1、集合与图论习题第一章 习 题1画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个) 。2画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个) 。3画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。4某次宴会上，许多人互相握手。证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数) 。5证明：哥尼斯堡七桥问题无解。6设u与v是图G的两个不同顶点。若 u与v间有两条不同的通道( 迹)，则G中是否有回路？7证明：一个连通的(p，q)图中q p-1。8设G是一个(p，q)图，(G)p/2，试证G是连通的。9证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。10在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m 个朋友(2mn)。试证：有不少
2、于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。11一个图G是连通的，当且仅当将 V划分成两个非空子集 V1和V2时，G总有一条联结V1 的一个顶点与V2的一个顶点的边。12设G是图。证明：若 (G) 2，则G包含长至少是(G)+1的回路。13设G是一个(p，q)图，证明：(a)qp，则G中有回路；(b)若qp+4，则G包含两个边不重的回路。14证明：若图G不是连通图，则 Gc 是连通图。15设G是个(p，q)图，试证：(a)(G)(GC)(p-1)/2(p+1)/2+1)，若p0，1，2(mod 4)(b) (G)(GC)(p-3)/2(p+1)/2，若p3(mod
3、 4)16证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。17构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n3。18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv919试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。20试证：图四中的图不是哈密顿图。21完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23设G是一个p(p3)个顶点的图。u 和v是G 的两个不邻接的 顶点，并且degu+degvp。证明：G是哈密顿图当且仅当G+uv是哈密顿图。24设G是一个有p个顶点的图。证明：若p2(G)，则有长至少为2(G)的路。 25证明
4、具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图。26证明：若p为奇数，则Kp中有(p-1)/2个两两无公共边 的哈密顿回路。28中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局。若他必须至少一次走过他所管辖范围内的每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少的路程。这个问题是我国数学家管梅谷于1962年首先提出的，国外称之为中国邮路问题。(1)试将中国邮路问题用图论述语描述出来。(2)中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系。第三章 习 题 1分别画出具有4、5、6 个顶点的所有树( 同构的只算一个)。2证明：每个非平凡树是偶图。3设G是一棵树且(G) k ，证明：G 中至少有k个度为 1的
5、顶点。4令G是一个有p个顶点，k个支的森林，证明：G有p-k条边。5设T是一个k+1个顶点的树。证明：若图G的最小度(G)k，则G有一个同构于T的子图。6一棵树T有n 2个度为2 的顶点， n3个度为3的顶点，n k个度为k的顶点，则T有多少个度为1的顶点？7.设G是一个连通图。试证：G 的子图G 1是G 的某个生成树 的子图，当且仅当G1没有回路。8证明：连通图的任一条边必是它的某个生成树的一条边。9设G是一个边带权连通图，G 的每条边均在G 的某个回路上。 试证：若G的边e的权大于G的任一其他边的权，则e不在G 的任一最小生成树中。10. 设G=(V，E，w)是一个 边带权连通图，对任意x
6、 E，w(x)0。试证：G的一个生成树T是G的最小生成树，当且仅当时G 的任一与T 的距离为1 的生成 树T 满足条件：在T中而不在T 中的边e的权w(e)不大于在T 中而不在 T中的边e的权w(e)。11.某镇有1000人，每天他们中的每个人把昨天听到的消息告诉他认识的人。已知任何消息，只要镇上有人知道，都会经这种方式逐渐地为全镇上所有人知道。试证：可选出90个居民代表使得只要同时向他们传达某一消息，经10天就会为 全镇居民知道。12.P个顶点的图中，最多有多少个割点？13证明：恰有两个顶点不是割点的连通图是一条路。14证明：有一座桥的三次图中至少有10个顶点。15设v是图G的一个割点， 证
