1、 广州卓越一对一初中数学教研部 编著 学生姓名授课日期第 2 页 共 14 页第一部分：知识点回顾 1边与边关系：a 2b 2c 22角与角关系：AB903边与角关系，sinA ，cosA ，tanA ，cota ac bc ab ba4仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。右图中的1 就是仰角，2 就是俯角。坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比) ，读作 i，即 i ，坡度通常用 1:m 的形式(注意:坡度一定要写出 1:几的形ACBC式)，例如上图的 1:2 的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。
2、从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是 itanB。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。第二部分：自我评测掌握情况知识点非常好 一般 有待提高 备注特殊三角函数的值坡度计算三角函数的实际应用第三部分：例题剖析例：如图，若CAB = 90，C = ，BDA = ，CD = m，求 AB.解法：设 AB = x，在 RtBAD 中， ，tantABxD在 RtABC 中， ttA CA = CD + DA 课题 锐角三角函数的实际应用教学目标 1、 进一步掌握锐角三角函数的定义；2、 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题教学重点 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题教学难点 能够灵活运
3、用三角函数解决简单的实际问题第 3 页 共 14 页B C lDA 通过解方程求出知数 x 的值tantaxxm第四部分：典型例题例 1：某人在 D 处测得大厦 BC 的仰角BDC 为 30,沿 DA 方向行 20 米至 A 处,测得仰角BAC 为45,求此大厦的高度 BC。变式训练 1：（2011 广东）如图，小明家在 A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路 l，AB 是 A到 l 的小路. 现新修一条路 AC 到公路 l. 小明测量出ACD=30，ABD=45 ，BC=50m . 请你帮小明计算他家到公路 l 的距离 AD 的长度（精确到 0.1m；参考数据： ， ）.41.2732第
4、 4 页 共 14 页变式训练 2：如图所示，小明家住在 32 米高的 楼里，小丽家住在 楼里， 楼坐落在AB楼的正北面，已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的夹角为 A 30（1）如果 两楼相距 米，那么 楼落在 楼上的影子有多长？B， 203（2）如果 楼的影子刚好不落在 楼上，那么两楼的距离应是多少米？B（结果保留根号）2、仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。例 2：（2011 江苏淮安，23，10 分）题图为平地上一幢建筑物与铁塔图，右图为其示意图.建筑物 AB与铁塔 CD 都垂直于底面，BD=30m，在
5、A 点测得 D 点的俯角为 45，测得 C 点的仰角为 60.求铁塔CD 的高度A楼B楼CEGFHD30第 5 页 共 14 页30 mAB CDE 变式训练 1：小明想测量塔 BC 的高度他在楼底 A 处测得塔顶 B 的仰角为 ；爬到楼顶 D 处测得60大楼 AD 的高度为 18 米，同时测得塔顶 B 的仰角为 ，求塔 BC 的高度30变式训练 2：某高为 5.48 m 的建筑物 CD 与一铁塔 AB 的水平距离 BC 为 330 m，一测绘员在建筑物顶点 D 测得塔顶 A 的仰角 a 为 30. 求铁塔 AB 高.（精确到 0.1 m）.第 6 页 共 14 页30A BFEP45变式训练
6、 3、 （2011 年三门峡实 验中学 3 月模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋大楼顶部 B 的俯角为 30，看这栋大楼底部 C 的俯角为 60，热气球 A 的高度为 240 米，求这栋大楼的高度3、方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于 90的角为方向角。例 3：一个半径为 20 海里的暗礁群中央 P 处建有一个灯塔，一艘货轮由东向西航行，第一次在 A 处观测此灯塔在北偏西 60方向，航行了 20 海里后到 B，灯塔在北偏西 30方向，如图. 问货轮沿原方向航行有无危险？变式训练 1：（广东中山，15，6 分）如图所示， A、 B两城市相距 10km，现计划在这两
7、座城市间修建一条高速公路（即线段 AB） ，经测量，森林保护中心 P在 城市的北偏东 3和 B城市的北偏西 45的方向上，已知森林保护区的范围在以 点为圆心， 5为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据： 3 .72， .4）第 7 页 共 14 页变式训练 2:为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务某天我护航舰正在某小岛 北偏西 并距该岛 海里的 处待命位于该岛正西方向 处的A4520BC某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东 的方向有我军护航舰（如图所示） ，便发出紧急求6救信号我护航舰接警后，立即沿 航
