1、3.1 二次根式 第 1 课时教学目标：1. 了解并熟记二次根式概念，理解二次根式的意义并确定被开方数中字母的取值范围2. 理解公式（ ） 2=a（a0）,并能利用公式进行一般的二次根式的化简a教学重难点：1.灵活应用二次根式的意义并确定被开方数中字母的取值范围2利用公式（ ） 2=a（a0）,并能利用公式进行一般的二次根式的化简作业布置： 教学过程：一、自主探究1复习乘方的概念及运算.2回顾：什么叫平方根? 什么叫算术平方根?3计算：(1) 2 的平方根是 ，算术平方根是 (2) 如图，正方形的面积为 C2，则正方形的边长为 (3) 圆的面积为 S，则圆的半径是 (4) 一个苹果从高度为 h
2、 的树上自由落到地面所用的时间是 (参考公式：h= gt2 /2 ） 二、自主合作活动一：你认为以上代数式有什么共同特征？活动二：归纳总结1定义： 一般地，式子_ _（ 0）叫做二次根式， a 叫做_a2二次根式满足的条件（1） （2） 活动三：说一说，下列各式是二次根式吗?(1) (2)6 (3) (4)31)0(m(5) (6) (7) (8) 、 异号)52a4xy概念延伸：1. 当 a0 时， 有意义吗？为什么？ 2当 0 时， 可能为负数吗？为什么？三、自主展示例 1：x 是怎样的实数，式子 在实数范围内有意义？ 5x练习：课本 59 页练习 1活动四：2 2=4，即（ ） 2=4，
3、3 2=9，即（ ） 2=9，49同样地， （ ） 2=2， （ ） 2=5，你还能给出类似的例子吗？试试看5归纳：当 0 时， a例 2：计算：（1） （ ） 2 （2） （ ） 2 （3） （ ） 2(a+b0)33ba四、自主拓展1某工厂要制作一批体积为 1m3的产品包装盒，其高为 0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，底面边长是 .2. 判断下列各式，哪些是二次根式？（1） （2） （3） （4） （5）6012x3822x（6） （7） （8）14x )1(x3当 x 时， 在实数范围内有意义.x24. 若 有意义,那么点 A 在第 象限.a1),(a5在实数范围内,因式分解： =
4、 236. 已知 a.b 为实数，且满足 ，求 a+b 和 ab 的值 1ba五、自主评价1本节课你学到了哪些知识？2本节课中你最大的收获是什么？3.1 二次根式 第 2 课时教学目标：1.学会二次根式的性质 ，并能运用这个性质化简二次根式2a2.知道公式 与 区别，并能在二次根式的化简和20计算中运用3.在探究二次根式性质的过程中，培养和掌握“转化”思想教学重难点：能够灵活运用 与 2a2a作业布置：P60 3、4教学过程：一、自主探究1观察下列各式的特点，找出各式的共同规律，并用表达式表示你发现的一般规律.； ； 2 25210； ； ；)( )( )( 20通过观察，你得到的结论是什么，
5、试着说一说 2发现：当 a 0 时， _ _，当 a 0 时， _ _.22归纳总结=23比较 与的( )2区别a二、自主合作例 3： 计算：（1） ； （2） ； （3）42)5.1()(2x练习：课本 60 页练习 1、2三、自主展示1计算； ； ；23.02)71( 2)(；1； ； 2)( 2)1(x)0(x22yxyx2化简22)3()(1 22)5()()8(641)3(2m)0,()4(2ba3若 xx2）（ ，那么 的取值范围是 4已知， ，化简： =_ _ 312231x四、自主拓展1如图为实数 p 在数轴上的位置，则 = 22)()(p2已知三角形的三边长分别为 a、 b、
6、 c，且 ，那么 = 2| bcac3当 x 时，等式 成立22)1()1(x4若化简 ，则 x 的取值范围是 56812x的 结 果 是5已知 ，化简求值 3a aa212五、自主评价1本节课你学到了哪些知识？2本节课中你最大的收获是什么？3.2 二次根式的乘除 第 1 课时教学目标：1运用二次根式的乘法法则 = 进行相关计算baba(0,)2 使学生能掌握积的算术平方根的性质： ba熟练解题(0,)ab教学重点：积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则教学难点：积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则的理解与运用作业布置：P67 1、2教学过程：一、自主探究1复习：什么是二次根式? 已学过
7、二次根式的哪些性质? 2 计算：（1） = ， = 425 425；（2） = ， = 69 169；（3） = ， = 2)(253 2)53(归纳猜想：二次根式乘法法则： ab(0,)文字语言叙述：二次根式相乘,实际上就是把被开方数相乘,而根号不变3由以上公式逆向运用可得： (,)文字语言叙述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积二、自主合作例 1计算： (1) (2) (3)32 821 )0(82a练习：课本 62 页练习 1例 2化简：（1） ； （2） （3）2)0(43a(a0，b0)324一般地，二次根式运算的结果中，被开放数中应不含开得尽方的因数或因式练习：课本 6
