1、第 1 页 共 8 页1向量的概念向量既有大小又有方向的量。向量一般用 来表示，或用有向线段的起点与终点cba,的大写字母表示，如： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j几何表示法 ， ；坐标表示法 。向量AB ),(yxjia的大小即向量的模（长度） ，记作| | 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j即向量的大小，记作 |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。零向量单位向量模为 1 个单位长度的向量，向量 为单位向量 1。0a0a平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作 。由于向
2、量可以进行任意的平移(即自由向量) ，ab平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。相等向量长度相等且方向相同的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j相等向量经过平移后总可以重合，记为 。大小相等，ba方向相同 。),(),(21yx212向量的运算（1）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。设 ，则 + = = 。,ABaCbaABC向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾
3、相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连” 。ABCDPQRA（2）向量的减法 相反向量：与 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量。aa记作 ,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i） = ； (ii) )(a+( )=( )+ = ；(iii)若 、 是互为相反向量，则 = , = , + = 。a0bbb0第 2 页 共 8 页向量减法向量 加上 的
4、相反向量叫做 与 的差，abab记作： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求两个向量差的运算，叫做向量的减法。)(作图法： 可以表示为从 的终点指向 的终点的向量（ 、 有共同起点） 。aab（3）实数与向量的积实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：a（） ；（）当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向0a0a相反；当 时， ，方向是任意的。a数乘向量满足交换律、结合律与分配律。3两个向量共线定理：向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 = 。bba4平面向量的基本定理如果 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向
5、量 ，有且只21,e 有一对实数 使： 其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向21ea21,e量的一组基底。5平面向量的坐标表示（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。（2）平面向量的坐标运算：若 ，则 ；12,axybxy 12,abxy若 ，则 ；BA2A若 =(x,y)，则 =( x, y)；a若 ，则 。12,axybxy121/0abxy向量的数量积（1）两个非零向量的夹角已知非零向量 a 与 a，作 ， ，则A A（）叫 与 的夹OABbab角；第 3 页 共 8 页说明：（1
6、）当 时， 与 同向；ab（2）当 时， 与 反向；（3）当 时， 与 垂直，记 ；abab（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围 0180。（2）数量积的概念已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 = cos 叫做 与ababa的数量积（或内积） 。规定 ；b0向量的投影： cos = R ，称为向量 在 方向上的投影。投影的绝对值b|aba称为射影；（3）数量积的几何意义： 等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积。b（4）向量数量积的性质；平面向量数量积的运算律向量的夹角：cos = = 。cos,ab 221yxyx当且仅当两个非零向量 与 同方向时，=0 0，当且
