第八章 应力状态和强度理论.doc

1、第八章 应力状态和强度理论81 概 述对于轴向拉压和平面弯曲中的正应力，将其与材料在轴向拉伸（压缩）时的许用应力相比较来建立强度条件。同样，对于圆杆扭转和平面弯曲中的切应力，由于杆件危险点处横截面上切应力的最大值，且处于纯剪切应力状态，故可将其与材料在纯剪切下的许用应力相比较来建立强度条件。构件的强度条件为 maxmax 或式中，工作应力 max 或 max 由相关的应力公式计算；材料的许用应力 或 ，应用直接试验的方法（如拉伸试验或扭转试验） ，测得材料相应的极限应力并除以安全因数来求得。但是，在一般情况下，受力构件内的一点处既有正应力，又有切应力，这时，一方面要研究通过该点各不同方位截面上

2、应力的变化规律，从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位。受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点处的应力状态。另一方面，由于该点处的应力状态较为复杂，而应力的组合形式又有无限多的可能性，因此，就不可能用直接试验的方法来确定每一种应力组合情况下材料的极限应力。于是，就需探求材料破坏（断裂或屈服）的规律。如果能确定引起材料破坏的决定因素，那就可以通过较轴向拉伸的试验结果，来确定各种应力状态下破坏因素的极限值，从而建立相应的强度条件，既强度理论。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小的正六面体单元体来研究。作用在单元体各面上的应力可认为是均匀分布的。如果单元体一对

3、截面上没有应力，即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内，则称之为平面应力状态（图 81b） ；所有面上均有应力者，称为空间应力状态（图 81a） 。根据弹性力学的研究，任何应力状态，总可找到三对互相垂直的面，在这些面上切应图 81xyxxyxyyxy(b)xyxxzyxzzyz(a)yxyzyzx力等于零，而只有正应力(图 82a)。这样的面称为应力主平面(简称主平面)，主平面上的正应力称为主应力。一般以 1、 2、 3 表示( 按代数值 1 2 3)。如果三个主应力都不等于零，称为三向应力状态( 图 82a)；如果只有一个主应力等于零，称为双向应力状态(图 82b)；如果有两个主应力等于零

4、称为单向应力状态( 图 82c)。单向应力状态也称为简单应力状态，其它的称为复杂应力状态。本章主要研究平面应力状态，并讨论关于材料破坏规律的强度理论。从而为在各种应力状态下的强度计算提供必要的基础。82 平面应力状态的应力分析解析法一、斜截面应力设 ef 为一与单元体前后截面垂直的任一斜截面，其外法线 n 与 x 轴间的夹角（方位角）为 （图 82b） ，简称为 截面，并规定从 x 轴到外法线 n 逆时针转向的方位角 为正值。截面上的正应力和切应力用 和 表示。对正应力 ，规定以拉应力为正，压应力为负；对切应力 ，则以其对单元体内任一点的矩为顺时针转向者为正，反之为负。假想地沿斜截面 ef 将

5、单元体截分为二，取 efd 为脱离体，如图 83c 所示。根据0tnF(b)分别有 0cosindsindsicodcsod AAAA yyxx(c)coin(d)根据切应力互等定律有 xy(e)将式 （b） 分别代入式(c)和(d)，经整理后有图83xyxxyxyyxy(a)xny(c)tx xyydefxy(b)yyyfeadbcn图82132(a) (b)(c)12xyx cosin2sico2 (8-1)(n)( 2(8-2)利用三角关系 2sincosi21ncss2(f)即可得到 2sinco2xyxyx (83)sinxyx(84)上列两式就是平面应力状态（图 83a）下，任意斜

6、截面上应力 和 的计算公式。例题 81 图 a 为一平面应力状态单元体，试求与 x 轴成 30 角的斜截面上的应力。解：由图可知 MPa 30Pa, 20,MPa 30yx则由公式(13 3)及(13 4)可直接得到该斜截面上的应力 Pa3.19)02cos(3)02sin(0 52.)in(3 二、主应力和主平面将式(83)对 取导数 2cossin2dxxy（a）令此导数等于零，可求得 达到极值时的 值，以 0 表示此值 2cossin2x xy(b)203030单位：MPaxy(a)xn30301020y30 30(c)3030 30例题81图即 yx2tan0(85)由此式可求出 0

