1、第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第一课时 不等关系,自学导引 (学生用书P57) 1.了解实数的运算性质与大小顺序之间的关系. 2.学会比较两个数大小的方法. 3.掌握用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.,课前热身 (学生用书P57) 1.不等式中常用的不等符号有_. 2.(1)a-b0_; (2)a-b=0_; (3)a-b0_., ,ab,a=b,ab,名师讲解 (学生用书P57) 1.不等式的有关概念 (1)不等式的定义 用不等号(,)表示不等关系的式子叫不等式.如:f(x)g(x),f(x)g(x)等等,用“”号连结的不等式叫做严格不等式;用“”或“”号连结的不等式,叫做
2、非严格不等式.,(2)不等式的分类 按成立的条件分:如果不论用什么实数代替不等式中的字母它都能够成立,这样的不等式叫绝对不等式. 例如:a2+1a,x+5x+4,(a+1)2-1等均为绝对不等式. 如果只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母它才能够成立,这样的不等式叫条件不等式. 例如:2x-11-x,x2x+1等均为条件不等式.,如果用无论什么样的实数值代替不等式中的字母,不等式都不能成立,这样的不等式叫矛盾不等式. 例如:|x-1|+|x+1|1,a2-2均为矛盾不等式. 绝对不等式条件不等式与矛盾不等式相互之间没有包容性,即三者中任意二个都是互斥的.,按不等式号开口方向分:在两个不等式
3、中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的左边都小于右边,这样的两个不等式叫同向不等式. 如果一个不等式的左边大于右边,而另一个不等式的左边小于右边,那么这两个不等式叫异向不等式. 例如:2a+3a+1与a2-33a+1是同向不等式. 3a+2a+4与3a2-52a2+4是异向不等式.,2.实数比较大小的依据与方法 (1)实数的两个特征. 任意实数的平方不小于0,即aRa20. 任意两个实数都可以比较大小,反之,可以比较大小的两个数一定是实数.,(2)实数比较大小的依据. 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b,右边的点表示的数比左边的点表示的数大,从实数减法在数轴上的表示(如下
4、图所示),可以看出ab之间具有以下性质: 如果a-b是正数,那么ab;如果a-b是负数,那么ab;如果a-b等于零,那么a=b.反之也成立.,3.比较两数(式)大小的方法 (1)要比较两个实数的大小,只要将两个数进行作差,作差后应变形为:常数;常数与几个平方和的形式,常用配方法或实数特征a20判断差的符号;几个因式积的形式,常用因式分解式. (2)实数比较大小的依据是: a-b0ab; a-b=0a=b; a-b0ab.,(3)两个实数比较大小,通常用作差法来进行,其一般步骤是: 第一步:作差; 第二步:变形,常采用配方因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“积”; 第三步:定号,就是确定是大于
5、0,还是等于0,还是小于0. 最后得出结论. 概括为“三步,一结论”.这里的“定号”是目的,“变形”是关键.,(4)如果两实数同号亦可采用作商法来比较大小,即作商后看是大于1,等于1,还是小于1. (5)如果直接比较两个代数式或数(均大于零)的大小,不如比较这两个数或式的平方容易,可变通改为比较两个平方的大小,平方的大小比较出来了,原来两个数或式的大小也就确定了.,4.应用不等式表示不等关系 现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.我们可用等式表示相等关系,也可用不等式表示不等关系. 5.分类讨论比较代数式的大小 分类讨论是要求较高的一种数学思想 ,在比较两实数大小时,如果
6、不分类不能讨论其大小,则要明确分类的原因及原则,恰当地进行分类与讨论.,典例剖析 (学生用书P58) 题型一 比较两个数的大小,例1:比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小. 分析:根据“若p-q0则pq”的公理,用作差法来解决.,规律技巧:比较两数(式)的大小,可将其转化为差运算,即用作差比较法,共分为四步:作差变形判号结论.,例2:(1)设mn,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小. (2)已知a0且a1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),比较p与q的大小. 分析:采用作差法的判断方法.“p-q0pq”,“p-q0pq”,“p-q=0p=q”,解:(1
