1、对称问题【知识要点】1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.设 P（x 0，y 0） ，对称中心为 A（a，b） ，则 P 关于 A 的对称点为 P（2ax 0，2by 0）.2.点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直” “平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点 P（x 0，y 0）关于直线 y=kx+b 的对称点为 P（x ，y） ，则有k=1，0=k +b，2y0x特殊地，点 P（x 0，y 0）关于直线 x=a 的对称点为 P（2 ax 0
2、，y 0） ；点 P（x 0，y 0）关于直线 y=b 的对称点为 P （x 0， 2by 0）.3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：（ 1） 曲 线 f（ x， y） =0 关 于 已 知 点 A（ a， b） 的 对 称 曲 线 的 方 程 是 f（ 2a x， 2b y） =0.（2）曲线 f（x ，y）=0 关于直线 y=kx+b 的对称曲线的求法：设曲线 f（x，y）=0 上任意一点为 P（x 0，y 0） ，P 点关于直线 y=kx+b 的对称点为 P（y，x） ，则由（2）知，P
3、 与 P的坐标满足k=1，0x=k +b， 2y0x代 入 已 知 曲 线 f（ x， y） =0， 应 有 f（ x0， y0） =0.利 用 坐 标 代 换 法 就 可 求 出 曲 线 f（ x， y） =0 关 于 直 线 y=kx+b的 对 称 曲 线 方 程 .4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点（x，y）关于 x 轴的对称点为（ x，y） ；（2）点（x，y）关于 y 轴的对称点为（ x，y） ；（3）点（x，y）关于原点的对称点为（x ，y） ；（4）点（x，y）关于直线 x y=0 的对称点为（y，x） ；（5）点（x，y）关于直线 x+y=0 的对称点为（
4、y，x） .【典型例题】【例 1】 求直线 a：2x+y 4=0 关于直线 l：3x+4y1=0 对称的直线 b 的方程.2x+y4=0，3x+4y1=0， 方法一：设直线 b 的斜率为 k，又知直线 a 的斜率为2，直线 l 的斜率为 .43则 = .解得 k= .代入点斜式得直线 b 的方程为)2(431)43(1k1可求出x、y.从中解出 x0、y 0，解：由 解得 a 与 l 的交点 E（3，2） ，E 点也在 b 上.y（2）= （x 3） ，即 2x+11y+16=0.12方法二：设直线 b 上的动点 P（x，y ） ，直线 a 上的点 Q（ x0，42x 0） ，且 P、Q 两点
5、关于直线l：3x+4 y1=0 对称，则有= ，5|4|5|1)4(00x= . 消去 x0，得 2x+11y+16=0 或 2x+y4=0（舍）.0)2(xy3【例 2】 光线从点 A（3，4）发出，经过 x 轴反射，再经过 y 轴反射，光线经过点 B（2 ，6） ，求射入 y 轴后的反射线的方程.剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.解：A（3，4）关于 x 轴的对称点 A1（3，4）在经 x 轴反射的光线上，同样 A1（3，4）关于 y 轴的对称点 A2（3，4）在经过射入 y 轴的反射线上，k = =2. 故所求直线方程为 y6=2（x+2） ， 即 2x+y2=0.B
6、26【例 3】 已知点 M（3，5） ，在直线 l：x2y +2=0 和 y 轴上各找一点 P 和 Q，使MPQ 的周长最小.剖析：如下图，作点 M 关于直线 l 的对称点 M1，再作点 M 关于 y 轴的对称点 M2，连结 MM1、MM 2，连线 MM1、MM 2 与 l 及 y 轴交于 P 与 Q 两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的MPQ 的周长最小.lO xyPQM MM12解：由点 M（3，5）及直线 l，可求得点 M 关于 l 的对称点 M1（5，1）.同样容易求得点 M 关于 y 轴的对称点 M2（3，5）.据 M1 及 M2 两点可得到直线 M1M2 的方程为 x+2y
7、7=0.令 x=0，得到 M1M2 与 y 轴的交点 Q（0， ）.7x+2y7=0，x2y+2=0 ， 故点 P（ ， ） 、Q（0， ）即为所求.254927深化拓展 .已知点 A（1，3） 、B（5，2） ，在 x 轴上找一点 P，使得 |PA|+|PB|最小，则最小值为_，P 点的坐标为_.答案： （ ，0）47【巩固练习】1.已知点 M（a，b）与 N 关于 x 轴对称，点 P 与点 N 关于 y 轴对称，点 Q 与点 P 关于直线 x+y=0 对称，则点 Q 的坐标为A.（a，b） B.（b，a）C.（a，b） D.（b，a）解析：N（a，b） ，P（a ，b） ，则 Q（b，a）
8、 答案：B2.曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是A.y2=84x B.y2=4x8 C.y2=164x D.y2=4x16解析：设曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线为 C，在曲线 C 上任取一点 P（x，y） ，则 P（x，y）关于直线 x=2 的对称点为 Q（4x，y）.因为 Q（4x，y）在曲线 y2=4x 上， 所以 y2=4（4x） ，即 y2=164x.解方程组 得交点 P（ ， ）.2549答案：C3.已知直线 l1：x +my+5=0 和直线 l2：x+ny+p=0，则 l1、l 2 关于 y 轴对称的充要条件是A. = B.p=5 C.m=n 且