8、2 页练习 2三、自主展示1练习：例 3 63 页练习 2 例 4 63 页练习 12计算（1） = ， （2） = ， 1453（3） = ，a02 )0(3化简（1） = ， （2） ， （3） = ， （4） = 7219749yx425ba)0(a4判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正（1） （2）(4)949 2516)25(16由题（1） （2）你能归纳出结论： 5求下列式子有意义的 x 的取值范围（1） （2） （3）x xxx21)2(11四、自主拓展1.已知 n12是正整数，则实数 n 的最大值为 2. 如果 则实数 的取值范围是 23aa3. 把二次根式 中根号外的因式
9、移到根号内，结果是_x1)(4探究过程：观察下列各式及其验证过程（1）2 = ， （2）3 = ， （3）4 ， （4）5815x2184( )0(yx，524观察以上等式, 请你用含字母 a 的等式表示一般结论，并验证你的结论五、自主评价1本节课你学到了哪些知识？2本节课中你最大的收获是什么？3.2 二次根式乘除 第 2 课教学目标：1 理解 = （a0，b0）和 = （a0，b0）及利用它们进bb行运算2. 能对有关运算结果进行化简，并能运用其解决简单的实际问题教学重点：解 = （a0，b0） ， = （a0，b0）及利用它们进行计算和bb化简教学难点：对公式进行灵活的应用，及解决一些实际
10、问题作业布置：P67 ：5（1） （2） ，7（3） ， （4） 教学过程：一、自主探究复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1写出二次根式的乘法规定及逆向等式2填空（1） =_， =_； （2） =_， 45425916916=_；规律： _ ； （2） _ ；2916我们推测： ； 49104025253总结规律：一般地，对二次根式的除法规定：= （a0，b0） 反过来， = （a0，b0）bb二、自主合作1下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目试一试:计算：（1） （2） （3） （4）135672732132化简（1） （2） （3） （4）65719162(0,).9ba三、自
11、主展示 11. _x+2x2x若 成 立 ， 则 的 取 值 范 围 是 。四、自主拓展1已知一个长方形的面积为 ，其中一边长为 ，求长方形的对角线的长26cm2cm2已知实数 a、b 满足 ，求 的值03414ab)1(2ba62.1_.3计 算 ：.x把 -中 根 号 外 的 因 式 移 入 根 号 内 ， 转 化 的 结 果 是 () A B.-x C.-x D.-x五、自主评价1.本节课你学到了哪些知识？2 本节课中你最大的收获是什么？3.2 二次根式乘除 第 3 课教学目标：1.能运用法则 = （a0，b0）化去被开方数的分母或分母中的根a号2. 进一步明确二次根式化简结果中的被开方
12、数应不含有能开得尽方的因数或因式，也不含有分母，根式运算的结果中分母不含有根号教学重点：二次根式的除法法则的应用，及最简二次根式化简教学难点：最简二次根式化简及应用作业布置：P67 6， 8教学过程：一、自主探究1.想一想: ？（a_，b_）, ? （a_，b_）.abab2.思考：如何化去 的被开方数中的分母呢 ?313小组讨论后交流.板书： .2334请再举例试一试。你猜想到什么结论呢？板书：当（a0，b0）时, .2ababA这样就可以把被开方数中的分母化去.二、自主合作1想一想：如果上面 首先化成 ,那么该怎样化去分母中的根号呢?312小组讨论后交流.板书: 333请再举例试一试。你猜
13、想到什么结论呢？4板书：当（a0，b0）时, abaA三、自主展示1 .去根号内的分母:（1） （2） （3） .321)0,(2yx2 .去分母中根号: （1） （2） （3）35152(0,).yx四、自主拓展1.在下列各式中，还能化简的二次根式是 （ ）.A. B. C. D. 731222.等式 _.5m成 立 的 条 件 是3.如图，在 RtABC 中,C=90，A=30，AC=2cm,求斜边 AB 的长.ABC14.ab4abb4a3012A已 知 实 数 、 满 足 ，求 :（ ） 的 值 .五、自主评价1.本节课你学到了哪些知识？2 本节课中你最大的收获是什么？3.2 二次根式
14、乘除 第 4 课教学目标：1. 通过练习巩固二次根式的乘、除法法则. 2. 能根据式子的特点，灵活运用乘积、商的算术平方根的性质和分母有理化等手段进行二次根式的乘、除法运算.教学重点：二次根式乘除法法则及运算.教学难点：能正确运用性质、法则灵活进行有关二次根式乘除法的计算. 作业布置：P68 9，10教学过程：一、自主探究复习回顾：1.二次根式的乘法法则用式子表示为 . 2.二次根式的除法法则用式子表示为 . 3.最简二次根式: .4.把分母中的 化去，叫做分母有理化. 将式子 分母有理化后等于 .2a5.同类二次根式：化 成 最 简 二 次 根 式 后 ， 被 开 方 数 相 同 .二、自主
