1、奇数与偶数质数与合数约数与倍数1. (2006 年希望杯第四届四年级二试第 7 题，4 分)一群猴子分桃，桃子共有 56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要分桃时，又来了 4只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到 个桃子。解答：56 的因数有 1，2，4，7，8，14，28，56，其中只有 4和 8相差 4，所以最后有猴子 8只，每只猴子分到 5687 个桃子。2. (2007 年希望杯第五届四年级二试第 4 题，5 分 )在 ， ， ， ， ，等这些算是2439416263中，4，9，16，25 ，36，叫做完全平方数。那么，不超过 20
2、07 的最大的完全平方数是_。解：4545=2025；4444=1936 ，所以最大的是 1936.整除3. (2008 年希望杯第六届四年级二试第 15 题)连续写出从 1 开始的自然数，写到 2008 时停止，得到一个多位数：123456789101120072008 ，请说明：这个多位数除以 3，得到的余数是几？为什么？【分析】 因为连续 个自然数可以被 整除，而且最后一个自然数都是 的倍数，因为33是 的倍数，所以 是 的倍数，又因为207124567890127 ，所以1345689002071 除以 ，得到的余数是 。 1余数4. (2004 年希望杯第二届四年级二试第 15 题，
3、6 分)小朋友们做游戏，若 3人分成一组，则最后余下 2人；若 4人分成一组，则最后余下 3人；若 5人分成一组，则最后余下 4人。那么一起做游戏的小朋友至少有 人。【答案】这个数除以 3余 2，除以 4余 3，除以 5余 4，那么加上一个人这些小朋友的数量能整除 3、4、5，345=60，那么小朋友至少 59人5. (2008 年希望杯第六届四年级二试第 3 题)一个三位数除以 36，得余数 8，这样的三位数中，最大的是_。【分析】 因为最大的三位数为 ， ，所以满足题意的三位数最大为：936273627806. (2009 年希望杯第七届四年级二试第 2 题，5 分)某数被 13 除，商是
4、 9，余数是 8，则某数等于 。【答案】125周期7. (2004 年希望杯第二届四年级二试第 3 题，6 分) 、 、 、1260128、 、是按一定规律排列的一串算式，其中第六个算式的计2468算结果是 。【答案】规律是，第一个加数是公比为 2的等比数列，第二个加数是差为 2的等差数列，所以第六个式子是 96+2=988. (2004 年希望杯第二届四年级二试第 14 题，6 分)如图 5所示，在 22方格中，画一条直线最多穿过 3个方格；在 33方格中，画一条直线最多穿过 5个方可知；那么在 55方格中，画一条直线，最多穿过 个方格。【答案】边长每多 1，穿过的方格多 2，那么 55的最
5、多穿过 3+2+2+2=9个方格9. (2004 年希望杯第二届四年级二试第 19 题，10 分) 将若干个边长为 1的正六边形（即单位六边形）拼接起来，得到一个拼接图形。例如：那么，要拼接成周长等于 18的拼接图形，需要多少个单位六边形？画出对应的一种图形。【答案】4、5、6、710. (2008 年希望杯第六届四年级二试第 4 题)小明按 15 循环报数，小花按 16 循环报数，当两个人都报了 600 个数时，小花报的数字之和比小明报的数字之和多_。【分析】 小花一个循环报的数字之和为： ，小明一个循环报的数字12345621之和为： ，小明一共报了 （组） ，小花一共报了123450（组
6、） ，所以小花报的数字之和比小明报的数字之和多：60。0811. (2008 年希望杯第六届四年级二试第 8 题)已知一列数：5，4 ，7 ，1，2，5 ，4，3 ，7，1，2 ，5，4，3，7 ，1，2，5，4， ，3，由此可推出第 2008 个数是_。【分析】 观察数列发现，除前两个数字之外， ， ， ， ， ， 六个数字周期出现，712543因为 ，所以第 个数是 。(208)6342 08进位制及位值12. (2003 年希望杯第一届四年级二试第 18 题，10 分)一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是 7，试求它们的差。【答案】abc-cba
7、个位是 7，明显 a大于 c，所以 10+c-a=7，a-c=3，所以他们的差为 29713. (2004 年希望杯第二届四年级二试第 11 题，6 分)如果一个数的所有数位上的数字的和是 10，那么满足条件的最小的四位数是 。【答案】100914. (2009 年希望杯第七届四年级二试第 14 题，15 分)， ， ， 依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足abcdab = 1787。求：这四位数 。abcd【答案】2009 或 2010。奇数与偶数质数与合数1. (2004 年希望杯第二届五年级二试第 5 题，6 分)都是质数，如果 ，那么 。abc、 、 342abcb【解析】由
8、于 342 是 2 的倍数，不是 4 的倍数，所以 与 为一奇一偶，则 或者aca为质数 2，令 ，而 342=23319，则 或者 或者a931957，对应的 为 7 或者 55 或者 169，只有 7 是质数，所以 =7。917 b2. (2006 年希望杯第四届五年级二试第 8 题，4 分 )如果 ， 均为质数，且 3 +7 =41，则 + =_。ababab【解析】因为 41 是奇数，只有奇数加偶数和才为奇数，且 ， 均为质数，所以 ， 中abab必有一个是 2。假设 =2，则 =（41-6）7=5。所以 + =7。约数与倍数3. (2003 年希望杯第一届五年级二试第 7 题，4 分
