1、例 1、已知抛物线 2ypx上任一点到焦点的距离比到 y 轴距离大 1。（1）求抛物线的方程；（2）设 A，B 为抛物线上两点，且 AB 不与 x 轴垂直，若线段 AB 的垂直平分线恰过点 M（4，0） ，求 的面积的最大值。2、如图，已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形 F1B1F2B2是一个面积为 8 的正方形(记为 Q ).(I)求椭圆 C 的方程；(II)设点 P 是椭圆 C 的左准线与 X 轴的交点，过点 P 的直线 L 与椭圆 C 相交于 M,N 两点、.当线段 MN 的中点 G 落在正方形 Q 内(包括边界）时，求直线 L 的斜率
2、的取值范围.2012 届高考数学压轴题预测专题 3 解析几何考点一 曲线（轨迹）方程的求法1.设 )0(1),(),( 221 baxyxByA是 椭 圆 上的两点，满足 0,ab，椭圆的离心率 ,23e短轴长为 2，0 为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线 AB 过椭圆的焦点 F（0，c） ， （c 为半焦距） ，求直线 AB 的斜率 k 的值；（3）试问：AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.解析：本例（1）通过 32e， b，及 ,a之间的关系可得椭圆的方程；（2）从方程入手，通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理；（3）要注意特殊与一般的关
3、系，分直线的斜率存在与不存在讨论。答案：（1）232.1, 2.3cabbeae椭圆的方程为 4xy （2）设 AB 的方程为 3k由 41,4320132)4(143 2122 kxkxkxkxyk由已知 43)(43)1()3)(40 2121212121 xkxkkxxaybkk解 得,3)(42 2 （3）当 A 为顶点时，B 必为顶点. SAOB =1 当 A， B 不为顶点时，设 AB 的方程为 y=kx+b 42042)4(14 1222 kbxbkxkxybk 得 到21k :04)(04212121 代 入 整 理 得bkxxyxkb 416|)(|2|2 221211 kb
4、xxbxS|4bk所以三角形的面积为定值.点评：本题考查了直线与椭圆的基本概念和性质，二次方程的根与系数的关系、解析几何的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。2.在直角坐标平面中，ABC 的两个顶点为 A（0，1） ，B（0, 1）平面内两点 G、M 同时满足 0GABC , |M= |= |C G A （1）求顶点 C 的轨迹 E 的方程（2）设 P、Q、R、N 都在曲线 E 上 ，定点 F 的坐标为（ 2, 0） ，已知 PF Q , F 且 F= 0.求四边形 PRQN 面积 S 的最大值和最小值.解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的位置关系，
5、弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。答案：（1）设 C ( x , y )， 2GABO,由知 2GCO,G 为 ABC 的重心 ， G( 3, ) 由知 M 是ABC 的外心， M 在 x 轴上由知 M（ 3x，0） ，由 | |CA 得 22()1()33xxy 化简整理得：2xy（x0） 。 （2）F（ ，0 ）恰为213的右焦点设 PQ 的斜率为 k0 且 k ，则直线 PQ 的方程为 y = k ( x 2)由 222()(31)63030ykxkxk设 P(x1 , y1) ，Q (x 2 ,y2 ) 则 x1 + x2 = 21, x1x2 = 63k 则| PQ | =
6、 k (4= 21 22663)311k= 2()k RNPQ,把 k 换成 1得 | RN | = 23(1)kS = 12| PQ | | RN |=26()3k= 2813()0k) 218()02kS22 ， 16FM Poy x32 S 0， 0，则MBP 为锐角，从而MBN 为钝角，故点 B 在以 MN 为直径的圆内 解法 2：由（）得 A（2，0） ，B（2，0） 设 M（ x1， y1） ，N（ x2， y2） ，则20） ，则 2(,)Mt，F(1,0)。因为 M、F、N 共线，则有 FNk，所以 214tt，解得 2t，所以 k，因而，直线 MN 的方程是 2(1)yx。（
