1、第 1 页 共 10 页数学谬论与诡辩选析数学谬论与诡辩选析江苏省泰州市朱庄中学 曹开清 (225300)谬论一：1=3有人这样证明：设a=b0则 ab2=a3在等式两边都减去b 3，得ab2-b3=a3-b3分解因式，得b2(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2) 在等式两边都除以(a-b)，得b2=a2+ab+b2因为 a=b所以 b2=b2+b2+b2 即 b2=3b2在等式两边都除以b 2，即得1=3奇迹出现了！你能找出证明过程中的错误吗？解 析 ： 证明中，在等式b 2(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2)两边都除以(a-b)，而a-b=0，而0是不能作除数的！正因为用0去作除
2、数，才出现了1=3的荒谬结果。谬论二：任何梯形都是平行四边形第 2 页 共 10 页如图，在梯形ABCD中，AD/BC，上底AD=a，下底BC=b ，下面来证明a=b 。证明方法1：设梯形中位线EF=c ，则有a+b=2c等式两边都乘以(ab)，得(a+b)(ab)=2c(ab) 展开得 a2-b2=2ac-2bc移项得 a2-2ac=b2-2bc等式两边都加c 2，得a2-2ac+c2=b2-2bc+c2即 (ac)2=(bc)2 两边都开方，得a-c=b-c等式两边都加c，得a=b这就是说，梯形ABCD是平行四边形。结论当然是荒谬的，那么证明过程中什么地方错了呢？解 析 ： 错在等式(a
3、c)2=(bc)2两边都开方，得 ac=b-c 这个环节上。因为由(ac)2=(bc)2， 只 能 得 到 |ac|=|b-c|。 在 这里 ac0，b-c 0，所以，ac不可能等于b-c，即ab。证明方法2：第 3 页 共 10 页如上图，延长DA到F，使FA=b，延长BC到E ，使CE=a，连接AC、BD，交点为G，连接FE交AC 于H。设AG=x，GH=y，HC=z因为 ，即 ，所以 ADBC = AGGC ab = xy+z x = ab(y+z)因为 ，即 ，所以 CEFA= HCAH ab = zx+y z = ab(x+y)减，得 ，等式两边都除以(z-x)，并取绝对值，得 x-
4、z = ab(z-x) |a|b| = 1所以a=b。解 析 ： 由 ，得 ，因为 ，所以z-x-z = ab(z-x) a+bb (z-x) = 0 a+bb 0x=0。在等式 两边都除以(z-x)，相当于在等式两边都除以0，从而导致x-z = ab(z-x)a=b这个荒谬的结论。谬论三：n+1=n有人这样证明：对于任意一个数n，运用完全平方公式，得(n+1)2=n2+2n+1在等式两边同加上-(n+1)(2n+1)+ (2n+1)2，得14(n+1)2-(n+1)(2n+1)+ (2n+1)2=n2+2n+1-(n+1)(2n+1)+ (2n+1)214 14整理，得(n+1) 2-2(n
5、+1) (2n+1)+ (2n+1)2=n2-2n (2n+1)+ (2n+1)212 12 12 12再运用完全平方公式，得(n+1)- (2n+1)2=n- (2n+1)212 12等式两边开平方，得(n+1)- (2n+1)= n- (2n+1)12 12第 4 页 共 10 页再在等式两边同加上- (2n+1)，得12n+1=n这是不可能的。但是错在哪儿呢？解 析 ： 证明的错误发生在等式两边开平方的环节上。将等式(n+1)- (2n+1)2=n-12(2n+1)2两边开平方后，应该是|(n+1)- (2n+1)|=|n- (2n+1)|，而不是(n+1)- (2n+1)=n-12 1
6、2 12 12(2n+1)。12谬论四：三角形内切圆面积大于该三角形面积设三角形的周长为 30，面积为 75，根据 S= (a+b+c)r= pr，得内切圆半径 r= =12 12 2Sa+b+c=5。于是，三角形内切圆的面积= r2=2575，即三角形内切圆面积大于该三角形面27530积。解 析 ： 部分居然大于整体！这究竟是怎么一回事呢？原来三角形的面积与周长之间有着内在的相关性：由秦九韶海伦公式和平均值不等式，得S= s(s-a) (s-b) (s-c) s (s-a)+(s-b)+(s-c)3 3 = s239= p2 （这里 s= (a+b+c) = p，s 为三角形的半周长，p 为
