 题库.学生版 10其中正确命题的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【例 43】给出下列三个命题: 若 ; 若正整数 满baba1,则 nm和足 ,则 ;设 上任意一nm2)(n 9:)(2yxOyxP为 圆点,圆
19、 以 为圆心且半径为 1。当 时,圆2O,Q1)(21相切。1与 圆其中假命题的个数是( )(A) 0 (B ) 1 (C )2 (D)3【例 44】给定集合 A、B,定义 ,若 A=4,5,6,|BnAmxB=1,2,3,则集合 中的所有元素之和为 ( )A.15 B.14 C.27 D.-14【例 45】有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面 ,则平行于平面内所有直线;已知直线 平面 ,直线 平面 ,直线 平面 ,则直线 直线 ”的babba结论显然是错误的,这是因为 ( )A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误【例 46】为确保信息安全,信息需加密传输,发送方
20、由明文密文(加密),接收方由密文明文( 解密),已知加密规则为:明文 对应密文 ,abcd2,34abcd例如,明文 对应密文 .当接收方收到密文 时,则解密1,234571861498得到的明文为( )A B C D,67,46,71,4【例 47】下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )A、两条直线平行,同旁内角互补,如果A 和 B 是两条平行直线的同旁内角,则 A+B=180B、由平面三角形的性质,推测空间四面体性质C、某校高三共有 10 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,三班有 52 人,由此智康高中数学.板块一. 合情推理与演绎推理. 题库.学生版 11推测各班都超过 50
21、 人D、在数列 中, ,由此推出 的通项公式na )2(1(2,1naan na【例 48】设函数 ,利用课本中推导等差数列前 项和公式的方法,可)(xf求得 的值为 .5(0)(5)6fff【例 49】函数 yf(x)在(0,2)上是增函数,函数 y=f(x+2)是偶函数,则 f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .【例 50】在中学数学中,从特殊到一般,从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从指数函数中可抽象出 的性质;从对数函数中可抽象)()(2121xfxf出 的性质。那么从函数 (写出一个)(21xf具体函数即可) 可抽象出 的性质。)()(2121xffxf【例 51】
22、“ AC,BD 是菱形 ABCD 的对角线, AC,BD 互相垂直且平分。 ”补充以上推理的大前提是 。【例 52】由正方形的对角线相等; 平行四边形的对角线相等; 正方形是平行四边形,根据 “三段论” 推理出一个结论,则这个结论是 。【例 53】已知数列 的第 1 项 ,且 ,试归纳出这个数naa12nna(1,)列的通项公式 _n【例 54】 (1)在演绎推理中,只要 是正确的,结论必定是正确的。(2)用演绎法证明 y=x2 是增函数时的大前提是 。【例 55】如图,S 为 ABC 所在平面外一点,SA平面 ABC,平面 SAB平面 SBC。求证:AB BC。【例 56】已知:空间四边形
23、ABCD 中,E ,F 分别为 BC,CD 的中点,判断直线 EF智康高中数学.板块一. 合情推理与演绎推理. 题库.学生版 12与平面 ABD 的关系,并证明你的结论.直线 BD 和平面 ABD 的位置关系是平行【例 57】设二次函数 f(x)=Ax2+bx+c (A,b,cR,A0)满足条件:当 xR 时,f(x-4)=f(2- x),且 f(x)x; 当 x(0,2)时,f(x ) 2)1f(x)在 R 上的最小值为 0。求最大值 m(m1),使得存在 tR,只要 x1,m,就有 f(x+t)x.【例 58】规定: ,其中 , 是正整数,且 ,这是(1)(1)!mxxCxRm01xC组合
24、数 是正整数,且 的一种推广(n, )mn求 的值;51组合数的两个性质( )是否都能推广到1,mnmmnCC( 是正整数)的情形?说明理由;mxCR,已知组合数 是正整数,证明:当 , 是正整数时, mn xZmxCZ【例 59】指出下面推理中的大前提和小前提。(1)5 与 2 可以比较大小; (2)直线 。cabcba/,/,则若【例 60】已知函数 ,对任意的两个不相等的实数 ,都有)(xfy 21,x智康高中数学.板块一. 合情推理与演绎推理. 题库.学生版 13成立,且 ,求 的)()(2121xfxf0)(f )206()5()20()6( ffff 值。【例 61】已知 、 是锐角, ,且满足 。2)2sin(i3(1)求证: ;tan)tan((2)求证: ,并求等号成立时 的值。4tan,