7、3） “逆向问题”一：已知抛物线 C： 2(0)p的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线 C 于 P、Q 两点，设点 P 关于 x 轴的对称点为 R，则直线 RQ 必过定点 (,0)2pA。证明：设过 F 的直线为 y=k(x 2)， 1(,)Pxy， ,Q，则 1,Rxy由24()yxpk得 2221(4)0kxpk，所以214px， 11()2RAxypx， 21211()()()2QA kxkpppxx= RA，所以直线 RQ 必过焦点 A。过点 (,0)的直线交抛物线 C 于 P、Q 两点，FP 与抛物线交于另一点 R，则 RQ垂直于 x 轴。已知抛物线 C： 2(0)ypx，过点 B
8、(m,0 )（m0）的直线交抛物线 C 于 P、Q两点，设点 P 关于 x 轴的对称点为 R，则直线 RQ 必过定点 A(-m,0)。“逆向问题”二：已知椭圆 C：21yab的焦点为 F1(-c,0)，F 2(c,0)，过 F2的直线交椭圆 C 于 P、Q 两点，设点 P 关于 x 轴的对称点为 R，则直线 RQ 必过定点 ,0)aAc。“逆向问题”三：已知双曲线 C： 21yab的焦点为 F1(-c,0)，F 2(c,0)，过 F2的直线交双曲线 C 于 P、Q 两点，设点 P 关于 x 轴的对称点为 R，则直线 RQ 必过定点 (,0)ac。考点四 圆锥曲线的应用（1） 圆锥曲线的标准方程
9、和几何性质与平面向量的巧妙结合。6.（2004 年全国高考天津理科 22 题）椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为 2，相应于焦点 F（C，0） （C0）的准线 L 与 X 轴相交于点 A， F2，过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点。（1）求椭圆的方程及离心率； （2）若 OPO Q = 0，求直线 PQ 的方程；（3）设 A P = AQ（ 1） ，过点 P 且平行与准线 L 的直线与椭圆相交于另一点M，证明 FM = - FQ 。分析：（1）要求椭圆的方程及离心率，很重要的一点就是要熟悉这种二次曲线的标准方程的中心、长轴长、短轴长、焦点坐标、标准方程、离心率、焦距等有关概念及几何性质
10、。解：（1）根据已知条件“椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为 2，相应于焦点F（C，0） （C0）的准线 L 与 X 轴相交于点 A。 ” 可设椭圆的方程为 12yax （a2） ，从而有 22ca；又因 ,2FO可以有 ）（ c2，联系以上这两个关于 a、c 的方程组并解得 a= 6，c=2，所以椭圆的方程为 16yx，离心率 e=26。（2）根据已知条件 “O PO Q = 0” ，我们可设 P1,yx ，Q 2,yx，把两个向量的数量积的形式转化为坐标表示的形式，再根据直线 PQ 经过 A（3，0） ，只须求出直线PQ 的斜率 K 即可求出直线 PQ 的方程。而 P、Q 两点又在椭圆上，
11、因此，我们容易想到通过直线 y=k（x-3）与椭圆 126yx，联系方程组消去一个未知数 y（或 x）得0718322kxk，并利用一元二次方程的根与系数关系结合01y及 3212x不难求出 k= 5，这里应特别注意 K 的值要保证 0 成立，否则无法保证直线 PQ 与椭圆有两个交点。（3）要证 F M =- F Q ，我们容易想到通过式中两个向量 FM、FQ 的坐标之间关系来谋求证题的方法。为此我们可根据题意“过点 P 且平行为准线 L 的直线与椭圆相交于另一点 M”，求得点 M 坐标为 1,yx。又因 AP=AQ，易知 FM、FQ 的两个纵坐标已经满足21y，所以现在要考虑的问题是如何证明