7、仅当 与 反方向时 =180 0，aab同时 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。0（5）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量 ，则 = 。12(,)(,)axybab12xy（6）垂直：如果 与 的夹角为 900 则称 与 垂直，记作 。ab两个非零向量垂直的充要条件： O ，平面向量021yx数量积的性质。（7）平面内两点间的距离公式C第 4 页 共 8 页设 ，则 或 。),(yxa22|yxa2|yxa如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 、 ，那么),(1x),(2y(平面内两点间的距离公式 )。2121)()(| yxa例一如图 12，正六边形 ABCDEF 中，
8、 ( )BA CD EF 图 12A0 B.BE C. D.AD CF 【解析】 ，所以选 D.BA CD EF BA AF BC BF BC CF 练习 1 如图正六边形 ABCDEF 中， ( ) BA CD EF A0 B. BE C. D. AD CF 例二 已知向量 a( ，1)，b(0 ，1)，c(k， )若 a2b 与 c 共线，则3 3k_. 【解析】因为 a2b( ，3)，由 a2b 与 c 共线，有 ，可得 k1.3k3 33练习1 已知向量 a( ，1)，b(0，1)，c(k， )若 a2b 与 c 共线，则3 3k_.2 课标文数 3.F22011广东卷 已知向量 a(
9、1,2)，b(1,0)，c(3,4)若 为实数，(a b)c，则 ( )A. B. C 1 D214 123 课标文数 13.F22011湖南卷 设向量 a，b 满足| a|2 ，b(2,1) ，且 a 与 b 的方向5相反，则 a 的坐标为_例 3 设 A1，A 2，A 3，A 4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (R) ，A1A3 A1A2 (R)，且 2，则称 A3，A 4 调和分割 A1，A 2，已知平面上的点 C，DA1A4 A1A2 1 1调和分割点 A，B，则下面说法正确的是( )第 5 页 共 8 页AC 可能是线段 AB 的中点BD 可能是线段 AB 的中点CC、D 可
10、能同时在线段 AB 上DC、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 来源:Zxxk.Com【解析】 若 C、D 调和分割点 A；B，则 (R) ， (R) ，且 AC AB AD AB 12.1对于 A：若 C 是线段 AB 的中点，则 0，故 A 选项错误；同理 BAC 12AB 12 1选项错误；对于 C：若 C、A 同时在线段 AB 上，则 02，C 选项错误；对于1 1D：若 C、D 同时在线段 AB 的延长线上，则 1， 1 1 22a b 21a b|a b| |a| |b|12 coscos ， 所以 p1 为真命题，p 2 为假命题|a|b|12 0，23)又因为 1 22ab
11、 21a b coscos ，所以 p4 为|a b| |a| |b|12 |a|b| 12 (3，真命题，p 3 为假命题练习1 课标理数 10.F32011辽宁卷 若 a，b，c 均为单位向量，且 ab0，(ac )(bc) 0，则|ab c|的最大值为 ( )A. 1 B 1 C. D 22 22 课标文数 3.F32011辽宁卷 已知向量 a(2,1)，b (1，k)，a(2ab) 0，则k( )A12 B6 C6 D123 课标文数 13.F32011课标全国卷 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量 ab 与向量 kab 垂直，则 k_.4 课标数学 10.F
12、32011江苏卷 已知 e1，e 2 是夹角为 的两个单位向量，23ae 12e 2，bk e1e 2, 若 ab0，则实数 k 的值为_5 大纲理数 12.F32011重庆卷 已知单位向量 e1，e 2 的夹角为 60，则|2e1 e2|_.6 大纲文数 5.F32011重庆卷 已知向量 a(1，k) ，b(2,2) ，且 ab 与 a 共线，那么 ab 的值为( )A1 B2 C3 D47 大纲 理数 12.F42011全国卷 设向量 a，b，c 满足|a| b|1，a b ， ac，bc60 ，则|c| 的最大值等于( )12A2 B. 3C. D128 2 011北京海淀一模 在四边形
13、 ABCD 中， ，且 0，则四边形 ABCDAB DC AC BD 是( )A矩形 B菱形 C直角梯形 D等腰梯形例 7 已知 a，b 是不共线的向量， ab， a b，R，那么 A、B、CAB AC 三点共线的充要条件为( )A2B 1C1D 1第 8 页 共 8 页练习12011淄博二模 设平面向量 a(1,2)，b(2，y)，若 a b，则|3 ab|等于( )A. 5B. 6C. 17D. 2622011惠州三调 已知ABC 中，点 A、B、C 的坐标依次是 A(2，1)，B(3,2) ，C(3，1)，BC 边上的 高为 AD，则 的坐标是_AD 32011南昌期末 已知在平面直角坐标系中，O(0,0) ，M (1,1)，N(0,1)，Q(2,3) ，动点P(x， y)满足不等式 0 1,0 1，则 z 的最大值为OP OM OP ON OQ OP _42011合肥一模 若 e1，e 2是夹角为 的单位向量，且 a2e 1e 2，b3e 12e 2，则3ab( )A1 B4C72D.7252011合肥质检 已知平面向量 a，b，c 满足 abc0，且 a 与 b 的夹角为 135，c 与 b 的夹角为 120，|c|2，则 |a|_.