15、合作1.计算： . . .105123xy65312.化简： . . . . 245929cba324=_. . . . 81.04423分母有理化:(1) =_. (2) =_. (3) =_.321210254.下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）.24A、 B、 C、 D、1830854三、自主展示1.已知 ，且 ，则 与 的关系是（ ）.2a2babA.a=b B.ab=1 C.a+b=0 D.ab=-1 2.计算:（1） (2) 318 0)13(27133.已知： ，求 的值152ab， 27ab四、自主拓展1化简 =_ _ _ （x0）, 化简 的结果是 . 42xy32
16、72 成立的条件是 . 成立的条件是 .)(2 21x3.估计 130的运算结果应在（ ）6 到 7 之间 7 到 8 之间 8 到 9 之间 9 到 10 之间4若最简二次根式 与 是同类二次根式，求 a 的值. ab365若 x、y 为实数，且 y= ，求 的值2241xxyx五、自主评价1.本节课你学到了哪些知识？2 本节课中你最大的收获是什么？3.3 二次根式的加减 第 1 课教学目标:(1)使学生了解同类二次根式的概念，掌握判断同类二次根式的方法；(2)使学生能正确合并同类二次根式，进行二次根式的加减运算.教学重点：同类二次根式的概念及掌握合并同类二次根式的方法 教学难点：同类二次根
17、式的概念作业布置：课本 P70 1 （2） ， （4） ， 2 （2） ， （3） ， 3 （2） 复习引入：复习化简： ；复习整式的加减运算：(1)2a5a；(2)3a 2bab4a 2b；(3)-5x2-x(2xx 2)一、自主探究1(1)两列火车分别运煤 2x 吨和 3x 吨,问这两列火车共运多少？(2)两列火车分别运煤 2x 吨和 3y 吨,问这两列火车共运多少？2以下问题你能用同样的方法计算吗？24231524183二、自主合作1观察下列 3 组二次根式，每组二次根式的被开方数相同吗？可以合并吗？(1) ,123(2) 567思考：经过化简，下列一组的各个根式被开方数相同吗？这组数据
18、可以进行合并吗？ (3) 12,8,32定义：经过化简后，被开方数相同的二次根式，称为同类二次根式。（1）下列各式，哪些是同类二次根式： 3122,48,8,672ab（2）说出 的三个同类二次根式;（3）试举出一组同类二次根式.02讨论：（1）要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？只有同类二次根式才可以合并（2）如何合并同类二次根式：与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,作为结果的系数,根号及根号内部都不变上面引例中第（3）小题该怎样计算？二次根式加减运算的一般步骤:(1)化简每个二次根式(2)合并同类二次根式.注意:不是同类二次根式的二次根式(如 与 不能合并)23
19、三、自主展示：例 1计算：（1） （2） （3）3231+8214050例 2 如图 3-1，两个圆的圆心相同，面积份分别为 8cm2,18cm2.求圆环的宽度（两圆半径之差）.四、自主拓展：72 习题 1、2补充：1.在二次根式： 是同类二次根式的是（ ） 12, 3273和A和 B和 C和 D和2. 如果最简根式 是同类根式，那么 a=_,b =_.3ba和 -+3.计算：（1） （2）1(20.5)(75)81()327(3) (4)4xxyy219(6)34xx五、自主评价1.同类二次根式的定义：经过化简后，被开方数相同的二次根式，称为同类二次根式.2.如何合并同类二次根式,合并同类二
20、次根式与合并同类项类似.3.二次根式加减运算的步骤：(1)化简每个二次根式(2)合并同类二次根式.注：（1）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算；（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算。教学反思：3.3 二次根式的加减 第 2 课教学目标：（1）能进行二次根式的混合运算；（2）乘法公式在二次根式中的运用.教学重点：正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算.教学难点：二次根式运算的应用.作业布置：课本 P72 2（3） （4） 3（2） （3）一、 自主探究：请同学们完成下列各题:1计算（1） （2）xyz22(3)xyx
21、y2计算（1） （2）(3)()xy22(1)()x老师点评：这些内容是对八年级整式运算的再现它主要有：（1） 单项式单项式；（ 2）单项式多项式；（3）多项式单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用如果把上面的 x、y、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？ 仍成立整式运算中的 x、y、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切， 当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式二、自主合作例 1计算:（1） (2) (30)(25)(68)3（3） (4) (462)5(23)151（5） （6） (107)()2)53(三、自主展示1. 的计算