7、的相差 90的两个根，也就是说有相互垂直的两个面，其中一个面上作用的正应力是极大值，以 max 表示，另一个面上的是极小值，以 min 表示。利用三角关系： 020020tan12sintco(c)将式(13 5)代人上两式，再回代到式(13 3)经整理后即可得到求 max 和 min 的公式如下：2minax2xyxyx (86)式中根号前取“+”号时得 max，取“”号时得 min。若把式(13 6)的 max 和 min 相加可有下面的关系： yxminax(89)即：对于同一个点所截取的不同方位的单元体，其相互垂直面上的正应力之和是一个不变量，称之为第一弹性应力不变量，并可用此关系来校

8、核计算结果。用完全相似的方法，可以讨论切应力 的极值和它们所在的平面。将式(8 4)对 取导数，得 xy 2sinco)(dx(a)令导数等于零，此时 取得极值，其所在的平面的方位角用 表示，则0i2sx xy(b)xytan(810)由式(8 10)解出 sin2和 cos2。代入式(8 4)求得切应力的最大和最小值是 2minax xyx(811)与式(13 6)比较，可得 2minaxinax(812)再比较式(8 5)和(8 10)两式，则有 2tan1ta0(813)这表明 20 与 2相差 90，即切应力极值所在平面与主平面的夹角为 45以上所述分析平面应力状态的方法称为解析法。单

9、位：MPa20303035.813例题82图例题 82 图示为某构件某一点的应力状态，试确定该点的主应力的大小及方位。解：由图可知 MPa 30Pa, 20,MPa30xyx 将其代入式(13 6) a4522minax .则主应力为 P0Pa45321 .,.由式（8 5）得 2.5483.10762-()tn00yx83 应 力 圆一、应力圆由斜截面应力计算公式(8 3)与(8 4)可知，应力 和 均为 2的函数。将二式分别改写成如下形式： xyxyx sin2co2(a) xyx 2cossin20(b)然后，将以上二式各自平方后再相加，于是得 222)0(xyxyx (c)这是一个以正

10、应力 为横坐标、切应力 为纵坐标的圆的方程，圆心在横坐标轴上，其坐标为 02,yx，半径为2xyx。而圆的任一点的纵、横坐标则分别代表单元体相应截面上的切应力与正应力，此圆称为应力圆或莫尔(O.Mohr)圆，如图 84 所示。二、应力圆的绘制及应用图84O(x +y)/2C2xyx根据图 85 所示一平面应力状态单元体，作出相应的应力圆，在 坐标系的平面内，按选定的比例尺，找出与 x 截面对应的点位于 D1 (x ,x)，与 y 截面对应的点位于 D2 (y ,y)，连接 D1 和 D2 两点形成直线，由于 x 和 y 数值相等，即 21B，因此，直线与坐标铀 的交点 C 的横坐标为( y+y

11、)/2，即 C 为应力圆的圆心。于是，以 C 为圆心， 1C或 2为半径作圆221 xyx，即得相应的应力圆。应力圆确定后，如欲求 斜截面的应力，则只需将半径 CD1 沿方位角 的转向旋转 2至CE 处，所得 E 点的纵、横坐标 E 与 E 即分别代表 截面的切应力 与正应力 ，令圆心角A 1CD1=20。在利用应力圆分析应力时，应注意应力圆上的点与单元体内的截面的对应关系。如图86 所示，当单元体内截面 A 和 B 的夹角为 时，应力图上相应点 a 和 b 所对应的圆心角则为 2，且二角之转向相同。实质上，这种对应关系是应力圆的参数表达式(8 3)和(8 4)以两倍方位角为参变量的必然结果。

12、因此，单元体上两相互垂直截面上的应力,在应力圆上的对应点，必位于同直径的两端。例如在图 85 中，与 x 截面上应力对应的点 D1，以及与 y 截面上应力对应的点 D2，即位于同一直径的两端。例题 84 试用图解法求解图示应力状态单元体的主应力。解：首先，在选定坐标系的比例尺，由坐标（200,-300）和（-200,300）分别确定 C(a)200300200单位：kPa 0 100kPaOCCD(b)1283x62(c)例题84图图85y(a) yyx xxn(b)xOD1 (x ,x)CB1B2 A1A2(x,y) D2 (x +y)/2(x -y)/220maxmin2E (,)EF 和