9、p=5 D. = 且 p=5m5n mn解析：直线 l1 关于 y 轴对称的直线方程为（x）+my+5=0，即 xmy5=0，与 l2 比较，m= n 且 p=5.反之亦验证成立.答案：C4.点 A（4，5）关于直线 l 的对称点为 B（2，7） ，则 l 的方程为_.解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线.答案：3xy+3=05.设直线 x+4y 5=0 的倾斜角为 ，则它关于直线 y3=0 对称的直线的倾斜角是_.解析：数形结合.答案： 6.已知圆 C 与圆（x 1） 2+y2=1 关于直线 y=x 对称，则圆 C 的方程为A.（x+1） 2+y2=1 B.x2+y2=1C.x2+（
10、y+1） 2=1 D.x2+（y1） 2=1解析：由 M（x，y）关于 y=x 的对称点为（y ，x） ，即得 x2+（y+1） 2=1.答案：C7.与直线 x+2y 1=0 关于点（1，1）对称的直线方程为A.2xy5=0 B.x+2y3=0C.x+2y+3=0 D.2xy1=0解析：将 x+2y1=0 中的 x、y 分别代以 2x，2y，得（ 2x）+2（2y）1=0，即 x+2y+3=0.故选 C.答案：C8.两直线 y= x 和 x=1 关于直线 l 对称，直线 l 的方程是 _.3解 析 ： l 上 的 点 为 到 两 直 线 y= x 与 x=1 距 离 相 等 的 点 的 集 合
11、 ， 即 = x 1 ， 化简得3 2)3(1|yxx+ y2=0 或 3x y2=0.答案：x+ y 2=0 或 3x y2=09.直线 2xy4=0 上有一点 P，它与两定点 A（4，1） 、B（3，4）的距离之差最大，则 P 点的坐标是_.解析：易知 A（4，1） 、B（3，4）在直线 l：2xy4=0 的两侧.作 A 关于直线 l 的对称点 A1（0，1） ，当 A1、 B、P 共线时距离之差最大.答案：（5，6）10.已知ABC 的一个顶点 A（1，4） ，B、C 的平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0 ，l 2： x+y+1=0，求边 BC 所在直线的方程.解：设点 A（1，
12、4）关于直线 y+1=0 的对称点为 A（x 1，y 1） ，则 x1=1，y 1=2（1）（4）=2，即 A（1，2）.在直线 BC 上，再设点 A（1，4）关于 l2：x+y+1=0 的对称点为 A（x 2，y 2） ，则有（1）=1，2xy+ +1=0.21x4yx2=3，y2=0，即 A（3，0）也在直线 BC 上，由直线方程的两点式得 = ，即 x+2y3=0 为边 BC 所在直线20y13的方程.11.求函数 y= + 的最小值.92x4182x解：因为 y= + ，)30()( 22)50()(所以函数 y 是 x 轴上的点 P（ x，0）与两定点 A（0，3） 、 B（4，3）
13、距离之和.y 的最小值就是|PA |+|PB|的最小值.由平面几何知识可知，若 A 关于 x 轴的对称点为 A （0，3） ，则|PA|+|PB|的最小值等于|AB|，即 =4 . 所以 ymin=4 .22)5()4( 512.直 线 y=2x 是 ABC 中 C 的 平 分 线 所 在 的 直 线 ， 若 A、 B 坐 标 分 别 为 A（ 4， 2） 、 B（3，1） ，求点 C 的坐标，并判断ABC 的形状.解 ： 由 题 意 ， 点 A 关 于 直 线 y=2x 的 对 称 点 A 在 BC 所 在 直 线 上 ， 设 A 点 坐 标 为 （ x1， y1） ， 则 x1、y 1 满
14、足= ，即 x1=2y 1. 41xy=2 ，即 2x1y 110=0. 2解两式组成的方程组，得x1=4，y1=2. BC 所在直线方程为 = ， 即 3x+y10=0.12y4x3x+y10=0， x=2，y=2x， y=4. 所求 C 点坐标为（2，4）.由题意|AB| 2=50，|AC| 2=40，|BC |2=10， ABC 为直角三角形.13. 已知两点 A（2，3） 、B（4，1） ，直线 l：x+2y2=0，在直线 l 上求一点 P.（1）使|PA|+|PB|最小；（2）使|PA| PB|最大.解：（1）可判断 A、B 在直线 l 的同侧，设 A 点关于 l 的对称点 A1 的
15、坐标为（x 1，y 1）.+2 2=0，1x1y（ ）= 1.231xyx1= ，5y1= .9由两点式求得直线 A1B 的方程为 y= （x4）+1，直线 A1B 与 l 的交点可求得为 P（ ， ）.17 2563由平面几何知识可知|PA|+|PB| 最小.（2）由两点式求得直线 AB 的方程为 y1=（x4） ，即 x+y5=0.解得解方程组 得则有解得直线 AB 与 l 的交点可求得为 P（8，3） ，它使|PA| |PB|最大.14. 直线 l 经过点（1，1） ，若抛物线 y2=x 上存在两点关于直线 l 对称，求直线 l 斜率的取值范围.解:设抛物线上关于直线 l：y1=k（x 1）对称的两点为（y 12，y 1） 、 （y 22，y 2） ， =21y1=k（ 1）221yy1+y2=k，y1y2= + ，y 1、y 2 是方程 y2+ky+ + =0 的两根.k12由 =k24（ + ）0 0 2 k0.k)2)(2则
