1、第 1 页 共 12 页 中考数学创新题-折叠剪切问题中考数学创新题-折叠剪切问题折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.一折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD 为折痕，则CBD 的度数为（ ）A60 0 B75 0 C90 0 D95 0答案：C【2】如图,把一个长方形纸片沿 EF 折叠后,点 D、C 分别落在 D、C的位置，若EFB65，则AED等于（ ）A50 B55 C60 D65答案：A 【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形，其中 度.答
2、案：36二折叠后求面积【4】如图,有一矩形纸片 ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折痕为AE，再将AED 以 DE 为折痕向右折叠，AE 与 BC 交于点 F，则CEF 的面积为（ ）图（1）第 3 题图C DEBA图 （2）第 2 页 共 12 页 中考数学创新题-折叠剪切问题A4 B6 C8 D10答案：C【5】如图，正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4，点 E、F 分别是 AB、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅” ，则图中阴影部分的面积是A2 B4 C8 D10答案：B【6】如图 a，ABCD 是一矩形纸片，AB6cm
3、，AD8cm，E 是 AD 上一点，且 AE6cm。操作：（1）将 AB 向 AE 折过去，使 AB 与 AE 重合，得折痕 AF，如图 b；（2）将AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图 c。则GFC 的面积是（ ）EA A ABB BC C CGD D DFFF图 a 图 b 图 c第 6 题图第 3 页 共 12 页 中考数学创新题-折叠剪切问题A.1cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4 cm2答案：B三折叠后求长度【7】如图，已知边长为 5 的等边三角形 ABC 纸片，点 E 在 AC 边上，点 F 在 AB 边上，沿着 EF 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 D 的位置
4、，且 ，则 CE 的长是（ BC）（A） （B） 103103（C） （D）52答案：D四折叠后得图形【8】将一张矩形纸对折再对折（如图） ，然后沿着图中的虚线剪下，得到、两部分，将展开后得到的平面图形是（ ）A矩形 B三角形 C梯形 D菱形答案：D【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ） A. B. C. D. 答案：D【10】小强拿了张正方形的纸如图（1） ，沿虚线对折一次如图（2） ，再对折一次得图（3） ，然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的AB CDEF第 7 题图第 8 题图第 9
5、 题图第 4 页 共 12 页 中考数学创新题-折叠剪切问题形状应是( )答案：D【11】如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN（图甲） ，再把 B 点叠在折痕 MN 上的 处。B得到 （图乙） ，再延长 交 AD 于 F，所得到的 是（ ）RtABE EB EAFA. 等腰三角形 B. 等边三角形C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形答案：B【12】将一圆形纸片对折后再对折，得到图 1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（ ）答案：C【13】如图 1 所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）第 10 题图A B C D图 3图 1第 12
6、 题图第 5 页 共 12 页 中考数学创新题-折叠剪切问题答案：C【14】 如图，已知 BC 为等腰三角形纸片 ABC 的底边，ADBC ，AD=BC. 将此三角形纸片沿 AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ）A. 1 B. 2C. 3 D. 4答案：D五折叠后得结论【15】亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_.”答案：180【16】如图，把ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形
7、BCDE 内部时，则 与A之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规12律是（ ）A. B. A212C. D. 3 )(3答案：B【17】从边长为 a 的正方形内去掉一个边长为 b 的小正方形(如图 1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图 2)，上述操作所能验证的等式是（ ）A.a2 b2 =(a +b)(a -b) .(a b) 2 = a2 2ab+ b2 第 14 题图第 15 题图（1）第 17 题图（2）第 6 页 共 12 页 中考数学创新题-折叠剪切问题.(a + b) 2 = a2 +2ab+ b2 .a 2 + ab = a (a +b) 答案：A【
8、18】如图，一张矩形报纸 ABCD 的长 ABa cm，宽 BCb cm，E、F 分别是 AB、CD 的中点，将这张报纸沿着直线 EF 对折后，矩形 AEFD 的长与宽之比等于矩形 ABCD 的长与宽之比，则 ab 等于（ ） A B C D1:22:11:33:答案：A六折叠和剪切的应用【19】将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E，交 BC 于F，边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G（如图）.（1）如果 M 为 CD 边的中点，求证：DEDMEM=345；（2）如果 M 为 CD 边上的任意一点，设 AB=2a，问CMG 的周长是否与点
9、M 的位置有关？若有关，请把CMG 的周长用含 DM 的长 x 的代数式表示；若无关，请说明理由.答案：（1）先求出 DE= ， ， 后证之.AD8321ADE85（2）注意到DEMCMG，求出CMG 的周长等于 4a，从而它与点 M 在 CD 边上的位置无关.【20】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国的报纸一般都有一个共同的特征:每次对折后,所得的长方形和原长方形相似,问这些报纸的长和宽的比值是多少?答案： 1.2【21】用剪刀将形状如图 1 所示的矩形纸片 ABCD 沿着直线 CM 剪成两部分,其中 M 为 AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图 2 中的 RtBCE 就是拼成的
