1、5.3 平面向量的数量积2014 高考会这样考 1.考查两个向量的数量积的求法；2.利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模；3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直复习备考要这样做 1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法；2.理解数量积的运算性质；3.利用数量积解决向量的几何问题1 平面向量的数量积已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 ，则数量| a|b|cos 叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积) ，记作 ab| a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为_0_.两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是 ab0，两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是ab|a
2、|b|.2 平面向量数量积的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a| 与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积3 平面向量数量积的重要性质(1)eaae|a|cos ；(2)非零向量 a，b，a bab0；(3)当 a 与 b 同向时，ab|a|b|；当 a 与 b 反向时，ab|a|b|，aaa 2，|a| ；aa(4)cos ；ab|a|b|(5)|ab|_|a|b|.4 平面向量数量积满足的运算律(1)abba(交换律 )；(2)(a)ba(b)(ab)ab( 为实数) ；(3)(ab )cacbc.5 平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a(x 1，y 1)，b( x
3、2， y2)，则 abx 1x2y 1y2，由此得到(1)若 a(x，y)，则|a| 2x 2 y2 或|a| .x2 y2(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 A、B 两点间的距离|AB| | | .AB x1 x22 y1 y22(3)设两个非零向量 a，b，a( x1，y 1)，b(x 2，y 2)，则 abx 1x2y 1y20.难点正本 疑点清源1 向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量， 这个数量的大小与两个向量的 长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时 ，一定要注意两向量 夹角的范 围2 ab0 是两个向量 ab 夹角为锐角的必要不充分条件
4、因为若a，b0， 则 ab0，而a，b 夹角不是锐角；另外还要注意区分 ABC 中， 、 的夹角与角 B 的关系AB BC 3 计算数量积时利用数量积 的几何意义是一种重要方法1 已知向量 a 和向量 b 的夹角为 135，|a|2，|b|3，则向量 a 和向量 b 的数量积ab_.答案 3 2解析 ab|a|b |cos 13523 3 .( 22) 22 已知 ab，|a| 2，|b| 3，且 3a2b 与 ab 垂直，则实数 的值为_答案 32解析 由 ab 知 ab0.又 3a2b 与 ab 垂直，(3a2b)(ab) 3 a22b 232 22 320. .323 已知 a(2,3)
5、，b(4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为_答案 655解析 设 a 和 b 的夹角为 ，|a|cos | a|ab|a|b| .2 4 37 42 72 1365 6554 (2011辽宁改编)已知向量 a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则 k_.答案 12解析 由已知得 a(2ab) 2a 2ab2(41) (2k)0，k12.5 (2012陕西改编)设向量 a(1，cos ) 与 b(1,2cos )垂直，则 cos 2_.答案 0解析 a(1，cos )，b(1,2cos )ab，ab12cos 20，cos 2 ，cos 22cos 21110.12题型一 平面向量的数
6、量积的运算例 1 (1)在 RtABC 中，C 90，AC4，则 _.AB AC (2)若向量 a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8a b)c30，则 x_.思维启迪：(1)由于C 90，因此选向量 ， 为基底CA CB (2)先算出 8ab，再由向量的数量积列出方程，从而求出 x.答案 (1)16 (2)4解析 (1) ( )( ) 16.AB AC CB CA CA CB CA CA2 (2)a(1,1)，b(2,5) ，8ab(8,8)(2,5)(6,3) 又(8ab)c30，(6,3)(3 ，x)183x30.x4.探究提高 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利
7、用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义本题从不同角度 创造性地解题，充分利用了已知条件(2012北京)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 的值为 _； 的最大值为_DE CB DE DC 答案 1 1解析 方法一 以射线 AB，AD 为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则E(t,0)，t0,1，则 ( t，1) ， (0，1)，所以 (t， 1)(0，1)1.DE CB DE CB 因为 (1,0) ，所以 (t， 1)(1,0)t 1，DC DE DC 故 的最大值为 1.DE DC 方法二
8、 由图知，无论 E 点在哪个位置， 在 方向上的投影都是DE CB CB1， | |11，DE CB CB 当 E 运动到 B 点时， 在 方向上的投影最大即为 DC1，( )max| |11.DE DC DE DC DC 题型二 向量的夹角与向量的模例 2 已知| a|4，|b| 3，(2a3b)(2ab)61.(1)求 a 与 b 的夹角 ；(2)求|ab| ；(3)若 a， b，求ABC 的面积AB BC 思维启迪：运用数量积的定义和|a| .aa解 (1)(2 a 3b)(2ab) 61，4| a|2 4ab 3|b|261.又|a |4 ，|b|3，644ab2761， ab6.co
9、s .ab|a|b| 643 12又 0， .23(2)可先平方转化为向量的数量积|a b|2 (ab) 2| a|22ab |b|24 22(6)3 213，|a b | .13(3) 与 的夹角 ，ABC .AB BC 23 23 3又| | |a|4，| |b|3，AB BC S ABC | | |sinABC 43 3 .12AB BC 12 32 3探究提高 (1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a| 要引起足够重视，它是求距离常用的公式aa(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的(1)已知向