7、明v不是G 的补图G c的割点。16设v是图G的一个顶点。 证明：v是G 的割点当且仅当有 邻接v的两个不同的顶点u和w ，使得v在u与w间的每一条路上。17.割点的连通图是否一定不是欧拉图？是否一定不是哈密顿图？有桥的连通图是否一定不欧拉图和哈密顿图。18.L是连通图G的一个回路，x和y是L上的两条边。证明：G有个割集S 使得x与y恰好是L与S的公共边。第四章 习 题1设G是一个有p个顶点的图， (G)(p+k)-1)/2，试证： G是k-连通的。2若(p，q) 图G是k- 边连通的，试证：qkp/2。3设G是k-边连通的，k0，E是G 的k条边的集合。证明： G-E的支数小于或等于2。4构
8、造一个(p，q)图G使得(G)=p/2-1，(G)0。构造一个k-连通图G ，以及G 的k个顶点之集V，使得G-V的支数大于2。6G是一个三次正则图，试证： (G)=(G)。7设r2，G是 r正则图。证明： (G)r/2。8构造一个图G，使得(G)=3，(G)=4，(G)=5。9证明：图G是2-边连通的当且仅当任两个不同顶点间至少有两条边不重路。10设G=(V，E)是2- 边连通图，X和Y 是V 的子集，|X|2，|Y|2且XY=。在G中加入两个新的顶点s和t，s 与 X的每个顶点之间联成一条边，t与Y的每个顶点间加一条边，这样得到的图记为G 。试证： G是2-连通的。11. 若G是顶点数p1
9、1的平面图，试证 Gc不是平面图。12 设S x 1，x 2，x 3， xn是平面上n个顶点的集合，n3，其中任两顶点的距离至少是1。证明：S中至多有3n-6对顶点，其距离为1。13证明：不存在7条棱的凸多面体。14. 图G的最短回路的长度称为 G的围长；若G中无回路，则定义G的围长为无穷大。()证明：围长为r 的平面连通图G中有qr(p-2)/(r-2)，r3()利用( ) 证明Petersen图(见图3.6.4)不是平面图。15.设G是一个没有三角形的平面图。应用欧拉公式证明 G中有一个顶点v使得degv 3。16设G是一个平面图。证明： G*同构于G当且仅当G是连通的。17证明：若G是自
10、对偶的，则 q=2p-2.18.设G是一个没有三角形的图。应用教学归纲法证明 G是 4可着色的(事实上，可以证明G是3可着色的)。19.设G是一个有p个顶点的d-正则图，证明：k(G)p/(p-d)。20.试用5-色定理的证明方法来证明 4色定理，在哪一点证明会失败呢？21.设G是一个(p，q)图，证明：k(G)p 2/(p2-2p)。22.证明：若G的任两个奇数长的回路都有一个公共顶点，则k(G)5。23.证明：每个哈密顿平面图都是4-可着色的。24.设G是一个立方体哈密顿图，证明： k(G)=3。25.若r是奇数且G是r-正则图，证明：k(G)=r+1。26.若G是彼德森图，证明：k(G)
11、=4。第五章 习 题1.给出有向图的子图、生成子图、导出子图的定义。2.画出具有三个顶点的所有互不同构的有向图的图解。3.具有p个顶点的完全有向图中有多少条弧？4.设D是一个有p个顶点q条弧的有向图。若 D是连通的，证明p-1qp(p-1)。5.设D是一个有p个顶点q条弧的强连通的有向图，则 q至少是多大？6.在有向图中，含有所有顶点和所有弧的有向闭迹称为有向欧拉闭迹。一个有向图若含有有向欧闰闭迹，则称此有向图为有向欧拉图。证明：有向图D=(V ，A) 是有向欧拉图当且仅当D是连通的且对任意的vV，总有id(v)=od(v)。7.证明：有向图D是单向连通的当且仅当 D有一条生成通道。8.设A是
12、一个nn 布尔矩阵，试证：(IA)(2)=(IA)(IA)=IAA(2)其中I是nn 单位矩阵。其次，证明：对任意的正整数r，有(IA)(r)=IA A(2)A(r)9.设B是有向图D=(V，A)的邻接矩阵，|V|=p。试证D的可达矩阵R为R=(I B)(p)10.有向图D的图解如图一所示(1)写出D的邻接矩阵及可达矩阵。(2)写出D关联矩阵。11.设D为图二中的有向图，试求 v2到其余每个顶点的长4 的所有通道的条数。12.已知有向图D的邻接矩阵B，如何从B求D的可达矩阵R？13.设T是一个正则m元有序树，它有n 0个叶子，T有多有多少条弧？14令T是一个正则m元树，它有i个内顶点(出度为m
13、)。若E为所有内顶点深度之和，i为所有叶顶点深度之和， 证明：I=(m-1)I+mi。15.设T是一个有n 0个叶子的二元树，出度为2的顶点为n2，试证：n 0=n2+1。16.具有三个顶点的有序树共有多少个？具有三个顶点的有根树有多个？注意，同构的只算一个。17.一个有序树称为一个2-3树，若每个内顶点有 2个或3个儿子，并且从根顶点到每个叶子的路长均相等。试证：若T是一个高为h的2-3树，则(1)T的顶点数 p满足2 h+1-1 p3h+1-1。(2)T的叶子数在2 h与3 h之间。18T是一个正则二元树，它有i 个内顶点( 出度为2)。若E 为所有内顶点深度之和，I 为所叶顶点的深度之和，证明：I=E+2i。
