1、1学生姓名 年级 _ 授课时间_教师姓名_课时 _课 题 圆锥曲线综合复习教学目标 椭圆、双曲线、抛物线等多种圆锥曲线的综合题解答重 点 圆锥曲线综合难 点 圆锥曲线综合教学内容与教学过程一、综合复习全面讲解一、基础知识【理解去记】1椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0b0)， 参数方程为 sincobya（ 为参数） 。若焦点在 y 轴上，列标准方程为： 12a (ab0)。3椭圆中的相关概念，对于
2、中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆： 12byax，a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(a, 0), (0, b), (c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为 cax2，与右焦点对应的准线为 cax2；定义中的比 e 称为离心率，且 ace，由 c2+b2=a2 知 0b0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若 P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF2|=a-ex.5.补充知识点：几个常用结论：2教学内容与教学过程1）过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为： 120
3、byax；2）斜率为 k 的切线方程为 2kx；3）过焦点 F2(c, 0)倾斜角为 的弦的长为22cosabl。6双曲线的定义，第一定义：满足|PF 1|-|PF2|=2a(2a0)的点 P 的轨迹；第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(1)的点的轨迹。7双曲线的方程：中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线方程为2byax，参数方程为 tansecyx（ 为参数） 。焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为： 12bxay。8双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线： 12byax(a, b0),a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a,
4、0), (a, 0). 左、右焦点为 F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为 .,22cx离心率 ce，由 a2+b2=c2 知e1。两条渐近线方程为 xaky，双曲线 12by与 12bya有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若 a=b，则称为等轴双曲线。9补充知识点：双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线 12byax，F 1（-c,0 ）, F2(c, 0)是它的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的任一点，若 P 在右支上，则|PF 1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若 P（x,y）在左支上，则|PF 1|=-ex-a，|PF 2|=-ex
5、+a.2) 过焦点的倾斜角为 的弦长是 22cosa。10抛物线：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F叫焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，x 轴与 l 相12教学内容与教学过程交于 K，以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点 F 坐标为 )0,2(p，准线方程为 2px，标准方程为 y2=2px(p0)，离心率 e=1.11补充知识点抛物线常用结论：若 P(x0, y0)为抛物线上任一点，1）焦半径|PF|= x；2）过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0
6、)；3）过焦点倾斜角为 的弦长为 2cos1p。二、直线与圆锥曲线的位置关系一、知识整理：1.考点分析：此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多。多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。2解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：设线、设点， 联立、消元， 韦达、代入、化简。第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为 y=kx+b（或斜率不为零时，设x=my+a） ；第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为 A(x1,y1)B(x2,y2); 第三步：联立方程组 ，消去 y 得关于 x 的一元二次方程；0)y,x(fbk第四步：由判别式和韦达定理列出直线
7、与曲线相交满足的条件 ，0二 次 系 数 不 为 零21x第五步：把所要解决的问题转化为 x1+x2 、x 1x2 ，然后代入、化简。3弦中点问题的特殊解法-点差法：即若已知弦 AB 的中点为 M(xo,yo)，先设两个交点为A(x1,y1)，B(x 2,y2);分别代入圆锥曲线的方程，得 ，两式相减、分解0y,x(f0)y,(f21因式，再将 代入其中，即可求出直线的斜率。o21oy,x4.弦长公式: ( k 为弦 AB 所在直线4)(k|x|k|AB21212的斜率)三、高考真题1.【2012 高考新课标文 4】设 12F是椭圆 的左、右焦点， 为直线2:1(0)xyEabP32ax上一点
