1、形如 的函数的值域的解法2121,0bxcyaba下面我们看形如 的函数的值域.2121,xc1、判别式法：若 ,函数的定义域为 ,则可用判别式法.先去分母,得到含参数 的二次方程2140bacRy,根据判别式 ,即可求出值域.fxfy例、求 的值域.234xy由 得 .0y当 时, ,当 时 ,由 得 .0yx34y函数的定义域为 .R函数 的值域为 .234x,注：若 或者题目指定函数的定义域非 则不能用判别式法否则就会放大值2110bacR域.2、斜率法：可视为连结两点2221111cxbbxcyaaA的斜率 .而 的轨迹是抛物线 ,则可由点22,cABkA21xayb与抛物线 的关系讨
2、论斜率 的范围从而确定原函数的值域.B21xayb当 在抛物线的内部时,斜率 的取值范围为 .kR当 在抛物线上时,斜率 不可取过 点的抛物线切线的斜率.B当 在抛物线的外部时,先求过 点的抛物线的两条切线,则 , 的连线夹在两条A切线之间,如图所示 .对于如何求两直线的斜率,将抛物线方程-5 0 5 10 15-8-6-4-20246等号两边对 求导得 设切点为 .21xaybx12yab21,ayb则由 易求得两切点的值,从而求的两切线斜率.2111caybayb例子：求 的值域.24x解：因为 在抛物线 的外部,容易求得过 与抛物线 相切1,02xy1,02xy的直线斜率范围为 .所以原
3、函数的值域为 .,34,3对于上述两种解题方法,显然判别式法简单易操作, 但其局限性也很明显,必须要满足定义域为 .斜率法虽然复杂,但其试用范围更广.在解题的过程中应先考虑简单易操作的方法,当简R单方法再用其他方法.下面我们看形如 的函数的值域.2211,0axbcya1、 转化为一次分式换元利用不等式求解：因为 221212121 11212121212 2211axbcyabacbxccabxbxaaccbcb2211,0axyab都可以化成 的形式,其中 ,若 和 同号,则221cbx1ymtnd1tbxcmn可由不等式 来求 的值域,但须满足平均不等式一正二定三相等的ab1t原则, 从
4、而求得 的值域.y例求 的值域.23461x解：令 则原函数可化为 .t 31942ytA令 ,存在 满足 ,故当 , 由函数1394ytA0t013957416ytA的对称性可知, 的值域为 .1t1394ytA,则原函数的值域为 .965,在用各种方法求解函数值域时，要注意有些方法的使用是有前提的,特别要讨论函数的定义域,注意那些奇异点.另外, 与2121,0bxcyaba是可以互相转化的（调换分子分母的位置） ，在转化的过程2211,0axbcy中定义域可能会改变,这是要加以讨论.转化过后求解的思路会更广.下面讨论含无理根式的分式函数的值域求无理根式的问题的原则一般是化无理为有理,主要途
5、径为两边平方和三角换元.除此之外还有一些带根式的分式函数可以分类讨论求解,有的还可根据其几何意义使用斜率法求解.1、 两边平方平方的过程中常常会使值域的范围放宽,从而产生错误.变形一定要等价.例 求 的值域.21xy解：当 时, .0当 时,两边平方得 .x22 221134xyx所以 ,综上所求值域为 .2304y23,不难看出,上面的解题过程有错误.显然 与 不等价.221xy21xy原问题等价于当 时, ,当 时 .0xy0x22xy可转化为为 .22134yx由图可知当 时, ,又 与 同号,故02y当 时, .x1y当 时 ,又 与 同号, 故0234x.综上,所求值域为 .3y23
6、,12、 分类讨论分类讨论通常能避免变形不等价.但常常出现变形时注意变量的范围而在求函数值时忽略了变量了范围.同样以上题为例：当 时, .0xy当 时, .所以 .221134xx230,y当 时, .所以 .0x2211yxx,3y在讨论 时犯了个错误,即 ,必须有 .0x3y纠错后易得所求值域为 .在分类讨论问题时,一定要顾及前提条件.213、 三角换元1.5 1.0 0.5 0.51x0.51.01.52.01y2用三角换元,利用三角函数公式常常能把问题变得简单, 但也容易出现扩大范围的错误同样以前面的例子来讨论.令 ,则 .13tan2x31tan2x则 .t 3sicosin6312coy A故所求值域为 .3,上述解法错在把 等同于 .忽略了21tancos2331tancos的取值范围.为了免去含绝对值的麻烦,不妨设 . ,于是 ,所求函数值域为31sin6223,1在做三角换元时，可以适当地限定角度的范围从而使问题更易解决.综上讨论可知,在进行两边平方、开根号、换元等操作时,一定要严控范围的放大与缩小,保证其前后等价.