7、三角形的周长）336 12 12即三角形面积S和周长p之间必须满足不等式：S p2 （当且仅当a=b=c时取等号）.336第 5 页 共 10 页而上述三角形面积（75）和周长（30）之间并不满足这个不等式。换句话说，这个三角形根本不存在！谬论五、任何三角形都是等腰三角形我们知道，三角形按边分类，可分为等腰三角形和不等边三角形。现在，有人却要证明：任意三角形都是等腰三角形。如图，ABC 是任意三角形，当 AB=AC 时，显然ABC 是等腰三角形。 下面证明当 ABAC 时，ABC 也是等腰三角形！不妨设 ABAC，作边 BC 的垂直平分线 DE 与BAC 的平分线，交点为 P，过点 P 作PF
8、AB、PGAC，垂足分别为 F、G，连接 PB、PC。容易证明 APFAPG（角角边），所以有 AF=AG，PF=PG；BPF CPG（由 得 PF=PG，又 DE 垂直平分BC，所以 PB=PC，再根据“ 斜边直角边”得证），所以有 BF=CG。 因为 AB=AF+FB，AC=AG+GC，所以 AB=AC。综上所述，任意三角形都是等腰三角形。假如这个结论是对的，那么就不存在按边分类了！但是，这个证明究竟错在什么地方呢？解 析 ： 这道题的错误在于把图画错了！如果严格的按要求画图，PG 与边 AC 的垂足不会在边 AC 上，而在边 AC 的延长线上，这时，我们可以证明 AB-BC=2BF（或
9、2CG），只有当 BF=CG=0 时，才有 AB=BC。所以“任意三角形都是等腰三角形”这个结论不能成立。第 6 页 共 10 页至于有人在证明时，故意把边 BC 的垂直平分线 DE 与BAC 的平分线的交点 P 画在ABC 内部（见下图），那就更加大错特错了。事实上，设BAC 的平分线与边 BC 相交于点K，根据三角形内角平分线定理得：AB/AC=BK/KC。如果 ABAC，那么 BKKC，也就是说 K 点在边 BC 中点的右边，所以边 BC 的垂直平分线 DE 和BAC 的角平分线的交点 P 不可能在ABC 的内部！而这一点在“证明”中起着关键的作用。看了上面的“证明” ，我们不免会有这样
10、的疑问：如果一个几何题的证明的正确性取决于画图的准确性，那么我们又如何能保证画图的准确性呢？尤其严重的是，任何一个图形，即便你把它画得足够“一般” ，它事实上都只能代表这个图形所表示的具体情况。当一个几何证明依赖于这个具体的图形时，如何使人相信这个证明其实是对所有的情况作出的呢？尤其是当几何图形相当复杂时，这种疑问会变得很强烈：这个具体图形是否能代表一般的情况？对更一般的数学证明来说，我们也会有这样的担心：我们在证明一个命题的时候，是否会在证明里运用了太多的直觉，以至于不小心引入了事实上不存在的前提？谬论六：钝角等于直角我们知道，一个小于平角的角可以分为三类：锐角，直角和钝角. 直角小于钝角，
11、但是下面却有一个关于钝角等于直角的证明： 第 7 页 共 10 页如图，在矩形 ABCD 外作 BE=BC，且使 0EBC90，连接 DE. 作 AB、DE 的垂直平分线，因为它们各自垂直于两条不平行的直线，所以必定相交于一点 P，连接PA、PB、PD、PE ，于是 PA=PB，PD=PE。由作图，BE=BC=AD. 所以PBEPAD 。所以，PBE=PAD ，但 PBA=PAB ，于是PBE- PBA=PAD-PAB，所以钝角ABE= 直角BAD 。 解 析 ： 众所周知，钝角大于直角，但证明错在什么地方呢？实际上，如果我们画图准确一些的话，会发现 PE 根本不会通过矩形 ABCD 内部，问
12、题就出在这里 . 真是差之毫厘，谬之千里！ 下面就来证明：PE 与直线 AB 的交点不在边 AB 上，而在边 AB 的延长线上！ 建立如图所示的平面直角坐标系，设矩形矩形 ABCD 的边AB=2a，BC=b，EBX= ， 090 。则有 B(0，0) ， D(-2a，b)，E(bcos，bsin)因 PG 是 AB 的垂直平分线，故可设 P(一 a，y)，又设 PE 与 x 轴的交点为 M(x，0)由 PD = PE得(-a+2a) 2+(y-b) 2 = (-a-bcos) 2+(y-bsin) 2，第 8 页 共 10 页解得 y= acossin 1由 P、M、E 三点在同一直线上，得=
