1、离散鞅论及应用一、 基础定义设 为概率空间，整数集合 ， 表示 的一个“区间” ，(,)PF,10,Q IQ指 的不间断子集，比如： ， 等。Q,2In 23I定义 1：设 为单调上升（或下降） ，指 ， （或,nInmF,In） 。设 为随机变量序列，若 关于 可测， ，称nmFZZ为适可测随机变量。,ZI定义 2：设 为适可测随机变量，若下两条满足：,nIF1. ，2. 。则称 为一个鞅。()E(|),nmZnI,nZIF若 2 改写成 ，称 为下鞅（上鞅） ，合称为半|ZF鞅。定义 3 设 为适可测随机变量， 下降，若 ， 且,nZIFn()nEZI，则称 为一个反鞅。(|),nmEI,
2、ZI命题 1.对于区间 , 为适可测随机变量列，则12In nF为一个鞅，当且仅当 为一个反鞅。,1iZiF1,ini定义 4 设 为适可测随机变量列， ， ，若,nZI()nEZI，称 为一个鞅差。(|)0,nmE,nIF命题 2 设 为上升 域（列） ，下两条成立：1nF（1） 若 为一个鞅，则 为一个鞅差，其中,Z,1nX1nnX（2） 若 为一个鞅差，则 为一个鞅，其中 。,nF,1nZF1niiZX简言之， “鞅=鞅差的部分和 ”。设 为一个鞅， 为 内实值可测函数，问,1nZf(,)是否是鞅？首先， 关于 可测，理由： 关于 可测，,1nfZFnfZnFnZnF假定 ， ，其次，
3、和 的关系？En|Ef若 为凸函数，由条件 Jensen 不等式，f表明 为一个下鞅。1|(|)()nnnZfZfZFF,1nfF命题 3 设 为适可测随机变量列， 为 上凸函数，且, f(,)， ，则下两条成立：nEf1 若 为鞅，则 为下鞅。,1nZF,1nfZF2 若 为下鞅， 为单调不减，则 为下鞅。,1nfZF有意思的推论：若 为下鞅，则 为下,n max(0),n鞅；若 为鞅，则 为下鞅（ ，假定,1nZF,1PnZFP） 。,PE二、 鞅的停时定理关于停时，设 为上升 域列， 为取值正整数的随机变量，若对,1nF每 ，均有 ，称 为关于 的停时。1n,1nF命题 4 如果 和 是
4、两个停时，则 ， ， 也是停时。TSTSmi(,)ax(,)TS要证明上述命题，需要下面的引理：引理 1 设 为任意的取值于 的随机变量，下属三者等价：0,12,（1） ；01(,)nTnX（2） ；,（3） 。01(,)n命题 5 设 是一列关于 的鞅， 是一个关于 的M 01,X T01,X停时，并且 有界， ， ，则 ，特别TK()nnF(|)EMF地 。0()()E这个命题是鞅停时定理的一个特殊情况，可以看出，它的条件太强了，实际上我们感兴趣的问题中许多都不满足 有界这一严格的条件。假设 是一停TT时并且 ，也就是说以概率 1，可以保证会停止（相对于1PT） ，但与 有界不同的是，并没
5、有确定的 使 。在这0 K1P种情况下，何时可以得到 的结论呢？0()()TEM考虑停时 注意到 ，从而min,TnTTnTnIMI。可以看出， 是一个有界停时（()()nT nEMII） ，由上面命题可知 。我们希望当 时，后面两项趋n0nTE于 0，对于第二项来说，这是不困难的，因为 ，当 ，1PTn， 相当于对 限制在一个趋于空集的集合上取期望。PT()TnITM容易看出，若要求 ，就可以保证 。第三项就更麻烦E()0TnEI一些，当 时，第三项并不趋于 0。然而如果 和 满足条件n。我们就可以得出结论 。lim()0TnEMI0()()T定理 1 鞅停时定理设 是一关于 的鞅， 是停时
6、满足：02, 01(,)nnXF（1） ；（2） ；（3） 。PT)TEMlim()0nTEMI则有 。0()()EM定理 2 设 是关于 的上鞅， 是关于 的停,n,0nXX时， ，设存在一非负随机变量 ，满足 ，且使得min,TW()E，则有 。特别地，若 ，则有0nXW0()TEI1PT。0TE推论 1 设 是关于 的上鞅， 是关于 的停时，,nM,0nXX且 ，则有 。n0()TEXI我们已经知道对于上鞅，有 ，此处上鞅停止定理说明档0,nEM把 换为停时 时，在附加某些条件前提下，结论也成立。nT三、 一个应用关于期权值的界设某种股票的每股上市价 ，以 表示第 天的开盘价，令 ，0W
7、wn 1nWY，则有 。1n12,1nnwY考虑一种期权，它保证期权持有人可以在一限定的期限内，以预定的价格购入股票。不妨设这一预定的行使期权的价位为 1，并假设我们考虑的期权行使期限为无限。若 ，则期权持有人有可能在第 天行使期权，以价位 1 购nn入股票，立即以 价位抛出，从而获利 ；若 则无法获利。由此，WnW期权持有人在第 天的潜在利润为，1()0nnnr1设贴现率为 ，将 贴现到第 1 天为 ，可任取一停时 作a()nr()naer T为行使期权的时刻，我们要寻找 的期望的值的上界，即这一期权最高()aneW多次潜在利润为多少。为此要对 作出一个假设，假定存在 使得Y1（1）01(|
8、,),1annEYe称 为初始每股价格为 的期权值。 （1）式中的上sup()TfwErw确界是对一切关于 的停时 取的。因为 满足（1）式，所以该期权值Y与（1）式中的参数 有关。,f定理 3 设 为以上定义并满足（1）式， ，则期权值 满足下Y0W,f述不等式 。其中,fwg（2）1(),1, ,wg若若证明：证明分为四部分，略。注 1： 对任意固定 ，定义 ，则有1t1()(,),0ttwv（3）(,)(,),0vwtgt则有 ，1(),(,)wgv0若初始每股价格 超过 ，则期权的平均潜在利润至多为 。,1gw这一值可通过即刻行使期权获得（取 ） 。这表示，一旦单股股票的价格超T过 ，期权持有人就应马上行使他的期权，以期获得最大限度的潜在利润。1注 2：这个定理是以（1）式作前提的，如果对这个假设存在怀疑，这定理就不适用，但一般来说这一假设是合理的，至于 的选取，可以根据以往的经验或者同级方法获得。