10、量 a、b 满足|a|1，| b|4，且 ab2，则 a 与 b 的夹角为_答案 3解析 cosa，b ，ab|a|b| 12a，b .3(2)已知向量 a(1， )，b(1,0)，则|a2b|_.3答案 2解析 |a2b| 2a 24ab4 b244144，|a 2 b|2.题型三 向量数量积的综合应用例 3 已知 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(01)，a 与 b 的夹角是 45.(1)求 b；(2)若 c 与 b 同向，且 a 与 ca 垂直，求 c.解 (1)ab2n2， |a| ，|b| ，5 n2 4cos 45 ，3n 216n120，2n 25 n2 4 2
11、2n6 或 n (舍)，b (2,6)23(2)由(1)知，ab10，|a| 25.又 c 与 b 同向，故可 设 c b (0)，(ca)a0，ba|a| 20， ，|a|2ba 510 12c b(1,3)129 (14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1， 2)，B(2，3) ，C (2，1)(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数 t 满足( t ) 0，求 t 的值AB OC OC 解 (1)由题设知 (3,5) ， ( 1,1)，则AB AC (2,6)， (4,4)AB AC AB AC 所以| | 2 ，| |4 .AB AC
12、 10 AB AC 2故所求的两条对角线长分别为 4 ，2 .2 10(2)由题设知 ( 2， 1)， t (32t,5t )OC AB OC 由( t ) 0，得(32t,5t )(2， 1)0，AB OC OC 从而 5t11，所以 t .115B 组 专项能力提升(时间：35 分钟， 满分：58 分)一、填空题(每小题 5 分，共 30 分)1 (2012湖南改编)在ABC 中，AB2，AC 3， 1，则 BC_.AB BC 答案 3解析 1，且 AB2，AB BC 1| | |cos(B)，| | |cos B1.AB BC AB BC 在ABC 中，| AC|2|AB| 2|BC|
13、22| AB|BC|cos B，即 94|BC| 22( 1)|BC | .32 已知|a| 6 ，|b|3，ab 12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 _答案 4解析 ab 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上的投影的乘积，得 ab| b|a|cosa，b，即123|a|cosa，b，|a |cosa，b4.3 (2012江西改编)在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则 _.|PA|2 |PB|2|PC|2答案 10解析 ，PA CA CP | |2 2 2 2.PA CA CP CA CP ，| |2 22 2.PB CB
14、 CP PB CB CP CB CP | |2 | |2PA PB ( 2 2)2 ( )2 2CA CB CP CA CB CP 22 2 2 2.AB CP CD CP 又 216 2， 2 ，AB CP CD CP 代入上式整理得| |2| |210| |2，故所求 值为 10.PA PB CP 4 (2012安徽)设向量 a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若( ac)b，则|a| _.答案 2解析 利用向量数量积的坐标运算求解ac(1,2 m)(2，m)(3,3 m)(ac)b，(ac )b(3,3m)(m1,1)6m30，m .a(1，1)，|a| .12 25 (2012
15、江苏)如图，在矩形 ABCD 中，AB ，BC2，点 E 为 BC 的2中点，点 F 在边 CD 上，若 ，则 的值是_AB AF 2 AE BF 答案 2解析 方法一 坐标法以 A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B( ，0)，2E( ，1)，F(x,2)2故 ( ，0)， (x,2)， ( ，1)， ( x ，2)，AB 2 AF AE 2 BF 2 ( ，0)(x,2) x.AB AF 2 2又 ，x1. (1 ，2)AB AF 2 BF 2 ( ，1)(1 ，2) 22 .AE BF 2 2 2 2方法二 用 ， 表示 ， 是
16、关键AB BC AE BF 设 x ，则 (x1) .DF AB CF AB ( )AB AF AB AD DF ( x )x 22x ，AB AD AB AB 又 ，2x ，AB AF 2 2x . .22 BF BC CF BC ( 22 1)AB ( )AE BF AB BE BC ( 22 1)AB (AB 12BC )BC ( 22 1)AB 2 2(22 1)AB 12BC 2 4 .(22 1) 12 26 (2012上海)在矩形 ABCD 中，边 AB、AD 的长分别为 2、1，若 M、N 分别是边BC、CD 上的点，且满足 ，则 的取值范围是_|BM |BC |CN |CD
17、| AM AN 答案 1,4解析 如图所示，设 |BM |BC |CN |CD |(01) ，则 ，BM BC ， CN CD DN CN CD (1) ，CD ( )( )AM AN AB BM AD DN ( ) (1) AB BC AD CD (1) AB CD BC AD 4(1 )43 ，当 0 时， 取得最大值 4；AM AN 当 1 时， 取得最小值 1.AM AN 1,4AM AN 二、解答题(共 28 分)7 (14 分) 设平面上有两个向量 a(cos ，sin ) (0360)，b .( 12，32)(1)求证：向量 ab 与 ab 垂直；(2)当向量 ab 与 a b
18、的模相等时，求 的大小3 3(1)证明 (a b)(ab) a 2b 2|a |2 |b|2(cos 2sin 2) 0，(14 34)故向量 ab 与 ab 垂直(2)解 由| ab| a b|，两边平方得3 33|a|22 ab|b| 2|a| 22 ab3|b| 2，3 3所以 2(|a|2|b| 2)4 ab0，而| a|b| ，3所以 ab0，即 cos sin 0，( 12) 32即 cos(60)0，60k18090， kZ，即 k 180 30，kZ ，又 0 360，则 30或 210.8 (14 分) 设两个向量 e1、e 2 满足| e1|2，| e2|1，e 1、e 2的夹角为 60，若向量 2te17e 2 与向量 e1t e2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围解 e 1e2|e 1|e2|cos 6021 1，12(2te 1 7e2)(e1te 2)2te 7te (2t 27)e 1e221 28t7t2t 272t 215t 7.由已知得 2t215t70，解得7t .12当向量 2te17 e2 与向量 e1t e2 反向时，设 2te17e 2 (e1te 2)，0，则Error! 2t 2 7t 或 t (舍)142 142故 t 的取值范围为(7， )( ， )142 142 12