8、， 是底角为 30的等腰三角形，则 的离心率为（ ）12P()A1()B()C()D【答案】C【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想，2教学内容与教学过程是简单题.【解析】 21FP是底角为 03的等腰三角形， 06A， 12|c， 2|AF=c， 32a， e= 4，故选 C.2.【2012 高考新课标文 10】等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线CxC的准线交于 两点， ；则 的实轴长为（ ）xy12,B43()A()2()()D【答案】C【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.【解析】由题设知抛物线的准线为： 4x，设等轴双曲线方
9、程为： 22xya，将4x代入等轴双曲线方程解得 y= 216a， |AB= 43， 16= 43，解得a=2， 的实轴长为 4，故选 C.3.【2012 高考山东文 11】已知双曲线 ： 的离心率为 2.若抛物线1C21(0,)xyba的焦点到双曲线 的渐近线的距离为 2，则抛物线 的方程为2:(0)Cxpy 2C(A) (B) (C) (D)83263xy28xy16xy【答案】D 考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为 2 且双曲线中 a，b，c 的关系可知 ab3，此题应注意 C2 的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线 xy3的距离为 2，可知 p=8 或数形结合，利用直角三角
10、形求解。4【2012 高考全国文 10】已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上，1F22:CyPC，则12|PFcosP（A） （B） （C） （D）4353445【答案】C【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。【解析】解：由题意可知， 2,abc，设 12|,|PFx，则12|PFx，故 12|4|PF， 4，利用余弦定理可得2 2112 ()()3cos。25 (2011 年高考广东卷文科 8)设圆 C 与圆外切，与直线 相切则 C 的圆心轨迹为（ 0y）A 抛物线 B 双曲
11、线 C 椭圆 D 圆6.【2012 高考四川文 9】已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点 ，并且经过点xO。若点 到该抛物线焦点的距离为 ，则 （ ）0(2,)My 3|MA、 B、 C、 D、23425【答案】B解析设抛物线方程为 y2=2px(p0),则焦点坐标为（ 0,2p） ，准线方程为 x= p,32)(2|,13p2p-20OMy有 ：） ， 根 据 两 点 距 离 公 式（点解 得 ： ）（）（ 线 的 距 离 ， 即到 焦 点 的 距 离 等 于 到 准在 抛 物 线 上 ，点评本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，d 为
12、点M 到准线的距离).7.（2011 年高考湖南卷文科 6)设双曲线21(0)9xya的渐近线方程为 320,xy则 a的值为（ ）A4 B3 C2 D1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为 3yxa，故可知 2。8.【2012 高考四川文 15】椭圆 为定值，且 的的左焦点为 ，直线21(5xa5)F与椭圆相交于点 、 ， 的周长的最大值是 12，则该椭圆的离心率是_。xmABF2【答案】 ，32解析根据椭圆定义知：4a=12, 得 a=3 , 又 52ca,acec点评本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念 .9.【2012 高考辽宁文 15】已知双
13、曲线 x2 y2 =1,点 F1,F2为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 P F1P F 2,则P F 1+P F 2的值为_.【答案】 3【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。【解析】由双曲线的方程可知 121,2, ,acPFa221124PFPF2 121 12,()8,4,()8,3c【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差积和的转化。10.【2012 高考江苏 8】 （5 分）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为xOy214xym，则 的值为 5m【答案】2。【考点】双曲线的性质。【解析】由214xym得 22=
14、4=4ambcm， ， 。2=5cea，即 20，解得 。11.【2012 高考安徽文 14】过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点，若24yxF,AB，则 =_。|3AF|B【答案】 2【解析】设 (0)x及 BFm；则点 A到准线 :1lx的距离为 32得： 132cos3 又 232cos()1cosmm12.（2011 年高考辽宁卷文科 7)已知 F 是抛物线 的焦点，AB 是该抛物线上的两点,2yx|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为。解析：设 A、B 的横坐标分别是 m、n，由抛物线定义，得 =m+ +n+ = F314m+n+ =3，故 m+n= ，