9、)向电脑输入汉字，每个页面最多可输入 1677 个五号字。现在页面中有 1 个五号字，将它复制后粘贴到该页面，就得到 2 个字；再将这 2 个字复制后粘贴到该页面，就得到 4 个字。每次复制和粘贴为 1 次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作 次。【解析】2 的 10 次方为 1024，2 的 11 次方为 2048，所以需要操作 11 次。4. (2009 年希望杯第七届五年级二试第 3 题，5 分)100 以内的自然数中。所有是 3 的倍数的数的平均数是 。【解析】100 以内的自然数中是 3 的倍数的数有 0， 共 33 个，他们的和是,69,，则他们的平均数为 168334=4
10、9.5。0934179682整除5. (2003 年希望杯第一届五年级二试第 3 题，4 分)六位数 2003能被 99整除，它的最后两位数是 。【解析】试除法 20039999=2024 23，所以最后两位是 99-23=76。6. (2004 年希望杯第二届五年级二试第 4 题，6 分 )若四位数 能被 15 整除，则 代表的数字是 。98aa【解析】15=35 ，能被 15 整除，那么能同时被 5 和 3 整除。能被 5 整除，看个位，那么 只能是 0 或 5；但是当 =0，9080 不能被 3 整除；当 =5 时，9+5+8+5=27 是 3 的倍数，所以 =5。a a奇数与偶数质数与
11、合数1.(2006 年希望杯第四届六年级二试第 9 题，4 分)如果 a，b 均为质数，且 3d7b41，则 ab _ 。【解析】根据奇偶性我们可以知道 a、b 中必然有一个是 2，若 a=2，则 b=7,满足题意；若 b=2,则 a=9，与题意不符。所以 a为 2、b 为 7，则 a+b=9。约数与倍数2. (2006 年希望杯第四届六年级二试第 15 题，4 分)体育课上，60 名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2 ，3 ，60，然后，老师让所报的数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让 所报的数是 5 的倍数的同学向后转，最后让所报的数是 6 的倍数的同学向后转，现在面
12、向老师的学生有_人。【 解 析 】 可 知 其 中 4 的 倍 数 有 15 个 ， 5 的 倍 数 有 12 个 ， 6 的 倍 数 有 10 个 ， 同时 是 4 和 5 的 倍 数 的 有 3 个 ， 同 时 是 5 和 6 的 倍 数 的 有 2 个 ， 同 时 是 4 和 6 的倍 数 的 有 5 个 ， 同 时 是 4、 5、 6 的 倍 数 的 数 有 1 个 ， 现 在 背 向 老 师 的 有15+12+10-3-2-5+1=28 个 ， 面 向 老 师 的 学 生 有 60-28=32 人 。3. (2009 年希望杯第七届六年级二试第 5 题，5 分)已知 A、B 两数的最
13、小公倍数是 180，最大公约数是 30，若 A=90，则 B= 。【 答 案 】 60整除4. (2007 年希望杯第五届六年级二试第 10 题，5 分)已知 n 个自然数之积是2007，这 n 个自然数之和也是 2007，那么 n 的值最大是_。考点：数论、最值问题一级提示：怎样构造和与积都等于 2007的一组自然数？二级提示：怎样构造才能使数的个数最多？【答案】1781。【分析】为了构造和与积都等于 2007的一组自然数，首先把 2007拆成若干个整数之积，然后把和不足的地方用 1补足。容易看出来，2007 拆分成的整数越多，它们的和就越小，需要添加的 1也就越多。2007的质因数分解式是
14、 32223，3+3+223=229，还需要补 2007-229=1778个 1。所以共有 1781个。5. (2008 年希望杯第六届六年级二试第 9 题，5 分)有一个不等于 0 的自然数，它的 是一个立方数，它的 是一个平方数，则这1213个数最小是_ 。分析：设为 ( 为不含质因子 2、3 的整数)，则它的 是 是立方数，所以23abc 21ac是 3的倍数， 是 3的倍数，另外它的 即 是一个平方数，所以 是偶数，1a 113abc a是奇数，符合以上两个条件的 的最小值为 4， 的最小值为 ，这个数最小为 432。ba余数6. (2007 年希望杯第五届六年级二试第 8 题，5 分
15、 )2007 年 4 月 15 日（星期日）是第 5 届小学“希望杯”全国数学邀请赛举行地2 试的日子，那么这天以后的第 2007415 天是星期_ 。考点：周期、余数一级提示：计算星期，属于哪类问题？二级提示：有什么简单的方法可以计算？【答案】2。【分析】计算星期属于余数问题，也就是考虑被 7除的余数。因为 2002被 7整除，所以 2007被 7除余 5；又因为 15被 7除余 1，所以 2007+415 5+41(mod7)，5+41=9，被 7除余 2，所以是星期二。7. (2008 年希望杯第六届六年级二试第 6 题，5 分 )某小学的六年级有一百多名学生，若按三人一行排队，则多出一
16、人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人。该年级的人数是_。分析：符合第一、第三条条件的人数为的最少人数为 37+1=22人，经检验，22 也符合第二个条件，所以 22也是符合三个条件的最小值，但该小学有一百多名学生，所以学生总人数为 22+357=127。周期进位制及位值8. (2008 年希望杯第六届六年级二试第 4 题，5 分 )一直三位数 abc 与它的反序数 的和等于 888，这样的三位数有_个。cba分析，显然 、 都没有发生进位，所以 、 ，则 ， 、 的情acb8acb4bac况有 1+7、2+6、3+5、4+4、5+3、6+2、7+1 这 7种。所以这样的三位数有 7种。