10、一个图形.A BCDEFMG第 19 题图EBACBA MCDM图3图4图1图2 第 21 题图第 7 页 共 12 页 中考数学创新题-折叠剪切问题(1)用这两部分纸片除了可以拼成图 2 中的 RtBCE 外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图 3、图 4 的虚框内 .(2)若利用这两部分纸片拼成的 RtBCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边 AB和 BC 的长分别为 a 厘米、b 厘米,且 a、b 恰好是关于 x 的方程的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积 .01)(2mx答案：（1）如图（2）由题可知 ABCDAE，又 BCBEABAEBC2AB， 即 ab
11、2由题意知 是方程 的两根, 01)(mx 12ma消去 a，得 0732解得 或7经检验：由于当 ， ，知 不符合题意，舍去.2123a21m符合题意.7m 8abS矩 形答：原矩形纸片的面积为 8cm2.【22】电脑 CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片” 。现为了生产某种 CPU 蕊片，需要长、宽都是 1cm 的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为 10.05cm。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片 66 张？请说明你的方法和理由。 （不计切割损耗）BACBA MCEM图3图 4E第 21 题答案图第 8 页 共 12 页 中考
12、数学创新题-折叠剪切问题答案：可以切割出 66 个小正方形。 方法一：（1）我们把 10 个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为 10.05cm 的圆内，如图中矩形 ABCD。AB1 BC10对角线 2AC1001101 205. （2）我们在矩形 ABCD 的上方和下方可以分别放入 9 个小正方形。GFHEDCBA新加入的两排小正方形连同 ABCD 的一部分可看成矩形 EFGH，矩形 EFGH 的长为 9，高为 3，对角线 90813922EG 25.。但是新加入的这两排小正方形不能是每排 10 个，因为：10102 5. （3）同理： 64582 2.可以在矩形
13、 EFGH 的上面和下面分别再排下 8 个小正方形，那么现在小正方形已有了 5 层。 （4）再在原来的基础上，上下再加一层，共 7 层，新矩形的高可以看成是 7，那么新加入的这两排，每排都可以是 7 个但不能是 8 个。 9472 205.136 （5）在 7 层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是 9，这两层，每第 9 页 共 12 页 中考数学创新题-折叠剪切问题排可以是 4 个但不能是 5 个。 9781692 205.5现在总共排了 9 层，高度达到了 9，上下各剩下约 0.5cm 的空间，因为矩形 ABCD的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了。102928272466
14、（个） 方法二：学生也可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一。可以按 9 个正方形排成一排，叠 4 层，先放入圆内，然后：（1）上下再加一层，每层 8 个，现在共有 6 层。（2）在前面的基础上，上下各加 6 个，现在共有 8 层。（3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共 10 层。这样共有：4928262166（个）【23】在一张长 12cm、宽 5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对 边中 点 的 方 法 折 出 菱 形 EFGH（ 见 方 案 一 ） ， 张 丰 同 学 沿 矩 形 的 对 角 线 AC 折 出 CAE= DAC， ACF= AC
15、B 的方法得到菱形 AECF（见方案二） ，请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？答案：（方案一）4152562AEHSS矩 形菱 形30(cm)（方案二）设 BE=x，则 CE=12-x 225AEBx由 AECF 是菱形，则 AE2=CE225(1)x42ABESS矩 形菱 形 =A DEHFB CG（方案一）A DEFB C（方案二）第 23 题图第 10 页 共 12 页 中考数学创新题-折叠剪切问题1925243.(m)比较可知，方案二张丰同学所折的菱形面积较大. 【24】正方形提供剪切可以拼成三角形。方法如下：仿上面图示的方法，及韦达下列问题：操作设计：（
16、1）如图（2） ，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。（2）如图（3）对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个原三角形等面积的矩形。答案：（1） （2）略。【25】如图，O 表示一圆形纸板，根据要求，需通过多第 24 题图（1）第 24 题图（2） 第 24 题图（3）方法一： 方法二：第 24 题答案图（1） 第 24 题答案图（2）第 25 题图O第 11 页 共 12 页 中考数学创新题-折叠剪切问题次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：第 1 次剪裁，将圆形纸板等分为 4个扇形；第 2 次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再
17、等分成 4 个扇形；以后按第 2次剪裁的作法进行下去.(1)请你在O 中，用尺规作出第 2 次剪裁后得到的 7 个扇形(保留痕迹，不写作法).(2)请你通过操作和猜想，将第 3、第 4 和第 n 次裁剪后所得扇形的总个数(S)填入下表.等分圆及扇形面的次数(n) 1 2 3 4 n所得扇形的总个数(S) 4 7 (3)请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的圆形纸板剪成 33 个扇形？为什么？答案：(1)由图知六边形各内角相等.(2) 七边形是正七边形.(3)猜想：当边数是奇数时(或当边数是 3，5，7，9，时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形.【26】如图，若把边长为 1 的正方形 AB
18、CD 的四个角(阴影部分)剪掉，得一四边形 A1B1C1D1.试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的 ，请说明理由(写出证明及计算过程 ).95答案：剪法是：当 AA1=BB1=CC1=DD1= 或 时，32四边形 A1B1C1D1 为正方形，且 S= .95在正方形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=1，A= B=C= D=90.AA 1=BB1=CC1=DD1，A 1B=B1C=C1D=D1A.D 1AA1A 1BB1B 1CC1C 1DD1.D 1A1=A1B1=B1C1=C1D1，AD 1A1= BA1B1=CB 1C1=DC 1D1.AA 1D+BA 1B1=90，即D 1A1B1=90.四边形 A1B1C1D1 为正方形.设 AA1=x，则 AD1=1x.正方形 A1B1C1D1 的面积= ，95S AA1D1 =9第 12 页 共 12 页 中考数学创新题-折叠剪切问题即 x(1x)= ，219整理得 9x29x+2=0.解得 x1= ，x 2= .3当 AA1= 时，AD 1= ，当 AA1= 时，AD 1= .当 AA1=BB1=CC1=DD1= 或 时，32四边形 A1B1C1D1 仍为正方形且面积是原面积的 .95