12、 FM、FQ 的两个横坐标应该满足xx，事实上， 21,3,3yxAQAP注意到 1，解得 152 因 F（2，0） ，M 1,yx，故 FM=11,yx= 22,13yx。= 1,= 2,又 FQ=22,yyx，因此 FM=-FQ。点评：本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及相关概念，直线方程、平面向量的坐标表示和向量的数量积，多元二次方程组解法、曲线和方程的关系、直线与椭圆相交等解析几何的基础思想方法，以及分析问题和综合解题能力。把两个向量之间的关系，转化为两个向量坐标之间的关系，再通过代数运算的方法来解决有关向量的问题是一种常用的解题手段。7.（江苏卷）已知 2|),02(,11 PFF
13、满 足点 ，记点 P 的轨迹为 E.（1）求轨迹 E 的方程；（2）若直线 l 过点 F2且与轨迹 E 交于 P、 Q 两点.（i）无论直线 l 绕点 F2怎样转动，在 x 轴上总存在定点 )0,(mM，使MQP恒成立，求实数 m 的值.（ii）过 P、 Q 作直线 1x的垂线 PA、 OB，垂足分别为 A、 B，记|AB，求 的取值范围.解析：答案：解：（1）由 |2| 211FPF知，点 P 的轨迹 E 是以 F1、F 2为焦点的双曲线右支，由 3,2bac，故轨迹 E 的方程为 ).(32xyx（2）当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 ,),()(21Qky，与双曲线方程联立消 y
14、得 04)(22xkk，034032122kxk解得 k2 3 （i） 2121)(ymxMQP12122222()()(443)3(5).xmkk kk0,MQP，故得 )54()1(22m对任意的32k恒成立，.1,0541mm解 得当 m =1 时， MP MQ.当直线 l 的斜率不存在时，由 )0,1()3,2(,MQP及 知结论也成立，综上，当 m =1 时， MP MQ.（ii） 1,2xca直 线是双曲线的右准线，由双曲线定义得： |21|,|2| FBPFePA，方法一： |1|2| 12yxkBQ.12|)(| 212 kkxk 3,310,322 故kk，注意到直线的斜率不
15、存在时， 2|,|此 时ABPQ，综上， .3,21 方法二：设直线 PQ 的倾斜角为 ，由于直线 PQ 与双曲线右支有二个交点，过 Q 作 QCPA，垂足为 C，则.sin21)cos(2|2|,2| PABPC由 ,1sin3,3得故： .,21 （2） 。圆锥曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。10 （2004 年全国高考福建理科 22 题）如图，P 是抛物线 C： 21xy上一点，直线 L 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q。（）若直线 L 与过点 P 的切线垂直，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程；（）若直线 L 不过原点且与 X 轴交于 S，与 Y 轴交于点 T，试求分
16、析：（1）要求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程，我们常把 M 的坐标转化为线段 PQ 的两个端点坐标之间的关系。而 P、Q 两点又是直线 L 与抛物线的交点，容易想到直线 L 的方程与抛物线 C 的方程相联立消去 y（或 x） ，转化为一元二次方程根与系数的关系问题。另外，求过抛物线 P 的切线的斜率问题，我们自然会想到求出数 21xy的导数。解：（1）事实上 xy，这样过 P1,yx的斜率为 1，由于直线 L 与过点 P 的切线垂直，因此直线 L 的斜率为 1（ 0） ，所以可设直线 L 的方程为)(121xxy，结合 2xy，消去 y 并化简得 0212x。若设 Q2,y，M 0,，因
17、M 为 PQ 的中点，故有22, 11210 yxyxx消去 1x得 M 的轨迹方程为)0(200y。即 M 的轨迹方程为 012xxy。（2）根据式子 SQTP的特点，我们很自然想到平面直角坐标系中的两点间的距离公式。于是可先求 S、T 两点的坐标，易知：2121,0,xxS，从而有 1,1, 22 xySQxyPT SQP= 212x又因 212121214xy SQTP 21x 21y2 1y、 2可取一切不相等的正数。 S的取值范围是（2， ） 。点评：这里的解法有别于 2004 年福建省高考数学评标准所给的答案。我们看到，其解法的优点在于不用添加任何辅助线的方法就可直接给出作答，这更