13、 0 yx + ab sin 0bcos x由、解得 x=ab (1 sin)acos+ bsin(1 sin)显然，x0，所以 PE 与 x 轴的交点 M 在线段 AB 的延长线上。谬论七、跑得最快的人“追不上”乌龟阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。一天他正在散步，忽然发现在他前面 100 米远的地方有一只大乌龟正在慢慢地向前爬。 乌龟说：“阿基里斯! 谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯回答说：“胡说！我的速度比你快何止百倍！就算刚好是你的 10 倍，我也马上就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的，我们来试一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前爬了 10 米。当你再向前跑过 10
14、米时，我又爬到前面去了。每次你追到我刚刚到过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：“哎呀！我明明知道能追上你，可你说的好像也有道理，这是怎么回事呢? ”先看下面的图：阿基里斯在 O 点时，乌龟在 A 点；他追到 A 点，乌龟爬到 B 点；他追到 B 点，乌龟爬到 C 点；他追到 C 点，乌龟爬到 D 点； 我们看到，阿基里斯与乌龟的距离越来越近，也就是 OA，AB，BC，CD， 这些线段越来越短，每条线段都只有前一个的 1/10，但是第 9 页 共 10 页每条线段的长度都不会为是 0。这就是说，当阿基里斯按上面的过程去追乌龟时，在任何有限次之内他
15、都追不上乌龟。那么，阿基里斯真的追不上乌龟了吗? 解 析 ： 当然不是。错误的结论产生于用“有限”的方法去处理“无限”的问题！这一诡辩的关键是使用了两种不同的时间测度。原来，我们用来测量时间的任何一种“钟”都是依靠一种周期性的过程作标准的。如太阳每天的东升西落，月亮的圆缺变化，一年四季的推移，钟摆的运动等等。人们正是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准的。除了普通的钟以外，还有另一种很特别的“钟”，就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。用这种重复性过程测得的时间称为“芝诺时”。例如，当阿基里斯在第 n 次到达乌龟在第 n 次的起始点时，芝诺时记为 n，这样，在芝诺时为有限
16、的时刻，阿基里斯总是落在乌龟后面。但是在我们的钟表上，假如阿基里斯跑完 OA(即 100 米)用了 10 秒钟，那么他跑完 AB只要 1 秒钟，跑完 BC 只需 0.1 秒，跑完 CD 只需 0.01 秒， 实际上，他只需要10+1+0.1+0.01+=100/9 秒钟就可以追上乌龟了。因此，这一诡辩的产生原因，是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了。 这一诡辩实际上是反映了“时空并不是无限可分的，运动也不是连续的”。谬论八：蠕虫与橡皮绳一条蠕虫在橡皮绳的一端，橡皮绳长 1 千米，蠕虫以 1 厘米/秒的稳
17、定速度沿橡皮绳爬行。在 1 秒钟之后，橡皮绳拉长为 2 千米；再过 1 秒钟后，橡皮绳又拉长为 3 千米；如此下去，蠕虫最后究竟能不能到达终点呢？根据直觉，蠕虫绝不能爬到终点。第 10 页 共 10 页解 析 ： 可是，它爬到了。理解这个问题的关键是橡皮绳的伸长是均匀的，这意味着蠕虫随着橡皮绳的拉伸也向前挪动了。因为 1 千米=100000 厘米，所以在第 1 秒钟末，蠕虫爬行了橡皮绳长度的 ；在1100000第 2 秒钟末，蠕虫又在长度为 2 千米的橡皮绳上爬了它的 ；在第 3 秒钟末，它又爬1200000了 3 千米长的皮筋的 ；如此继续下去，蠕虫的进程表示为整条橡皮绳长度的分130000
18、0数就是(1+ + + + )。1100000 12 13 14括号里是人们熟悉的调和级数。由于这个级数是发散的，它的部分和我们要它有多大，就可以有多大。只要这个和超过 100000，上面的表达式就超过 1。这就是说，蠕虫已经到达终点。此时调和级数该部分和的项数 n 就是蠕虫爬行的时间（单位：秒） ，也是橡皮绳最后长度的千米数。经过计算，得 ne100000。结果表明，橡皮绳其长无比，比已知的宇宙直径还长得多，同时蠕虫要爬到终点的时间也无比漫长，它比已知的宇宙年龄还要远久得多。自然，这个问题说的是一条理想的蠕虫，它可以表示为在一条理想的橡皮绳上的一个点。若是真的蠕虫，那么在还没有怎么开始这段旅程就死了；同时，若也是真的橡皮绳则需把它拉得细到它只能由分隔的分子连成这样难以想象的程度。