13、 C点(图 b） 。然后，以 CC 为直径画圆，即得相应的应力圆。从应力圆量得主应力及方位角，并画出主应力的应力状态如图。 kPa36028kPa360max184 三向应力状态的最大应力一、三向应力圆将三个坐标轴方向取在三个互相垂直的主应力方向上，选取如图 87a 所示单元体。首先分析与主应力 3 平行的斜截面abcd 上的应力。不难看出( 图 137b)，该截面的应力 和 仅与主应力 1 反 2 有关。所以，在 坐标平面内，与该类斜截面对应的点，必位于由 1 与 2 所确定的应力圆上( 图 88)。同理与主应力 2 (或1)平行的各截面的应力，则可由 1 与3(或 2 与 3)所画应力圆确

14、定。图88O13 2K图8912xzyB3CA至于与三个主应力均不平行的任意斜截面 ABC（图 89） ，由四面体 OABC 的平衡可得该截面的正应力与切应力分别为 n 23221 cosscos(815)n (816)式中， 、 、 分别代表斜截面 ABC 的外法线与 x、 y、 z 轴的夹角。利用上述关系可以证明在 坐标平面内，与上述截面对应的点 K(n ,n)，必位于图 138 所示三圆所构成的阴影区域内。二、最大应力综上所述，在 坐标平面内，代表任一截面的应力的点，或位于应力圆上，或位于由上述三圆所构成的阴影区域内。自此可见，一点处的最大与最小正应力分别为最大与最小主应力，即 1max

15、(817)3in(818)图87da1bc(a)12xzy3213adbc1(b)33 2 而最大切应力则为 231max(819)并位于与 1 及 3 均成 45的截面。上述结论同样适用于单向和双向应力状态。例题 85 图 a 所示应力状态，应力 x = 80 MPa， x = 35 MPa， y = 20 MPa， z =-40 MPa，试画三向应力圆，并求主应力、最大切应力。解： 1. 画三向应力圆对于图示应力状态，已知 z 为主应力，其它两个主应力则可由 x ， x 与 y 确定(图 b) 。在 坐标平面内(图 c)，由坐标(80,35) 与(20, -35)分别确定 A 和 B 点，

16、然后，以 AB为直径画圆并与 轴相交于 C 和 D，其横坐标分别为 MPa90.316取 E(-40, 0)对应于主平面 z，于是，分别以 ED 及 EC 为直径画圆，即得三向应力圆。2. 主应力与最大应力由上述分析可知，主应力为 Pa0.4931.6321EDC而最大正应力与最大切应力则分别为 Ma1.68231max85 空间应力状态的广义胡克定律一、双向应力状态的广义胡克定律(b)xyxxyzyz (a)yx例题85图CEOD A (c)BE12211 (820)这就是双向应力状态下的广义胡克定律。二、空间应力状态下的广义胡克定律同理，三向应力状态下（图 811a）的广义胡克定律为 )(

17、1)(12133223E(822) 对于空间应力状态(图 811b)，即单元上既作用有正应力 x 、 y、 z，又作用有切应力 xy、 xz、 yz，则正应力 x 、 y、 z 与沿 x、y、z 方向的线应变 x、 y、 z 的关系为)(1)(1yxzzzyyzxE(823)切应变 xy、 yz、 zx 与切应力 xy、 yz、 zx 之间的关系为 Gzxyzxy(824)式 (823、24) 即 为一般空间应力状态下、线弹性范围内、小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。例题 86 有一边长 a=200mm 的正立方混凝土试块，无空隙地放在刚性凹座 (图 a)里。上表面受压力 F300kN

18、作用。已知混凝土的泊松比 1/6。试求凹座壁上所受的压力 FN 图811(a)xyxxzyxzzyz(b)yxyzyzx123。解：混凝土块在 z 方向受压力 F 作用后，将在 x、y 方向发生伸长。但由于 x、y 方向受到座壁的阻碍，两个方向的变形为零，即 0x此式即为变形条件。此时，在 x、y 方向所受到座壁的反力 FNx 和 FNy，因对称而相等，即yxN由三向应力的胡克定律，有 0)(1xzyyzxxE解出 zyx由于试块较小，可认为应力分布均匀，则式中 22N2N, aFaaFzyyxx 将有关数据代入，得 kN6010215.MPa.).7(61P5.7105.033662N662