15、 ，故线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 。12524513、 【2012 高考广东文 20】 （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，xOy1C21xyab0a1(,0)F且点 在 上.(0,1)PC（1）求椭圆 的方程；1（2）设直线 同时与椭圆 和抛物线 ： 相切，求直线 的方程.l12C4yxl【解析】 （1）因为椭圆 的左焦点为 ，所以 ，1(,0)F1c点 代入椭圆 ，得 ，即 ，(0,)P2xyab2b所以 ，22abc所以椭圆 的方程为 .1C21xy（2）直线 的斜率显然存在，设直线 的方程为 ，l lykxm，消去 并整理得 ，21
16、xykmy22(1)40因为直线 与椭圆 相切，所以 ，l1C226(1)kmk整理得 20k，消去 并整理得 。4yxmy22(4)0kxx2因为直线 与抛物线 相切，所以 ，l2C22(4)0km整理得 1km综合，解得 或 。22k所以直线 的方程为 或 。l2yx2yx14、 【2012 高考安徽文 20】 （本小题满分 13 分）如图， 分别是椭圆 ： + =1（ ）的左、右焦点， 是椭圆 的21,FC2ab0baAC顶点， 是直线 与椭圆 的另一个交点， =60.B2A1FA2（）求椭圆 的离心率；（）已知 的面积为 40 ，求 a, b 的值. BF13【解析】 （I） 2 16
17、022caea（）设 m；则 1在 12BF中， 2221 21cos20BFBF3()5aama1A面积 213sin60()40220,53SAacb15.【2102 高考北京文 19】(本小题共 14 分)已知椭圆 C：2x+ yb=1（ab0）的一个顶点为 A （2,0） ，离心率为 2， 直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交与不同的两点 M,N（）求椭圆 C 的方程（）当AMN 的面积为 103时，求 k 的值 【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常熟悉的，相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。2解：（1）由题意得 2
18、2acb解得 .所以椭圆 C 的方程为214xy.（2）由 2(1)4ykx得 22()40kxk.设点 M,N 的坐标分别为 1,y， 2(,，则 1()yx， 2(1)ykx，212kx， 2xk.所以|MN|= 2211()()y= 2211()4xx=22()46k.由因为点 A(2,0)到直线 kx）的距离 2|kd，所以AMN 的面积为 |6|21SMN. 由2|61013k，解得 1k.16.【2102 高考福建文 21】 （本小题满分 12 分）如图，等边三角形 OAB 的边长为 83，且其三个顶点均在抛物线 E：x 2=2py（p0）上。（1） 求抛物线 E 的方程；（2）
19、设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y=-1 相较于点 Q。证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点。考点：圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。难度：难。分析：本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。解答：（I）设 12(,)(,)AxyB；则 221,xpy212112 21()0(,0)Opyp 2得：点 ,AB关于 y轴对称（lfxlby）83(4,12)(3,)OAB代入抛物线 E的方程得： xpy抛物线 E的方程为 24xy（II）设20(,)4xP；则 21过点 的切线方程为 200()4yxx即 2014yx
20、令201(,1)yQ设 (,)Mt满足： PA及2004(,),(,1)xMxytQt得： 2204(1)ttx对 0均成立,1t以 PQ为直径的圆恒过 y轴上定点 (,)17.【2012 高考上海文 22】 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 6 分在平面直角坐标系 中，已知双曲线xOy2:1Cxy（1）设 是 的左焦点， 是 右支上一点，若 ，求点 的坐标；FCM2MF（2）过 的左焦点作 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为 （ ）的直线 交 于 、 两点，若 与圆 相切，
21、求证：k2lCPQl21xyOPQ解（1）双曲线 1:21yCx，左焦点 )0,(26F.设 ),(M，则 2)3| xyx， 2 分由 M 是右支上一点，知 2，所以 |2M，得 6x.所以 ),(26. 5 分2（2）左顶点 )0,(2A，渐近线方程： xy2.过 A 与渐近线 xy平行的直线方程为： )(2，即 12xy.解方程组 12，得 214y. 8 分所求平行四边形的面积为 4|OAS. 10 分（3）设直线 PQ 的方程是 bkx.因直线与已知圆相切，故 1|2kb，即 2kb (*).由 1yx，得 012)(2x.设 P(x1, y1)、Q(x 2, y2)，则 211kb.2bk，所以212121 )()(bxxO22)1)( kkkb.由(*)知 0P，所以 OPOQ. 16 分【点评】本题主要考查双曲线的概念、 标准方程、几何性 质及其直 线与双曲线的关系特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲 线当中，最特殊的 为等轴 双曲线，它的离心率为 2，它的渐近线为 xy，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 2