22、结果（用最简根式表示）是_2(3)2若 ， ， ，则 的大小关系是_75x82y3zxyz， ，3若 x= -1，则 x2+2x+1=_4已知 ， ，则 _.3y3xy5.计算 501282 12)324731( （a0，b0）201201(7-43)(+) )(33aba6先化简在求值： ，其中22()abb51,1四自主拓展1. .2323xxx1已 知 ， 求 代 数 式 的 值 .0a （ ） 2()a.2212,1,abab2已 知 求 的 值2. 已知 将 化简并求值.8,abba3.化简： 1423()(0,1).aaa且教学反思：第三章 二次根式复习(1)教学目标：1能够比较熟
23、练地应用二次根式的性质进行化简；2能熟练进行二次根式的化简及运算；3会运用二次根式的性质解决简单的实际问题.教学重点：二次根式性质的应用；二次根式的运算教学难点：二次根式性质的应用一、本章知识结构图：二、本章基本概念：二次根式的定义：形如 （a 0）的式子叫做二次根式a二次根式的识别：（）被开方数 a0； （）根指数是例：下列各式中哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 15 3a x-100 a2+b2 -a2-1 -144 a2-2a+1二次根式的性质（1） ； （2） ； （3）213()的 计 算 结 果 （ 用 最 简 根 式 表 示 ） 是2（ -） （ +） -(31)18502,0
24、a题型一：确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围 1使式子 有意义的条件是 4x2当 时， 有意义21xx3. 若 有意义，则 的取值范围是 1mm4. 当 x_时， 是二次根式x3说明：因为二次根式的被开方数不小于 0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组） 题型二：二次根式的非负数性的应用 1. 已知： + 0, 试求 xy 的值4x22. 若 ，试求 的值0y3. 已知 为实数，且 ，求 的值,ab110ab2056ab让学生抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式,并说明理由： 50 a2bc x2+y2 o.75 (a+b)(a2-b2)12 6说明: 满足下列两个条件
25、的二次根式,叫做最简二次根式（1）被开方数中的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式例 1把下列各式化成最简二次根式：（1） (2) (3) 4 (4) x254 4a2+16a2化简二次根式的方法：（1）如果被开方数是整数或整式，先因数分解或因式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简（2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分母有理化,将式子化简4. 二次根式性质及运算律:（1) （a0，b0） ，反之 （a0，b0） abab（2) （a0，b0） ，反过来 （a0，b0）5. 二次根式的应用：（
26、1）二次根式的加减法：通常先把各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式；（2）二次根式的乘法类似于多项式的乘法，运算公式为 （a0，b0） ；对于二次根式的除法，通常是先化成分式的ab形式，然后通过分母有理化进行运算，有时可以约分，有时可以利用公式，但运算的结果都一定要化成最简二次根式题型一：化简下列各式 (1) +(3 )2；(2) ；(3) ( 3 )；(4)2()432712( 3)(2 +1)题型二：计算下列各题，并概括二次根式的运算的一般步骤 (1) 9 +7 5 (2) ( 4 )(3 134 )31248128.5o(3) (3 +2 )(3 2 ) (4) xy( )3
27、三、自主评价：1. 本节课你学到了哪些知识？2本节课中你最大的收获是什么？四、教学反思：第三章 二次根式复习（2）教学目标：.进一步加深对二次根式有关概念的理解；2熟练掌握二次根式的化简和加、减、乘除、乘方等混合运算2 3Aa c0b教学重点：二次根式的化简与加减、乘除、乘方混合运算 教学难点：解决问题使用的思想方法一、化简与运算的步骤：1二次根式的化简步骤：（1）一分：分解因数（因式） 、平方数（式） ；（2）二移：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；（3）三化：化去被开方数中的分母2二次根式混合运算的步骤：（1）乘方运算；（2）乘除运算；（3）加减运算二、解决问题