8、线以每小时 60 海里的速度前去救援问我护航舰需多少分钟BC可以到达该商船所在的位置 处？（结果精确到个位参考数据： ）21.43.7 ， 如图，小明从 A地沿北偏东 30方向走 13m到 地，再从 B地向正南方向走 0m到 C地，此时小明离 地 4、坡度与坡角坡角：把坡面与水平面的夹角 叫做坡角。坡度：坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l的比叫做坡度（或叫做坡比） ，一般用 i 表示。即 ，=:i坡度= tanil坡度越大，坡角 就越大，坡面就越陡例 4：（湖南衡阳，9，3 分）如图所示，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1： ，3堤高 BC=5m，则坡面 AB 的长度是（ ）A10m B10
9、 m C15m D5 m3例 5：（甘肃兰州，17，4 分）某水库大坝的横断 面是梯形，坝内斜坡的坡度 i=1 ，坝外斜坡的3坡度 i=11，则两个坡角的和为 。第 8 页 共 14 页30 45EDCBAAB CE F D305.2:1i例 6：(福建省漳州市) 一个钢球沿坡角 31的斜坡向上滚动了 米，此时钢球距地面的高度是（ ）5A 米 B 米 C 米 D 米5sin315cos1 tan315cot31例 7：一水库大坝的横断面为梯形 ABCD，坝顶宽 6.2 米，坝高 23.5 米，斜坡 AB 的坡度 i113，斜坡 CD 的坡度 i2 = 12.5。求：(1) 斜坡 AB 与坝底
10、AD 的长度（精确到 0.1 米） ；(2) 斜坡 CD 的坡角 （精确到 1） 。变式训练 1：某人沿着坡度 i=1: 的山坡走了 50 米，则他离地面 米。3变式训练 2：（山东东营，8，3 分）河堤横断面如图所示，堤高 BC5 米，迎水坡 AB 的坡比1： （坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比） ，则 AC 的长是（ ）A5 米 B10 米 C15 米 D10 米3变式训练 3：（顺义二模）20一座建于若干年前的水库大坝的横断面为梯形 ABCD，如图所示，其中背水面为 AB，现准备对大坝背水面进行整修，将坡角由 45改为 30，若测量得 AB=20 米，求整修后需占用地面
11、的宽度 BE 的长 （精确到 0.1 米，参考数据： 21.4,.72,6.49变式训练 4、如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 10 米，坝高 BE=CF=30 米，斜坡 AB 的坡角A=30 ，斜坡 CD 的坡度 =1:3，求坝底宽 AD 的长.（答案保留根号）i第 9 页 共 14 页第五部分：思维误区1对应关系混淆【1】如图 9，先进村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 米，那么这两树在坡面上的距离 AB 为 （ ）aA. 米 B. 米coscosaC. 米 D. 米ainin解析：分别过点 B，A 作平行水平面的直线和垂直于水平面的直线相交于点 C。则ABC
12、是直角三角形，且 C=90, CBA=, ，故选 B。coscosa错因分析：部分学生在解答本题时没有分清锐角 的正弦、余弦是哪个边与斜边 AB 的比，造成错选，也有学生在变式时错误。2专用名词不清【2】 （年深圳市）如图 9，如图，斜坡 AC 的坡度（坡比）为 1: ，AC10 米坡顶3有一旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带 AB 相连， AB14 米试求旗杆 BC 的高度 解析：坡度是表示斜坡的铅直距离与水平距离的比，所以过点 C 作 CEAD 于 E，CE 为铅直距离，AE 为水平距离，即 CE：AE=1: 。 ，CAE=30，解直角331tanAE三角形AEC 可得 CE
13、=5（m）, AE= （m）,在 RtABE 中， （m）, 5 12ABBC=BE-CE=6（m）错因分析：本题要注意斜坡的坡度是坡角的正切值，弄清坡角与坡度的区别与联系；其他实际问题中还要注意仰角、角、方位角等概念。第六部分：方法规律锐角三角函数了解锐角三角函数（ ，sinA， ） ；知道 ，cosAtan30， 角的三角函数值4560由某个锐角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有 ， ， 角的三角函4560数式的值 能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形 知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特