19、32z aFxyxyx 4931 8.)4.(03.)(2 E87 强度理论概述一、最大拉应力理论（第一强度理论）这一理论认为，最大拉应力是引起材料断裂的主要因素。而且认为，无论材料处于何种应力状态，只要最大拉应力 1 达到材料单向拉伸断裂时的最大拉应力即强度极限 b，材料即发生断裂。即材料断裂破坏的条件为FNxFNyFNxFNyFNyF例题 86 图(a) (b)FNxFNxb1 (a)试验表明：脆性材料在双向或三向拉伸断裂时，最大拉应力理论与试验结果相当接近；而当存在压应力时，则只要最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多，最大拉应力理论与试验结果也大致相近。将式（a）的极限应力 b 除以

20、安全因数，就得到材料的许用应力 ，因此，按第一强度理论所建立的强度条件为 1(827)二、最大拉应变理论（第二强度理论） 复杂应力状态下的最大拉应变为 )(132E(828)而材料在单向拉伸断裂时的最大拉应变为 bu(c)则材料的断裂条件可改写为 b321)(d)即为主应力表示的断裂破坏条件。再将上式中的极限应力除以安全因数 n，就得到许用应力 ，故此可很第二强度理论的强度条件为 )(321( 829)三、最大切应力理论（第三强度理论） 这一理论是针对塑性屈服破坏的。该理论认为，最大切应力是引起材料发生屈服的主要因素。也就是说，无论材料处于何种应力状态，只要最大切应力 max 达到材料单向拉伸

21、屈服时的最大切应力 s，材料即发生屈服破坏。即 smax(a)对于复杂应力状态，最大切应力为 231ax(b)而材料单向拉伸屈服时的最大切应力则为 s(c)考虑安全因数后，就得到第三强度理论的强度条件为 31(830)这一理论与试验符合较好，比较满意地解释了塑性材料出现屈服现象，因此在工程中得到广泛应用。但该理论没有考虑第二主应力 2 的影响而且对三向等值拉伸情况，按这个理论来分析，材料将永远不会发生破坏，这也与实际情况不符。四、形状改变比能理论（ 第四强度理论）这一理论也是针对塑性屈服破坏的。众所周和，在外力作用下构件将发生变形，则外力作用点即随之发生改变，从而外力将在其相应的位移上作功。与

22、此同时，构件因其形状和体积都发生改变而在其内部积蓄了能量，称为变形能。通常将构件单位体积内所积蓄的变形能，称为比能。进而也将比能分为形状改变比能和体积改变比能两部分。可以推得(从略)，三向应力状态下形状改变比能的表达式为)()()(61 2132321d Ev(a)形状改变比能理论认为，形状改变比能是引起材料发生屈服的主要因素。也就是说，无论材料处于何种应力状态，只要形状改变比能 vd 达到材料单向拉伸屈服时的形状改变比能 vds，材料就会发生屈服破坏。即 s(b)材料单向拉伸屈服时的形状比能为 2ssd31Ev(c)因此，材料的屈服破坏条件为 s2132321 )()()( (d)考虑安全因

23、数后，就得到第四强度理论的强度条件为 )()()(2213221(831)五、相当应力综合上述四个强度理论的强度条件可以将它们写成下面的统一形式 r(832)此处为根据拉伸试验而确定的材料的许用拉应力， r 为三个主应力按不同强度理论的组合，称为相当应力。对于不同强度理论， r 分别为1(832a)(32r2(832b)13(832c)21323214r )()()( (1332d)例 89 试对图示单元体写出第一、二、三、四强度理论的相应应力值，设 = 0.3解： 对于图示应力状态，已知 x=15MPa 为主应力，其它两个主应力则可由纯剪切应力状态 =20MPa 确定(图 b)。其主应力为四个强度理论的相当应力为MPa201r MPa5.21)0(53. 03r20 15单位：MPa20(a) (b)例题 88 图15MPa20MPa20202231