7、)x-y=(m4-m3n)-(n3m-n4) =(m-n)m3-n3(m-n) =(m-n)(m3-n3) =(m-n)2(m2+mn+n2), mn,(m-n)20. 又m2+mn+n2= (m-n)2(m2+mn+n2)0, x-y0,xy.,规律技巧:第(1)题通过分解因式和配方判断差的符号,第(2)题通过分类讨论判断差的符号.可以看到,用作差比较法时,判断所作的差的符号常用配方法分解因式法分类讨论法.,变式训练2:(1)若x0,b0且ab,试比较aabb与abba的大小. 解:(1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)(x2+y2)-(x+y)2=-2xy(x
8、-y). x0,x-y0.(x2+y2)(x-y)(x2-y2)(x+y).,题型二 用不等式组表示不等关系 例3:某工厂生产甲乙两种产品,已知生产甲种产品1 t需消耗A种矿石10 tB种矿石5t煤4t;生产乙种产品1t需消耗A种矿石4tB种矿石4t煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300tB种矿石不超过200t煤不超过360t.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢?,解:可以设生产甲乙两种产品分别为xt,yt. 根据题意,应有如下的不等关系. (1)消耗A种矿石不超过300t; (2)消耗B种矿石不
9、超过200t; (3)煤不超过360t;,误区警示:根据题意,列出消耗AB两种矿石及煤的量应满足的不等式,同时要注意题中的隐含条件.,变式训练3:已知某学生共有10元钱,打算购买单价分别为0.6元和0.7元的铅笔和练习本.根据需要,铅笔至少买7支,练习本至少买6本,试列出满足所有条件的不等式.,易错探究 (学生用书P59),错因分析:作差比较大小,变形后的结果难以确定时,一般要分类讨论,但须要有统一的分类标准.这里分类不完全,在x0,不应有 最好把x=0分一类进行讨论,这样比较恰当.,技能演练 (学生用书P59) 基础强化,1.下列结论正确的是( ) A.若x10,则x10 B.若x225,则
10、x5 C.若xy,则x2y2 D.若x2y2,则|x|y| 答案:D,2.若ab,ab0,则下列不等式恒成立的( )C.2a2b D.lg(b-a)0 答案:C,3.设a=3x2-x+1,b=2x2+x,则( ) A.ab B.ab C.ab D.ab 解析:a-b=(3x2-x+1)-(2x2+x) =x2-2x+1=(x-1)20. ab. 答案:C,4.若x1,则下列不等式中恒成立的是( )C.log(x-1)0 D.2x-11 解析:由指数函数的性质知,x1时,2x-11. 答案:D,5.如果a0,则下列不等式成立的是( )C.a2|b| 答案:A,6.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警
11、示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车和货物的总重量T应满足关系为( ) A.T40 C.T40 D.T40 答案:C,7.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h,行驶过程中,同一车道上的车间距d不得小于10m.用不等式表示为( ) A.v120(km/h)或d10(m)C.v120(km/h) D.d10(m) 解析:考虑实际意义知,v120(km/h)且d10(m). 答案:B,8.一个两位数个位数字是a,十位数字是b,且这个两位数不小于60,则可用不等关系表示为_. 答案:6010b+a99,能力提升,9.已知abc这三个实数中至少有一个不等于1,试比较a2+b2+c2与2a+2b+2c-3的大小. 解:a2+b2+c2-(2a+2b+2c-3) =a2-2a+1+b2-2b+1+c2-2c+1 =(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2, abc这三个数中至少有一个不等于1, a-1,b-1,c-1中至少有一个不为0. (a-1)2+(b-1)2+(c-1)20 a2+b2+c22a+2b+2c-3.,品味高考,答案:A,答案:A,