18、贴近考生的学习实际。【原题】 （本小题满分 14 分）已知 中，点 A、B 的坐标分别为 ，C(2,0)(,)B点 C 在 x 轴上方。 （1）若点 C 坐标为 ，求以 A、B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方(2,1)程；（2）过点 P（m ，0）作倾角为 的直线 交（1）中曲线于 M、N 两点，若点34lQ（1，0）恰在以线段 MN 为直径的圆上，求实数 m 的值。【解析】 （）设椭圆方程为 ，c= ,2a= ,b= 椭圆方程为2xyab2 4ACB25 分214xy即 ， 21212()0mxx2 2193450,3mm解 得【原题】 （本题满分 13 分）已知椭圆 1C: 2()yb的离
19、心率等于 ,抛物线 2C: (0)xpy的焦点在椭圆的顶点上 （1）求抛物线 2C的方程。 （2）过(1,0)M的直线 l与抛物线 2交于 E、 F两点，又过 E、 F作抛物线 的切线 1l、2l，当 12l时，求直线 l的方程。【解析】 （1）已知椭圆的短半轴为 1，半焦距为 24cb， 由离心率等于243cbea 21，椭圆的上顶点 (0,1)，抛物线的焦点为 (0,1)，抛物线的方程为 24xy （2）设直线 l的方程为 ykx， 1,Ey， 2Fxy， 24， 1切线 1、 2的斜率分别为 12、 当 2l时， 1即： 12x由24ykx得： 40kx， (4)()0kk解得 或 0k
20、 1即： 1满足 直线 l的方程为 1xy 【试题出处】吉林市普通中学 20112012 学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测数学 【原题】 （本题满分 13 分）已知椭圆 的离心率为 ，且过点2:1(0)xyCab2， 为其右焦点（）求椭圆 的方程；（）设过点 的直线 与椭圆相3(1,)2PF (4,Al交于 、 两点（点 在 两点之间） ，若 与 的面积相等，试求直MN,ANMF N线 的方程.l【解析】 （）因为 ，所以 ， 1 分12cac3b设椭圆方程为 ，又点 在椭圆上,所以 ，解得 ，243xyc()2P2134c21c3 分所以椭圆方程为 4 分21xy（）易知直线 的斜率存
21、在, 设 的方程为 ，5 分ll(4)ykx由 消去 整理，得 ，6 分2(4)1,3ykxy222(34)10由题意知 ，解得 .7 分22()()61)0kkk设 ， ， 则 ， ， . .1(,)Mxy2(,)Ny21234kx21643kx因为 与 的面积相等，所以 ，所以 . 10 分AF AMN12x由消去 得 . 将 代入得 . 2x21463k214x12641()3k将代入 ，整理化简得 ，解得2226()434kkk265k经检验成立.所以直线 的方程为 .13 分56kl5()6yx【原题】已知椭圆 的中心在原点，左焦点为 ，离心率为 设直线 与椭圆C(3,0)23l有且
22、只有一个公共点 ，记点 在第一象限时直线 与 轴、 轴的交点分别为 ，PlxyBA、且向量 .求：（I）椭圆 的方程；（II ） 的最小值及此时直线 的OMABC|OMl方程【解析】() 由题意可知 ， ，所以 ，于是 ，由于焦点在3c23ace2a12b轴上，故 C 椭圆的方程为 5 分x214xy（）设直线 的方程为： ， 消去lmkx)0(),0(,(mBkA,142yxk得：y7 分 直线 与曲线 有且只有一个公共点，012)41(2kxlC即 9 分)(4m142kOBAM11 分将式代入得：2|kOM2211|45453k当且仅当 时，等号成立，故 ，此时直线方程为：2kmin|3
