1、椭圆与双曲线的对偶性质椭 圆1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角.2. PT 平分PF 1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 .5. 若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .0(,)Pxy21xyab0P021xyab6. 若 在椭圆 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2 的直,2线方程是 .027. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为 F1
2、，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 ，则椭圆1xya 12F的焦点角形的面积为 .12tanFPS8. 椭圆 （ab0）的焦半径公式：2xy, ( , ).1|MFe20|ex1)c2(0)F0,)Mxy9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、 A2 为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点M， A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是椭圆 的不平行于对称轴的弦， M 为
3、AB 的中点，则 ，2xyab),(0yx 2OMABbka即 。02KAB12. 若 在椭圆 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 .0(,)Pxy21xyab 2002xyxyab13. 若 在椭圆 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 .0,2 0222 / 7双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的内角.2. PT 平分PF 1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切 .（内切：
4、P 在右支；外切：P 在左支）5. 若 在双曲线 （a 0,b0）上，则过 的双曲线的切线方程是0(,)Pxy21xyb0.2ab6. 若 在双曲线 （a 0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为0(,)xy2xyP1、P 2，则切点弦 P1P2 的直线方程是 .21xyb7. 双曲线 （a 0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点b，则双曲线的焦点角形的面积为 .12F12tPSco8. 双曲线 （a0,bo）的焦半径公式：( , 1xy (0)2()当 在右支上时， , .0(,)M10|MFexa2|exa当 在左支上时， ,0F9. 设过双曲线焦
5、点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A 2 为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和 A2Q交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是双曲线 （a0,b 0 ）的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则xyb ),(0yx，即 。02KABOM 02yxbAB12. 若 在双曲线 （a 0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是0(,)Pxy21x.202ab13. 若
6、 在双曲线 （a 0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是0(,)xy21xyb.202ab椭圆与双曲线的对偶性质椭 圆1. 椭圆 （abo ）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交椭圆于21xy1(0)Aa2()P1、 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 .2xyb2. 过椭圆 (a0, b0)上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,Cxya0(,)两点，则直线 BC 有定向且 （常数）.20BCxkay3. 若 P 为椭圆 （ab0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2 是焦点, , 21xy 12P，则 .21Ftnt2co4. 设椭圆 （a b0
7、 ）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在2xyPF 1F2 中，记 , , ，则有 .12P1212Psincea5. 若椭圆 （a b0 ）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当 0e 时，2xy 21可在椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.6. P 为椭圆 （ab0）上任一点,F 1,F2 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2xy,当且仅当 三点共线时，等号成立.211|2|aAFF2,P7. 椭圆 与直线 有公共点的充要条件是002()()xyb0xByC.222Bx4 / 78. 已知椭圆 （ab
8、0） ，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 .（1）21xy OPQ;（2）|OP| 2+|OQ|2 的最大值为 ;（3） 的最小值是221|OPQ24abS.ab9. 过椭圆 （a b0 ）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平21xy分线交 x 轴于 P，则 .|2FeMN10. 已知椭圆 （ ab0 ） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相21ya交于点 , 则 .0()x22bxa11. 设 P 点是椭圆 （ ab0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2 为其焦点记21ya，则(1) .(2) .12F212|cosPF
9、12tanPFSb12. 设 A、B 是椭圆 （ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点， , 2xya PAB, ，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) .(2) P 2|cos|ab.(3) .2tan12cotPABSba13. 已知椭圆 （ ab0 ）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过椭圆右焦点 的直线与椭2xylEF圆相交于 A、B 两点, 点 在右准线 上，且 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.ClC14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点
10、与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质双曲线1. 双曲线 （a 0,b0 ）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交21xyb1(0)Aa2()双曲线于 P1、 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 .2xyb2. 过双曲线 （ a0,b o）上任一点 任意作两条倾斜
11、角互补的直线交双xyab0(,)曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 （常数）.20BCxkay3. 若 P 为双曲线 （a0,b 0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2 是焦点, 21xyb, ，则 （或 ）.12F21tant2ccotantco4. 设双曲线 （a 0,b0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为双曲线上任2xyb意一点，在PF 1F2 中，记 , , ，则有12P1212P.sin()cea5. 若双曲线 （a 0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当 1e21xyb时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1 是 P
12、到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.16. P 为双曲线 （a0,b 0）上任一点,F 1,F2 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21xyb,当且仅当 三点共线且 和 在 y 轴同侧时，等号成21|AFF2, 2,F立.7. 双曲线 （a 0,b0 ）与直线 有公共点的充要条件是2xyb0AxByC.2AaBC6 / 78. 已知双曲线 （ba 0） ，O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且21xy.OPQ（1 ） ;（2 ）|OP| 2+|OQ|2 的最小值为 ;（3 ） 的最小值22| 24abOPQS是 .ab9. 过双曲线 （a 0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线
13、的右支于 M,N 两点，弦21xyMN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 .|2eMN10. 已知双曲线 （a 0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x21yb轴相交于点 , 则 或 .0()x2b20abx11. 设 P 点是双曲线 （a0,b 0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2 为其焦点记21y，则(1) .(2) .12F22|cosbPF12cotPFSb12. 设 A、B 是双曲线 （a0,b 0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，21xyb, , ，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)PBA.2|cos|a(2) .(3) .2tn1
14、e2cotPABabS13. 已知双曲线 （a 0,b0）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过双曲线右焦点 的2xyblEF直线与双曲线相交于 A、B 两点 ,点 在右准线 上，且 轴，则直线 AC 经过线段 EF CBC的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
