1、奇偶数、质数、合数练习1：两个质数之和为 39，求这两个质数的乘积是多少？【详解】39=2+37，乘积为 2*37=742：7 个连续质数从大到小排列是 a、b、c、d、e、f、g 已知它们的和是偶数，那么 d 是多少？【详解】已知：有 7 个连续质数且和为偶数 假设这些素数全是奇数，那么和也是奇数！不符合题意 质数只有 2 是偶数，所以一个偶数，六个奇数，和为偶数， 符合题意，这些素数是：17，13，11，7，5，3，2 所以 c 为 113：自然数 N 是一个两位数，它是一个质数，而且 N 的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？【详解】满足个位数字与十位数字都是质数，只能是
2、2、3、5、7 这 4 个数字组成，这样的两位自然数共有 5 个，23、37、53、57、734： 若两位数 ab、ba 都是质数，我们称它为“无暇质数” 。所有两位“无暇质数”的和等于多少？【详解】 “无暇质数”共 9 个 11，13，31，17，71，37，73，79，97 他们的和是 4295：将 60 拆成 10 个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？（如果要求质数尽可能大呢？）【详解】7+7+7+7+7+5+5+5+5+5=60 60/10=6，10 个数的平均数是 6，所以至少有一个数大于等于 6。6 不是质数，7 是最小的大于 6 的质数。6：用 1，2，
3、3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数？【详解】1+2+.+9=(9+1)*9/2=45 能被 9 整除 不论数字怎么排列都能被 9 整除，所以 9 个数字排列一个质数也没有；7：哥德巴赫猜想是说：每个大于 2 的偶数都可以表示为两个质数之和，问：168 是哪两个两位数的质数之和，并且其中一个的个位数字是 1？ 【详解】个位数字是 1 的两位质数有 11，31，41，61，71；其中16811=157，16831=137，16841=127，16861=107，都不是两位数，只有 16871=97 是两位数
4、，而且是质数，所以 168=71+977：两个连续奇数的乘积是 111555，这两个奇数之和是多少?【详解】设这两个连续奇数是 2n-1 和 2n+1，(2n-1)(2n+1)=4 -1=111555 4 =111556= ，2n=334（或-334） ，(2n-1)+(2n+1)=4n=668 8：三个质数的乘积恰好等于它们和的 11 倍，求这三个质数。【详解】abc=11(a+b+c) 因为 a,b,c 都是质数，而右边的乘积中有 11，也是质数 所以 a,b,c中必有一个数是 11， 不妨设 a=11 化简上式，得到 bc=11+b+c b=(11+c)/(c-1)=1+12/(c-1)
5、 c 从最小的质数 2 开始验证 当 c=2，b=13，已经得到结论，所以这三个数是 2，11，139：从小到大写出 5 个质数，使后面的数都比前面的数大 12.【详解】 我们知道 12 是 2、3 的倍数，如果开始的质数是 2 或 3，那么 即 与 12 的和一定也是 2 或 3 的倍数，将是合数，所以从 5 开始尝试。有 5、17 、29 、41 、53 是满足条件的 5 个质数。10：求这样的三个不同的正整数，它们两两互质，且任意两数之和能被第三个数整除。11：四个连续奇数的最小公倍数是 6435，这四个数中最大的一个数是多少？【详解】三个连续奇数必两两互质而在四个连续奇数中，第一个奇数
6、与第四个奇数相差 6，它们的最大公约数只能是 1 或 3，因此这四个连续奇数的乘积是6435 或 6435*3；6435=3*3*5*11*13，由此判断出这四个连续奇数是9，11，13，15，其中最大的是 1512：有 1997 个奇数，它们的和等于它们的乘积。其中有三个数不是 1，而是三个不同的质数。这三个质数是？【详解】设这 3 个不同的质数分别是 a，b，c 根据题意 abc=1994+a+b+c 这 3 个质数不可能都很大，假如最小的是 11 的话，那么 11*13*17=2431,太大了；所以 a，b，c 中一定有一个是 3，5，7 中的 若 a=3，那么 3bc=1997+b+c
7、,c=(1997+b)/(3b-1) 试验一下发现 b=5 可以使 c 是整数，c=143，但 143 不是质数，b=7，11，13 都不行 那么我们不妨再让 a=5，那么 5bc=1999+b+c c=(1999+b)/(5b-1) b=7 时 算得 c=59，是质数，符合要求 因此a=5，b=7，c=59 为满足条件的三个质数。13：有人说：“任何 7 个连续整数中一定有质数” ，请你举一个例子，说明这句话是错的。【详解】 例如连续的 7 个整数：842、843、844、845、846、847 、848 分别能被 2、3、4、5、6、7 、8 整除，也就是说它们都不是质数。评注：有些同学可
8、能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是，我们注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，(n+1)!+(n+1)这 n 个数分别能被2、3 、4 、(n+1)整除，它们是连续的 n 个合数14：写出 12 个都是合数的连续自然数。【详解】分析一：在寻找质数的过程中，我们可以看出 100 以内最多可以写出7 个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96。我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了。 解法 1：用筛选法可以求得在 113 与 127 之间共有 12 个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120， 121，122，1
9、23，124，125，126。 分析二：如果 12 个连续自然数中，第 1 个是 2 的倍数，第 2 个是 3 的倍数，第3 个是 4 的倍数第 12 个是 13 的倍数，那么这 12 个数就都是合数。 又 m+2，m+3，m+13 是 12 个连续整数，故只要 m 是 2，3，13 的公倍数，这 12 个连续整数就一定都是合数。 解法 2：设 m 为 2，3，4，13 这 12 个数的最小公倍数。m+2，m+3，m+4，m+13 分别是 2 的倍数，3 的倍数，4 的倍数13 的倍数，因此 12 个数都是合数。 说明:我们还可以写出 13！+2，13！+3，13！+13 （其中 n！=123
10、n）这 12 个连续合数来。 同样， （m+1）！+2， （m+1）！+3， （m+1）！+m+1 是 m 个连续的合数。15：将 100 以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下 5 项工作叫做一次操作：（1）将左边第一个数码移到数字串的最右边；（2）从左到右两位一节组成若干个两位数；（3）划去这些两位数中的合数；（4）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；（5）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。问：经过 1999 次操作，所得的数字串是什么？【详解】第 1 次操作得数字串 711131131737；第 2 次操作得数字串11133173；第 3 次操作得数
11、字串 111731；第 4 次操作得数字串 1173；第 5 次操作得数字串 1731；第 6 次操作得数字串 7311；第 7 次操作得数字串 3117；第 8 次操作得数字串 1173。不难看出，后面以 4 次为周期循环，1999=4499+3，所以第 1999 次操作所得数字串与第 7 次相同，是 311716：9 个连续的自然数，它们都大于 80，那么其中质数最多有多少个?【详解】 大于 80 的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越多越好，9 个连续的自然数中最多只有 5 个奇数，它们的个位应该为 1，3，5，7，9，但是大于 80 且个位为 5 的数一定不是质数，所以最多只有 4 个数