23、OM.14 分032yx【原题】(本题 12 分)如图，ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且 OD AB，Q 为线段 OD 的中点，已知|AB|=4，曲线 C 过 Q 点，动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程；(II)过点 B 的直线 与曲线lC 交于 M、N.两点，与 OD 所在直线交于 E 点， 证明： 为定值.BE1N221【解析】 （）以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴， O 为原点，建立平面直角坐标系，动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变且点 Q 在曲线 C
24、 上,| PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 521| AB|=4 3 分曲线 C 是为以原点为中心， A、 B 为焦点的椭圆设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则2a=2 5, a= ,c=2,b=1 4 分曲线 C 的方程为 52x+y2=15 分【法 1】 （）：设 ,MNE点的坐标分别为 10(,)(,)(,)MNEy，易知 B点的坐标为 (20)且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交 1E， 1011,(2)xyxy 12x， 0y 7 分 将 M 点坐标代入到椭圆方程中得： )1()(52021，去分母整理，得 10202y 9 分同理
25、，由 2ENB可得： 0222y 10 分 1， 是方程 50yx的两个根 11 分 1021 12 分【法 2】 （）：设 ,M点的坐标分别为 12(,)(,)(,)MxyNEy，易知 B点的坐标为 (2)且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程是 )2(xky6 分将直线 的方程代入到椭圆 的方程中，消去 并整理得0520)51(2kxk 221x， 21 8 分 又 1EMB， 则 1011(,)(,)xyxy 112x，同理，由 2N， 2210 分 0)(42112121 xxx12【原
26、题】已知椭圆 C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过 ()求)21(，） ，（ NM椭圆 C 的方程，()直线 交椭圆 C 与 A、B 两点，求证：013:yxlMBA【解析】设椭圆 C 的方程为 由椭圆 C 过点 得：12byax )21(0，） ，（ NM解得 椭圆 C 的方程为12ba22（）设 ，由 消去 y 整理得 ，由),(),(21yxBA1032yx 01627x韦达定理得，则 由 两边平方整理可得271694x MBABMA0MAB只需证明 ， 12,1ABxy（ ） （ ） )1(212yx而)(2121yyx 9(3)(32 31xx122121246()()9MAByx
27、 01627-故 恒成立MAB【原题】 （本小题满分 13 分）已知椭圆 的离心率为 ，两焦点21(0,)xyab12之间的距离为 4。 （I ）求椭圆的标准方程；（II ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线于 A、B 两点， （1）求证：OAOB；（2）设 OA、OB 分别与椭圆相交于点2yxD、E，过原点 O 作直线 DE 的垂线 OM，垂足为 M，证明|OM|为定值。【解析】 （）由 得 ，故 所以，所求椭圆的标准方程为,24ac12b4 分216xy（2）设 、 ，直线 的方程为 ，代入 ，得3,yxD4,yEDEtyx216xy于是 0864322tt 438,4362243 tty从而
28、， 代入，整424343 ttytx OED043yx理得 原点到直线 的距离 为定值（13 分）1872t 721td【原题】 （本小题满分 14 分）已知椭圆 的离心率为 ，椭圆:C2(0)xyab63短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 .（）求椭圆 的方程；（）53C已知动直线 与椭圆 相交于 、 两点.若线段 中点的横坐标为 ，(1)ykxABAB12求斜率 的值；已知点 ，求证： 为定值.k7(,0)3MAMB【解析】 （）因为 满足 ， 2 分21xyab22abc63a。解得 ，则椭圆方程为 4 分1523bc25,3215xy（） （1）将 代入 中得 6 分(1)y