28、使用的思想方法：（一）整体思想：例题 1化简： )0,(nmnm且练习：化简 )0,(2babab（二）分类思想：例题 2化简： 122xx提示：零点分段法具体操作：先令求和的各项值为 0，求出对应的未知数的值，然后分区间讨论练习：化简 42a（三）数形结合：例题 3已知：数轴上点 A 表示的实数为 a，化简 2)()(a练习：a、b、c、在数轴上的位置如图所示，请化简式子 ccba222)()(四)二次根式的非负性：例题 4 （1）已知： ，试求 的值01baba2142xy DCBA（2）已知： ，求 的值xxy21y练习：已知ABC 的三边长为 a、b、c，且 a、b 满足条件： bab
29、412试求 c 的取值范围三巩固练习：1. 如果 ，求 2x的平方根232xxy2已知 互为相反数，求 a、b 的值86ba与3. 已知三角形的三边长分别是 a、b、c，且 ，那么 c2)(bca 4已知 x、y 是实数，且 ，试求 3x4y 的值5已知 ， 求 x2yxy 2的值23,36. 如图，在四边形 ABCD 中，ABCDRt，已知B45 0，AB ， CD 6试求：（1）四边形 ABCD 的周长；（2）四边形 ABCD 的面积四、课后作业：补充习题 P5051 小结与思考五、教学反思： 4.1 一元二次方程教学目标：（1）知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式
30、（2）在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程 教学重点：一元二次方程的概念和一般形式.教学难点：正确理解和掌握一般形式中的 a0 ， “项” 和 “系数” .作业布置：课本 P82 1一自主探究：1、你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗?例题 1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为 900 平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多 10 米，那么绿地的长和宽各为多少？分析：设长方形绿地的宽为
31、 x 米，不难列出方程 x(x10)900 整理可得 x210x900=0（1）例题 2.要设计一座高 2m 的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部( 腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?分析：由 得 ，2ACB2AC设雕像下部高 xm,于是得方程 化简得：()x240x（ ）这样，问题 1 和问题 2 分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是 2二自主合作：一元二次方程的概念：上述两
32、个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax 2bxc0(a、b、c 是已知数，a0)。 其中 2ax叫做二次项， a叫做二次项系数； x叫做一次项， b叫做一次项系数， c叫做常数项。.注意：（1） 是一般形式中不可缺少的重要部分；0例题：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项X2-XBCA21354x23x22(1)()(3)2yy三自主展示：1、判断下面哪些方程是一元二次方程（1） （ ） （2） （ ） （3）22347xx24x（ ） 50（4） （ ） （5） （ ） （6）
33、（ 2x 213x204y）2、把方程（1-x)(2-x)=3-x 2 化为一般形式是：_, 其二次项系数是_,一次项系数是_,常数项是_.3、方程（m-2)x |m| +3mx-4=0 是关于 x 的一元二次方程，则 （ ）A.m=2 B.m=2 C.m=-2 D.m 2 课本 p81 1、2四自主拓展：1.判断下列方程是否为一元二次方程？为什么？(1) 3x2=5y3; (2) x2=4; (3) 1=x 2; (4) x24=(x2) 2x-2x+12. 下列方程中,无论 a 为何值,总是关于 x 的一元二次方程的是 ( )A.(2x 1)(x23)=2x 2a B. ax22x4=0
34、C. ax2x=x 21 D.(a2 1)x2=03. 方程（2a4）x 22bxa=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下为一元一次方程？4 .当 m 为何值时,方程 (m1)x 4m2 27mx5=0 是关于 x 的一元二次方程.5.若一元二次方程 2x2(k8)x(2k3)=0 的二次项系数、一次项系数、常数项之和为5，求 k 的值.6.假设每一位参加宴会的人跟其他与会的人均握一次手，在宴会结束时，所有的与会者总共握了 28 次手，那么与会人士共有多少人 ？设与会人士共有 x 人，依题意可列方程_7.（2008 年广东省中考题）如图，在长为 10cm,宽为 8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的 80%，求所截去小正方形的边长？设所截去小正方形的边长为 xcm 依题意可列方程为_教学反思：