14、殊能综合运用直角三角形的性质解决有关问AB图 9ABCD图 10第 10 页 共 14 页直角三角形构成的组合图形的问题题第七部分：巩固练习A.基础训练：1在 RtABC 中，C90 ，下列关系式错误的是（ ）A B. C. D.cosbBtanbsincAtanbB2. 在 RtABC 中，C90 ，下列式子不成立的是（ ）A B. C. D.22acsiActabcosb3. RtABC 中,CD 为斜边 AB 上的高，AD4，BD2，那么 （ ）tanAA B. C. D. 2384.太阳光与地面成 42.5的角，一树的影长 10 米，则树高约为_。 （精确到 0.01 米）5.在离地面
15、高 6 米处的拉线固定一烟囱，拉线与地面成 60角，则拉线的长约是_米。（精确到 0.01 米）6.如图 3131，大坝横截面是梯形 ABCD，CD3 m, AD6 m. 坝高是 3 m ，BC 坡的坡度 1:3, 则坡角A_ ，坝底宽iAB_。7.如图 3132，在 2005 年 6 月份的一次大风中，育英中学一棵大树在离地面若干米的 B 处折断，树顶 A 落在离树根 12 米的地方，现测得BAC48，求原树高是多少米？（精确到 0.01 米）第 11 页 共 14 页复习巩固：1 由于过度采伐森林和破坏植被，使我国某些地区受到沙尘暴侵袭，近日 A 市气象局测得沙尘暴中心在 A 市正东方向
16、400km 的 B 处，正在向西北方向转移（如图 3133 所示） ，距沙尘暴中心 300km 的范围内将受其影响，问 A 市是否会受到这次沙尘暴的影响？2如图 3134，为了测量电视塔 AB 的高度，在 C、D 两点测得塔顶 A 的仰角分别为 30，45。已知 C、D 两点在同一水平线上，C、D 间的距离为 60 米，测倾器 CF 的高为 1.5米，求电视塔 AB 的高。 （精确到 0.1 米）3.如图 3135，一只船自西各东航行，上午 9 时到达一座灯塔 P 的西南方向 68 海里的 M 处，上午11 时到达这座灯塔的正南方向 N 处，求这只船航行的速度。第 12 页 共 14 页B拓展
17、训练：1.（2003贵阳）如图 3139，某货船以 20 海里/时的速度将一批重要物资由 A 处运往正西方向的 B 处，经 16 小时的航行到达，到达后必须立即卸货。此时，接到气象部门通知，一台风中心正以 40 海里/时的速度由 A 向北偏西 60方向移动，距台风中心 200 海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。（1）问：B 处是否会受到台风的影响？请说明理由。（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？2.如图 31310，某移动公司移动电话的信号收发塔建在某中学的科技楼上，李明同学利用测倾器在距离科技楼靠塔的一面 25 米远处测得塔顶 A 的仰角为 60，塔底 B 的仰角为
18、 30，你能利用这些数据帮李明同学计算出该塔的高度吗？（结果精确到 0.1 米）3、如图，在某海域直径为 30 海里的暗礁区中心有一哨所 A，发现有一艘轮船从哨所正西方 45 海里处向哨所驶来，哨所及时向轮船发出了危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进了 15 海里到达C 处，此时哨所第二次发出紧急信号（信号传输时间忽略不计） 。若轮船收到第一次信号后，为避免触礁，轮船航向改变的角度至少为东偏北 度，求sin当轮船收到第二次信号时，为避免触礁，轮船改变的角度东偏南至少应为多少？第 13 页 共 14 页67.536.9APB第 18 题第八部分：中考体验1、 （德州布市中考）某兴趣小组用高为
19、 1.2 米的仪器测量建筑物 CD 的高度如示意图，由距 CD 一定距离的 A 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为 ，在 A 和 C 之间选一点 B，由 B 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为 测得 A，B 之间的距离为 4 米， ， ，试求建筑物 CD 的高tan1.6tan1.2度2、 （济宁）日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估。如图，上午 9 时，海检船位于 A 处，观测到某港口城市 P 位于海检船的北偏西 67.5方向，海检船以 21 海里/时
20、的速度向正北方向行驶，下午 2 时海检船到达 B 处，这时观察到城市 P 位于海检船的南偏西 36.9方向，求此时海检船所在 B 处与城市 P 的距离？（参考数据：, , , ）539.6sin0439.6tan01325.7sin0512.67tan0ACDBEF G第 14 页 共 14 页东东600ABC3、 （成都市中考）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶在航行到 B 处时，发现灯塔A 在我军舰的正北方向 500 米处；当该军舰从 B 处向正西方向行驶至达 C 处时，发现灯塔 A 在我军舰的北偏东 60的方向。求该军舰行驶的路程 （计算过程和结果均不取近似值)4、 （无锡市中考）如图，一架飞机由 A 向 B 沿水平直线方向飞行，在航线 AB 的正下方有两个山头C、D飞机在 A 处时，测得山头 C、D 在飞机的前方，俯角分别为 60和 30飞机飞行了 6 千米到 B 处时，往后测得山头 C的俯角为 30，而山头 D 恰好在飞机的正下方求山头 C、D之间的距离A BCD