29、kx2153y22(3)630kxk， 7 分422236()3480kk21231xk因为 中点的横坐标为 ，所以 ，解得 9 分AB1263k（2）由（1）知 ，212xk215xk所以 11 分12121277(,)(,)()33MAByxy 12 分127()3xkx 249()kkxk1422225649()31k4226531分【原题】 （本小题共 13 分）在平面直角坐标系 xOy 中， 为坐标原点，动点 与两个定点OP， 的距离之比为 （）求动点 的轨迹 的方程； （）若直线 ：(1,0)M(4,)N2PWl与曲线 交于 ， 两点，在曲线 上是否存在一点 ，使得3ykxWABQ
30、，若存在，求出此时直线 的斜率；若不存在，说明理由OQAl【解析】 （）设点 的坐标为 ，依题意， 即 P(,)xy|12PMN3 分化简得 所以动点 的轨迹 的方程22(1)(4)xyx24yPW为 5 分（）因为直线 ： 与曲线 相交于 ， 两点， 所以 l3ykxWAB， 所以 或 7 分假设存在点 ，使得2|31Oldk52kQ8 分因为 ， 在圆上，且 ，由向量加法的平行四边形QABABOQAB法则可知四边形 为菱形，所以 与 互相垂直且平分9 分所以原点 到直线O： 的距离为 10 分即 ，解得 ， l3ykx1|2d2|31Oldk28k，经验证满足条件12 分所以存在点 ，使得
31、 13 分2 QAB【试题出处】2012 年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题【原题】(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 中，以坐标原点 为圆心的圆与直线：xy相切。 （1）求圆 O的方程；（2）若圆 O上有两点 关于直线34xy NM、对称，且 ,求直线 MN 的方程；（3）圆 与 x 轴相交于 A、B 两点，02MN圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求 的取值范围。PAB【解析】 （1）依题设，圆 的半径 等于原点 到直线 的距离， 即r34xy423r得圆 的方程为 3 分O24xy（2）由题意，可设直线 MN 的方程为 。则圆心 O到直线 MN 的
32、距0myx离 5 分5md由垂径分弦定理得： ，即 。所以直线 MN 的方程为：22)3(5052yx或 7 分（3）不妨设 由 得 设 ，由1212()()AxBx， ， ， ， 4(20)(AB， ， ， ()Pxy，PO， ，成等比数列，得 ，即 9222()()xyxyx2xy分 = 由于点 在圆 内，故 由()()PAB， ， )1(2PO24.xy，此得11 分所以 的取值范围为 12 分21yPAB0)，【原题】 （本小题满分 14 分）已知定点 A（-3,0） ， MN 分别为 x 轴、y 轴上的动点（ M、 N不重合） ，且 ,点 P 在直线 MN 上， .（1）求动点 P
33、的轨迹 C 的方程；MN32NPM（2）设点 Q 是曲线 上任一点，试探究在轨迹 C 上是否存在点 T？使28150xy得点 T 到点 Q 的距离最小，若存在，求出该最小距离和点 T 的坐标，若不存在，说明理由【解析】 （1）设点 M、 N 的坐标分别为 ， （ ）点 P 的坐标为 ，(,)ab0,a(,)xy则 ， ，(3,)(,)Abb,(,)PxyNxyb由 得 ，-（）-2 分由 得20a32M-3 分(),2xy 代入（）得 -5 分132ab24yx 动点 P 的轨迹 C 的方程为 （ ）-6 分0,0,x24yx0（2）曲线 即 ，是以 B（4,0）为圆心，以 1 为半径2815y2()1xy的圆,设 T 为轨迹 C 上任意一点，连结 TB, 则 -|TQ|TQB-8 分当 最小时， 最小.-9 分点 T 在轨迹 C 上，设点 （ ）|B|TQ2(,)4m0 -11 分22|(4)mT21(8)6m当 ，即 时， 有最小值， -12 分28|TBmin|23T当 时， 在轨迹 C 上是存在点 T，其坐标为 ，使得 最小，224 (,)|TQ.-14 分min|231TQ
